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2. 把半径为10 cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示. 若CD=16 cm，则EF的长为(
A.8 cm
B.10 cm
C.12 cm
D.16 cm
D
).A.8 cm
B.10 cm
C.12 cm
D.16 cm
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查垂径定理的实际应用，解题思路如下：首先过圆心作弦EF的垂线，根据垂径定理可知该垂线平分EF；再结合球与BC边相切的性质，求出圆心到EF的距离即弦心距；最后在直角三角形中利用勾股定理求出半弦长，乘2即可得到EF的长度。
【解析】
解：过点O作OM⊥AD于点M，连接OF。
∵ 球与BC边相切，球的半径为10 cm，
∴ 圆心O到BC的距离等于半径，即10 cm，
∵ 四边形ABCD是长方形，CD=16 cm，AD与BC平行，
∴ 圆心O到AD的距离OM = CD - 10 = 16 - 10 = 6 cm。
由垂径定理可得，M是EF的中点，即EF=2MF。
在Rt△OMF中，OF为球的半径，长度为10 cm，OM=6 cm，
根据勾股定理：$MF = \sqrt{OF^2 - OM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ $EF = 2 × MF = 2 × 8 = 16\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，切线的性质
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查垂径定理在实际场景中的使用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将所求线段转化为直角三角形的边长求解。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理的实际应用，解题思路如下：首先过圆心作弦EF的垂线，根据垂径定理可知该垂线平分EF；再结合球与BC边相切的性质，求出圆心到EF的距离即弦心距；最后在直角三角形中利用勾股定理求出半弦长，乘2即可得到EF的长度。
【解析】
解：过点O作OM⊥AD于点M，连接OF。
∵ 球与BC边相切，球的半径为10 cm，
∴ 圆心O到BC的距离等于半径，即10 cm，
∵ 四边形ABCD是长方形，CD=16 cm，AD与BC平行，
∴ 圆心O到AD的距离OM = CD - 10 = 16 - 10 = 6 cm。
由垂径定理可得，M是EF的中点，即EF=2MF。
在Rt△OMF中，OF为球的半径，长度为10 cm，OM=6 cm，
根据勾股定理：$MF = \sqrt{OF^2 - OM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ $EF = 2 × MF = 2 × 8 = 16\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，切线的性质
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查垂径定理在实际场景中的使用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将所求线段转化为直角三角形的边长求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧$\overset{\frown}{AB}$，点O是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，测量发现弦AB的长度是30 m，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径是25 m，则$\overset{\frown}{AB}$上的点到弦AB的距离的最大值是
5
m.答案
3. 5
解析
【分析】
要找$\overset{\frown}{AB}$上的点到弦AB的最大距离，首先明确：圆上任意一点到弦的最大距离，位于过圆心且垂直于该弦的直线与对应弧的交点处。我们可以先过圆心O作AB的垂线，结合垂径定理得到弦长的一半，再在直角三角形中用勾股定理算出圆心到弦的距离，最后用半径减去圆心到弦的距离，就能得到弧上点到弦的最大距离。
【解析】
过点O作$OC ⊥ AB$于点C，延长OC交$\overset{\frown}{AB}$于点D，此时CD的长度即为$\overset{\frown}{AB}$上的点到弦AB的最大距离。
根据垂径定理，得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 30=15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=25\ \mathrm{m}$，$AC=15\ \mathrm{m}$，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{25^2 - 15^2}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$。
因为OD是圆的半径，即$OD=25\ \mathrm{m}$，所以$CD=OD - OC=25 - 20=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理；勾股定理；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质的应用，解题的关键是确定弧上到弦距离最大的点的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算，难度不大，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
要找$\overset{\frown}{AB}$上的点到弦AB的最大距离，首先明确：圆上任意一点到弦的最大距离，位于过圆心且垂直于该弦的直线与对应弧的交点处。我们可以先过圆心O作AB的垂线，结合垂径定理得到弦长的一半，再在直角三角形中用勾股定理算出圆心到弦的距离，最后用半径减去圆心到弦的距离，就能得到弧上点到弦的最大距离。
【解析】
过点O作$OC ⊥ AB$于点C，延长OC交$\overset{\frown}{AB}$于点D，此时CD的长度即为$\overset{\frown}{AB}$上的点到弦AB的最大距离。
根据垂径定理，得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 30=15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=25\ \mathrm{m}$，$AC=15\ \mathrm{m}$，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{25^2 - 15^2}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$。
因为OD是圆的半径，即$OD=25\ \mathrm{m}$，所以$CD=OD - OC=25 - 20=5\ \mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理；勾股定理；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质的应用，解题的关键是确定弧上到弦距离最大的点的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算，难度不大，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
4. 学习圆的知识后，某同学做了如下的实践应用操作：如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5 cm，弦DE=8 cm，则直尺的宽度为
3 cm
。答案
4. 3 cm
解析
【分析】
要求直尺的宽度，实质是求弦DE到圆心O的垂线段长度，解题思路如下：1. 过圆心O作DE的垂线，根据垂径定理，该垂线会平分DE，可得到DE一半的长度；2. OD和OC同为半圆的半径，因此OD的长度等于已知的OC长度；3. 垂线、半段弦、半径可构成直角三角形，已知直角三角形的斜边和一条直角边，通过勾股定理即可求出另一条直角边，也就是直尺的宽度。
【解析】
解：过点O作OF⊥DE于点F。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$DF=\frac{1}{2}DE$。
已知DE=8 cm，代入得$DF=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
∵OD是半圆的半径，
∴$OD=OC=5\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ODF中，由勾股定理可得：
$OF=\sqrt{OD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$。
即直尺的宽度为3 cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查垂径定理的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为圆内弦心距的计算问题，通过作垂直于弦的辅助线构造直角三角形，结合勾股定理即可求解，属于基础的几何应用类题目。
【难度系数】
0.7
要求直尺的宽度，实质是求弦DE到圆心O的垂线段长度，解题思路如下：1. 过圆心O作DE的垂线，根据垂径定理，该垂线会平分DE，可得到DE一半的长度；2. OD和OC同为半圆的半径，因此OD的长度等于已知的OC长度；3. 垂线、半段弦、半径可构成直角三角形，已知直角三角形的斜边和一条直角边，通过勾股定理即可求出另一条直角边，也就是直尺的宽度。
【解析】
解：过点O作OF⊥DE于点F。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$DF=\frac{1}{2}DE$。
已知DE=8 cm，代入得$DF=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
∵OD是半圆的半径，
∴$OD=OC=5\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ODF中，由勾股定理可得：
$OF=\sqrt{OD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$。
即直尺的宽度为3 cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查垂径定理的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为圆内弦心距的计算问题，通过作垂直于弦的辅助线构造直角三角形，结合勾股定理即可求解，属于基础的几何应用类题目。
【难度系数】
0.7
5. 已知AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，D为⊙O上一点，CD=OB，延长CD与⊙O相交于点E.
(1)如图1，若∠C=26°，求∠AOE的大小；
(2)如图2，若∠AOE=45°，OB=2，求弦DE的长.
(1)如图1，若∠C=26°，求∠AOE的大小；
(2)如图2，若∠AOE=45°，OB=2，求弦DE的长.
答案
(1) 78° (2) $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 求解∠AOE的度数时，首先利用圆的半径相等的性质，结合已知CD=OB，连接OD可构造两个等腰△ODC和△ODE，再通过三角形外角的性质逐步推导角度关系，即可求出∠AOE的大小。
(2) 求解弦DE的长度时，首先想到垂径定理，过O作DE的垂线，可将DE转化为求两倍的垂线段分割的弦长；再通过角度推导得到直角三角形中的特殊角，结合勾股定理即可计算出DE的长度。
【解析】
(1) 连接OD，如图1：
∵ OB、OD、OE均为⊙O的半径，
∴ $OB=OD=OE$。
已知$CD=OB$，
∴ $CD=OD$，
∴ $△ ODC$为等腰三角形，$∠ DOC=∠ C=26°$。
由三角形外角性质得：$∠ ODE=∠ DOC+∠ C=26°+26°=52°$。
∵ $OD=OE$，
∴ $△ ODE$为等腰三角形，$∠ OED=∠ ODE=52°$。
再由三角形外角性质得：$∠ AOE=∠ OED+∠ C=52°+26°=78°$。
(2) 连接OD，过点O作$OH⊥ DE$于点H，如图2：
根据垂径定理可得：$DH=HE=\frac{1}{2}DE$。
设$∠ C=x$，
∵ $CD=OB=OD$，
∴ $∠ DOC=∠ C=x$，
∴ $∠ ODE=∠ DOC+∠ C=2x$。
∵ $OD=OE$，
∴ $∠ OED=∠ ODE=2x$。
∵ $∠ AOE$是$△ EOC$的外角，
∴ $∠ AOE=∠ OED+∠ C=2x+x=3x$。
已知$∠ AOE=45°$，
∴ $3x=45°$，解得$x=15°$，
∴ $∠ OED=2x=30°$。
∵ $OB=2$，
∴ $OE=OB=2$，
在$Rt△ OEH$中，$∠ OEH=30°$，
∴ $OH=\frac{1}{2}OE=1$，
由勾股定理得：$EH=\sqrt{OE^2-OH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ $DE=2EH=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $78°$ (2) $2\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查了圆的基本性质与三角形相关定理的结合运用，解题的关键是掌握圆中常见辅助线的构造方法：连半径得等腰三角形、作弦的垂线用垂径定理，能较好地锻炼学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求解∠AOE的度数时，首先利用圆的半径相等的性质，结合已知CD=OB，连接OD可构造两个等腰△ODC和△ODE，再通过三角形外角的性质逐步推导角度关系，即可求出∠AOE的大小。
(2) 求解弦DE的长度时，首先想到垂径定理，过O作DE的垂线，可将DE转化为求两倍的垂线段分割的弦长；再通过角度推导得到直角三角形中的特殊角，结合勾股定理即可计算出DE的长度。
【解析】
(1) 连接OD，如图1：
∵ OB、OD、OE均为⊙O的半径，
∴ $OB=OD=OE$。
已知$CD=OB$，
∴ $CD=OD$，
∴ $△ ODC$为等腰三角形，$∠ DOC=∠ C=26°$。
由三角形外角性质得：$∠ ODE=∠ DOC+∠ C=26°+26°=52°$。
∵ $OD=OE$，
∴ $△ ODE$为等腰三角形，$∠ OED=∠ ODE=52°$。
再由三角形外角性质得：$∠ AOE=∠ OED+∠ C=52°+26°=78°$。
(2) 连接OD，过点O作$OH⊥ DE$于点H，如图2：
根据垂径定理可得：$DH=HE=\frac{1}{2}DE$。
设$∠ C=x$，
∵ $CD=OB=OD$，
∴ $∠ DOC=∠ C=x$，
∴ $∠ ODE=∠ DOC+∠ C=2x$。
∵ $OD=OE$，
∴ $∠ OED=∠ ODE=2x$。
∵ $∠ AOE$是$△ EOC$的外角，
∴ $∠ AOE=∠ OED+∠ C=2x+x=3x$。
已知$∠ AOE=45°$，
∴ $3x=45°$，解得$x=15°$，
∴ $∠ OED=2x=30°$。
∵ $OB=2$，
∴ $OE=OB=2$，
在$Rt△ OEH$中，$∠ OEH=30°$，
∴ $OH=\frac{1}{2}OE=1$，
由勾股定理得：$EH=\sqrt{OE^2-OH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ $DE=2EH=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $78°$ (2) $2\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，重点考查了圆的基本性质与三角形相关定理的结合运用，解题的关键是掌握圆中常见辅助线的构造方法：连半径得等腰三角形、作弦的垂线用垂径定理，能较好地锻炼学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.65
