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6. 我国唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导. 如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为4 m，若轮子的吃水深度CD为1 m，求该桨轮船的轮子的直径.
答案
5 m
解析
【分析】
这是垂径定理在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先，圆中涉及弦长、弦到圆上某点距离的问题，优先考虑垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可先求出弦长的一半；其次，构造直角三角形，将已知的弦长一半、吃水深度和圆的半径转化为直角三角形的三条边；最后设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解，再得到直径即可。
【解析】
连接OA，设该桨轮船的轮子半径为$r\ \mathrm{m}$。
由题意可知$OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{m}$
已知吃水深度$CD=1\ \mathrm{m}$，因此$OD=OC-CD=(r-1)\ \mathrm{m}$，且$OA=r\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数据得：
$r^2=2^2+(r-1)^2$
展开化简：
$r^2=4+r^2-2r+1$
消去$r^2$后解得$2r=5$，即$r=2.5$
因此轮子的直径为$2r=2×2.5=5\ \mathrm{m}$
【答案】
5 m
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题将实际问题与几何知识结合，核心是将轮船轮子的问题转化为圆的弦长相关问题，通过构造直角三角形、运用方程思想求解，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
这是垂径定理在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先，圆中涉及弦长、弦到圆上某点距离的问题，优先考虑垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可先求出弦长的一半；其次，构造直角三角形，将已知的弦长一半、吃水深度和圆的半径转化为直角三角形的三条边；最后设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解，再得到直径即可。
【解析】
连接OA，设该桨轮船的轮子半径为$r\ \mathrm{m}$。
由题意可知$OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{m}$
已知吃水深度$CD=1\ \mathrm{m}$，因此$OD=OC-CD=(r-1)\ \mathrm{m}$，且$OA=r\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$
代入数据得：
$r^2=2^2+(r-1)^2$
展开化简：
$r^2=4+r^2-2r+1$
消去$r^2$后解得$2r=5$，即$r=2.5$
因此轮子的直径为$2r=2×2.5=5\ \mathrm{m}$
【答案】
5 m
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题将实际问题与几何知识结合，核心是将轮船轮子的问题转化为圆的弦长相关问题，通过构造直角三角形、运用方程思想求解，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，以点$C$为圆心、$CA$为半径作圆，交$AB$于点$D$，则$AD$的长为（$\quad$）.
A.$\dfrac{36}{5}\ \mathrm{cm}$
B.$\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$
A.$\dfrac{36}{5}\ \mathrm{cm}$
B.$\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$
答案
A
解析
【分析】
要求圆中弦AD的长度，可结合垂径定理求解：首先过圆心C作弦AD的垂线，根据垂径定理可知垂足平分AD，即AD=2AE，只需求出AE的长度即可。第一步先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，第二步可通过等面积法求出斜边上的高CE，第三步在Rt△ACE中用勾股定理求出AE，最后乘2得到AD的长。
【解析】
过点C作$CE ⊥ AB$于点E。
∵ 点C是圆心，$CE ⊥ AD$，根据垂径定理，得$AD=2AE$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式，$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CE$，解得$CE=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
∴ $AD=2AE=2×\frac{18}{5}=\frac{36}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题关键是作弦心距构造直角三角形，将求弦长的问题转化为求直角三角形边长的问题，考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求圆中弦AD的长度，可结合垂径定理求解：首先过圆心C作弦AD的垂线，根据垂径定理可知垂足平分AD，即AD=2AE，只需求出AE的长度即可。第一步先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，第二步可通过等面积法求出斜边上的高CE，第三步在Rt△ACE中用勾股定理求出AE，最后乘2得到AD的长。
【解析】
过点C作$CE ⊥ AB$于点E。
∵ 点C是圆心，$CE ⊥ AD$，根据垂径定理，得$AD=2AE$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式，$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CE$，解得$CE=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
∴ $AD=2AE=2×\frac{18}{5}=\frac{36}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题关键是作弦心距构造直角三角形，将求弦长的问题转化为求直角三角形边长的问题，考查学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2. $\odot O$的半径为15，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$AB// CD$，$AB=24$，$CD=18$，则AB和CD之间的距离为
3或21
。答案
2. 3或21
解析
【分析】
解决本题首先要明确圆中两条平行弦的位置有两种情况：两条弦在圆心的同侧、两条弦在圆心的异侧，需分类讨论求解。接下来利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，可得到弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理分别求出两条弦到圆心的距离，最后根据两种位置关系计算两弦的距离即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
根据垂径定理得：
$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×24 = 12$，$CF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×18 = 9$，
在Rt△OAE中，OA=15，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$，
在Rt△OCF中，OC=15，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$，
分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB和CD之间的距离为 $OF - OE = 12 - 9 = 3$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB和CD之间的距离为 $OF + OE = 12 + 9 = 21$；
综上，AB和CD之间的距离为3或21。
【答案】
3或21
【知识点】
垂径定理、勾股定理、分类讨论
【点评】
本题是垂径定理应用的常见题型，易错点是只考虑两条弦在圆心同侧的情况，遗漏异侧的情况，解题时要全面分析弦的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确圆中两条平行弦的位置有两种情况：两条弦在圆心的同侧、两条弦在圆心的异侧，需分类讨论求解。接下来利用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，可得到弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理分别求出两条弦到圆心的距离，最后根据两种位置关系计算两弦的距离即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
根据垂径定理得：
$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×24 = 12$，$CF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×18 = 9$，
在Rt△OAE中，OA=15，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$，
在Rt△OCF中，OC=15，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$，
分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB和CD之间的距离为 $OF - OE = 12 - 9 = 3$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB和CD之间的距离为 $OF + OE = 12 + 9 = 21$；
综上，AB和CD之间的距离为3或21。
【答案】
3或21
【知识点】
垂径定理、勾股定理、分类讨论
【点评】
本题是垂径定理应用的常见题型，易错点是只考虑两条弦在圆心同侧的情况，遗漏异侧的情况，解题时要全面分析弦的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3. 我国古典建筑中的一种圆形门洞因形如满月而被称为月洞门，如图1所示. 如图2，过最高点H的直线HF经过圆心，且垂直地面CD于点F，点A，B在圆上，AC，BD都垂直于CD. 已知$AC=BD=0.15\ \mathrm{m}$，$CD=1.6\ \mathrm{m}$，$HF=2.15\ \mathrm{m}$，则月洞门截面所在圆的半径为
1.16 m
.答案
3. 1.16 m
解析
【分析】
首先根据AC、BD均垂直于CD且长度相等，可判定四边形ABDC为矩形，得到AB与CD长度相等且AB平行于CD；再结合HF过圆心且垂直于CD，可知HF垂直平分AB，满足垂径定理的使用条件。随后设圆的半径为r，用含r的代数式表示出圆心到弦AB的距离，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
解：
∵AC⊥CD，BD⊥CD，AC=BD
∴四边形ABDC是矩形
∴AB=CD=1.6m，AB//CD
设HF与AB交于点E
∵HF⊥CD，AB//CD
∴HF⊥AB
根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=0.8\ \mathrm{m}$
由题意可知$EF=AC=0.15\ \mathrm{m}$，则H到AB的距离：
$HE=HF-EF=2.15-0.15=2\ \mathrm{m}$
设月洞门截面所在圆的半径为$r$，圆心为$O$（$O$在HF上），则$OH=OA=r$
圆心$O$到AB的距离$OE=HE-OH=2-r$
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$AE^2+OE^2=OA^2$
代入数值：$0.8^2+(2-r)^2=r^2$
展开计算：$0.64+4-4r+r^2=r^2$
化简得：$4r=4.64$
解得：$r=1.16\ \mathrm{m}$
【答案】
$1.16\ \mathrm{m}$
【知识点】
垂径定理的应用，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合古典建筑的实际场景考查圆的相关计算，解题的核心是将实际问题转化为几何模型，利用垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求解，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据AC、BD均垂直于CD且长度相等，可判定四边形ABDC为矩形，得到AB与CD长度相等且AB平行于CD；再结合HF过圆心且垂直于CD，可知HF垂直平分AB，满足垂径定理的使用条件。随后设圆的半径为r，用含r的代数式表示出圆心到弦AB的距离，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
解：
∵AC⊥CD，BD⊥CD，AC=BD
∴四边形ABDC是矩形
∴AB=CD=1.6m，AB//CD
设HF与AB交于点E
∵HF⊥CD，AB//CD
∴HF⊥AB
根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=0.8\ \mathrm{m}$
由题意可知$EF=AC=0.15\ \mathrm{m}$，则H到AB的距离：
$HE=HF-EF=2.15-0.15=2\ \mathrm{m}$
设月洞门截面所在圆的半径为$r$，圆心为$O$（$O$在HF上），则$OH=OA=r$
圆心$O$到AB的距离$OE=HE-OH=2-r$
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$AE^2+OE^2=OA^2$
代入数值：$0.8^2+(2-r)^2=r^2$
展开计算：$0.64+4-4r+r^2=r^2$
化简得：$4r=4.64$
解得：$r=1.16\ \mathrm{m}$
【答案】
$1.16\ \mathrm{m}$
【知识点】
垂径定理的应用，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合古典建筑的实际场景考查圆的相关计算，解题的核心是将实际问题转化为几何模型，利用垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求解，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
