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3. 如图，AB是同心圆中大圆的弦，交小圆于点C，D两点.
(1)求证$AC=BD$；
(2)若大圆的半径为13，小圆的半径为$5\sqrt{2}$，$AB=24$，求$CD$的长.
(1)求证$AC=BD$；
(2)若大圆的半径为13，小圆的半径为$5\sqrt{2}$，$AB=24$，求$CD$的长.
答案
3. (1)证明略 (2)10
解析
【分析】
(1)要证明$AC=BD$，可利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。过圆心$O$作$AB$的垂线，可同时平分$AB$和$CD$两条弦，再通过线段的和差关系即可推导得出结论。
(2)求$CD$的长时，先在由大圆半径、$AB$的半长、弦心距构成的直角三角形中，用勾股定理求出弦心距的长度；再在由小圆半径、$CD$的半长、弦心距构成的直角三角形中，用勾股定理求出$CD$半长，乘2即可得到$CD$的长度。
【解析】
(1)证明：过点$O$作$OE⊥ AB$，垂足为$E$。
根据垂径定理：
$\because OE⊥ AB$，且$OE$过圆心$O$，$\therefore AE=BE$；
又$\because$点$C$、$D$在$AB$上，$\therefore OE⊥ CD$，同理可得$CE=DE$；
$\therefore AE-CE=BE-DE$，即$AC=BD$。
(2)解：$\because AB=24$，$OE⊥ AB$，$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=12$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$OA=13$，$AE=12$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=5\sqrt{2}$，$OE=5$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-5^2}=\sqrt{50-25}=\sqrt{25}=5$。
$\because OE⊥ CD$，$\therefore CD=2CE=2×5=10$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$10$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦长计算
【点评】
本题是圆中弦长相关的典型基础题，作弦心距是此类问题的常用辅助线，通过构造直角三角形结合勾股定理即可求解，解题时要注意两条弦共用同一条弦心距的隐含条件。
【难度系数】
0.8
(1)要证明$AC=BD$，可利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。过圆心$O$作$AB$的垂线，可同时平分$AB$和$CD$两条弦，再通过线段的和差关系即可推导得出结论。
(2)求$CD$的长时，先在由大圆半径、$AB$的半长、弦心距构成的直角三角形中，用勾股定理求出弦心距的长度；再在由小圆半径、$CD$的半长、弦心距构成的直角三角形中，用勾股定理求出$CD$半长，乘2即可得到$CD$的长度。
【解析】
(1)证明：过点$O$作$OE⊥ AB$，垂足为$E$。
根据垂径定理：
$\because OE⊥ AB$，且$OE$过圆心$O$，$\therefore AE=BE$；
又$\because$点$C$、$D$在$AB$上，$\therefore OE⊥ CD$，同理可得$CE=DE$；
$\therefore AE-CE=BE-DE$，即$AC=BD$。
(2)解：$\because AB=24$，$OE⊥ AB$，$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=12$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$OA=13$，$AE=12$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=5\sqrt{2}$，$OE=5$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-5^2}=\sqrt{50-25}=\sqrt{25}=5$。
$\because OE⊥ CD$，$\therefore CD=2CE=2×5=10$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$10$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦长计算
【点评】
本题是圆中弦长相关的典型基础题，作弦心距是此类问题的常用辅助线，通过构造直角三角形结合勾股定理即可求解，解题时要注意两条弦共用同一条弦心距的隐含条件。
【难度系数】
0.8
4. 如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，垂足为E. $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BF}$，$CD=10$，$AB=6$，求弦AF的长. 
答案
$\dfrac{48}{5}$[提示：连接OB交AF于点G，由垂径定理，得$OB⊥ AF$. $AG=FG$，由勾股定理，得$AG^2+OG^2=5^2$，$AG^2+(5-OG)^2=6^2$，解方程组求出AG，从而得到AF的长.]
解析
【分析】
解题思路：首先利用CD是直径且垂直AB的条件，结合垂径定理先求出圆的半径以及圆心O到AB的距离；再根据弧AB等于弧BF的条件，连接OB交AF于G，由垂径定理推论可得OB垂直平分AF，构造出两个含公共直角边AG的直角三角形；最后设OG为未知数，利用勾股定理分别表示AG²建立方程，求解出AG后即可得到AF的长度。
【解析】
解：连接OB，交AF于点G。
1. 计算半径和OE的长度
∵ CD为$\odot O$的直径，$CD=10$，
∴ $\odot O$的半径$OA=OB=5$。
∵ $AB⊥CD$，由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 证明OB垂直平分AF
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BF}$，OB是$\odot O$的半径，由垂径定理推论得：$OB⊥AF$，且$AG=FG=\frac{1}{2}AF$。
3. 列方程求解AG
设$OG=x$，则$BG=OB-OG=5-x$。
在$Rt△ AOG$中，$AG^2+OG^2=OA^2$，即$AG^2=25-x^2$ ①。
在$Rt△ ABG$中，$AG^2+BG^2=AB^2$，即$AG^2=36-(5-x)^2$ ②。
联立①②得：$25-x^2=36-(25-10x+x^2)$
化简得：$25=11+10x$，解得$x=\frac{7}{5}$。
将$x=\frac{7}{5}$代入①得：$AG^2=25-(\frac{7}{5})^2=\frac{576}{25}$，
∴ $AG=\frac{24}{5}$（长度取正值）。
4. 计算AF的长度
∵ $AF=2AG$，
∴ $AF=2×\frac{24}{5}=\frac{48}{5}$。
【答案】
$\dfrac{48}{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧弦关系
【点评】
本题是圆内求弦长的典型题型，核心是结合垂径定理及其推论构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，熟练掌握圆内常见辅助线的作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先利用CD是直径且垂直AB的条件，结合垂径定理先求出圆的半径以及圆心O到AB的距离；再根据弧AB等于弧BF的条件，连接OB交AF于G，由垂径定理推论可得OB垂直平分AF，构造出两个含公共直角边AG的直角三角形；最后设OG为未知数，利用勾股定理分别表示AG²建立方程，求解出AG后即可得到AF的长度。
【解析】
解：连接OB，交AF于点G。
1. 计算半径和OE的长度
∵ CD为$\odot O$的直径，$CD=10$，
∴ $\odot O$的半径$OA=OB=5$。
∵ $AB⊥CD$，由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 证明OB垂直平分AF
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BF}$，OB是$\odot O$的半径，由垂径定理推论得：$OB⊥AF$，且$AG=FG=\frac{1}{2}AF$。
3. 列方程求解AG
设$OG=x$，则$BG=OB-OG=5-x$。
在$Rt△ AOG$中，$AG^2+OG^2=OA^2$，即$AG^2=25-x^2$ ①。
在$Rt△ ABG$中，$AG^2+BG^2=AB^2$，即$AG^2=36-(5-x)^2$ ②。
联立①②得：$25-x^2=36-(25-10x+x^2)$
化简得：$25=11+10x$，解得$x=\frac{7}{5}$。
将$x=\frac{7}{5}$代入①得：$AG^2=25-(\frac{7}{5})^2=\frac{576}{25}$，
∴ $AG=\frac{24}{5}$（长度取正值）。
4. 计算AF的长度
∵ $AF=2AG$，
∴ $AF=2×\frac{24}{5}=\frac{48}{5}$。
【答案】
$\dfrac{48}{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧弦关系
【点评】
本题是圆内求弦长的典型题型，核心是结合垂径定理及其推论构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，熟练掌握圆内常见辅助线的作法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
1. 如图，
，图2是其底部球截面圆示意图，瓶内液体的最大深度$CD=2\ \mathrm{cm}$，且截面圆的半径为$4\ \mathrm{cm}$，则截面圆中弦$AB$的长为(
A.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
，图2是其底部球截面圆示意图，瓶内液体的最大深度$CD=2\ \mathrm{cm}$，且截面圆的半径为$4\ \mathrm{cm}$，则截面圆中弦$AB$的长为(B
).A.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
答案
1. B
解析
【分析】
本题是垂径定理结合勾股定理求弦长的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图形，OD是截面圆的半径且垂直于弦AB，根据垂径定理可知AB=2AC，因此只需要求出AC的长度即可得到AB的长；接下来先求圆心O到弦AB的距离OC：已知圆半径为4cm，液体深度CD=2cm，OC=OD-CD，代入数值即可得到OC的长度；最后在Rt△OAC中，利用勾股定理计算AC的长度，再乘2即可得到AB的长度。
【解析】
解：已知截面圆的半径$OA=OD=4\ \mathrm{cm}$，液体深度$CD=2\ \mathrm{cm}$，
则圆心O到弦AB的距离$OC=OD-CD=4-2=2\ \mathrm{cm}$，
∵OD⊥AB，根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=2AC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查垂径定理在实际问题中的应用，解题的关键是明确圆的半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形，结合勾股定理求解，是垂径定理应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是垂径定理结合勾股定理求弦长的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图形，OD是截面圆的半径且垂直于弦AB，根据垂径定理可知AB=2AC，因此只需要求出AC的长度即可得到AB的长；接下来先求圆心O到弦AB的距离OC：已知圆半径为4cm，液体深度CD=2cm，OC=OD-CD，代入数值即可得到OC的长度；最后在Rt△OAC中，利用勾股定理计算AC的长度，再乘2即可得到AB的长度。
【解析】
解：已知截面圆的半径$OA=OD=4\ \mathrm{cm}$，液体深度$CD=2\ \mathrm{cm}$，
则圆心O到弦AB的距离$OC=OD-CD=4-2=2\ \mathrm{cm}$，
∵OD⊥AB，根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=2AC=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查垂径定理在实际问题中的应用，解题的关键是明确圆的半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形，结合勾股定理求解，是垂径定理应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
