4. 水车是古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗.如图2，在水车顺时针转动时，某个水斗在点A处时，另一个水斗刚好在点B处接触水面.已知$\overset{\frown}{AB}$中间还有2个水斗，且圆形轮盘半径OA为5 m，点A到水面的距离为7 m，求水面宽度BC的长.

如图，作$OD⊥ BC$，$AE⊥ BC$，分别交$BC$于点$D$，$E$，作$OF⊥ AE$于点$F$. 设$OD=x\ \mathrm{m}$. $\because OD⊥ BC$，$AE⊥ BC$，$OF⊥ AE$，$\therefore$ 四边形$ODEF$是矩形，$\therefore ∠ DOF=90°$，$OD=EF=x\ \mathrm{m}$. $\because$ 点$A$到水面的距离为7 m，$\therefore AE=7\ \mathrm{m}$，则$AF=AE-EF=(7-x)\mathrm{m}$. $\because$ 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗$A$和$B$中间还有2个水斗，$\therefore ∠ AOB=\dfrac{3}{12}× 360°=90°$，$\therefore ∠ FOA + ∠ BOF = 90°$. 又 $\because ∠ DOF = 90°$，即$∠ DOB + ∠ BOF = 90°$，$\therefore ∠ DOB = ∠ FOA$，$\therefore △ DOB ≌ △ FOA$（AAS），$\therefore DB=AF=(7-x)\mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ DOB$中，$OB=5\ \mathrm{m}$. 根据勾股定理，得$DB^2+OD^2=OB^2$，即$(7-x)^2+x^2=5^2$，解得$x_1=3$，$x_2=4$，$\therefore DB=3\ \mathrm{m}$或$DB=4\ \mathrm{m}$. $\because OD⊥ BC$，$\therefore$ 点$D$是$BC$的中点，即$BC=2DB$，$\therefore BC=6\ \mathrm{m}$或$BC=8\ \mathrm{m}$，则水面宽度$BC$的长为6 m或8 m.

【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：①首先求圆心角∠AOB的度数：12个水斗均匀分布在圆周上，相邻水斗对应的圆心角为30°，弧AB中间有2个水斗，说明A、B之间间隔3个水斗，可得∠AOB=90°；②要求弦长BC，根据垂径定理，过圆心O作OD⊥BC，可得BC=2BD，因此只需求出BD的长度即可；③已知点A到水面距离为7m，我们作AE⊥BC、OF⊥AE，构造出矩形ODEF和全等三角形，将AF的长度和BD的长度建立关联，再结合勾股定理列方程求解OD的长度，进而求出BD和BC的长度，最后注意检验解的合理性，不要漏解。
【解析】
如图，作$OD⊥ BC$，$AE⊥ BC$，分别交$BC$于点$D$，$E$，作$OF⊥ AE$于点$F$. 设$OD=x\ \mathrm{m}$.
$\because OD⊥ BC$，$AE⊥ BC$，$OF⊥ AE$，$\therefore$ 四边形$ODEF$是矩形，$\therefore ∠ DOF=90°$，$OD=EF=x\ \mathrm{m}$.
$\because$ 点$A$到水面的距离为7 m，$\therefore AE=7\ \mathrm{m}$，则$AF=AE-EF=(7-x)\mathrm{m}$.
$\because$ 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗$A$和$B$中间还有2个水斗，$\therefore ∠ AOB=\dfrac{3}{12}× 360°=90°$，$\therefore ∠ FOA + ∠ BOF = 90°$.
又 $\because ∠ DOF = 90°$，即$∠ DOB + ∠ BOF = 90°$，$\therefore ∠ DOB = ∠ FOA$，
$\therefore △ DOB ≌ △ FOA$（AAS），$\therefore DB=AF=(7-x)\mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ DOB$中，$OB=5\ \mathrm{m}$. 根据勾股定理，得$DB^2+OD^2=OB^2$，即$(7-x)^2+x^2=5^2$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$，$\therefore DB=3\ \mathrm{m}$或$DB=4\ \mathrm{m}$.
$\because OD⊥ BC$，$\therefore$ 点$D$是$BC$的中点，即$BC=2DB$，
$\therefore BC=6\ \mathrm{m}$或$BC=8\ \mathrm{m}$.

【答案】
水面宽度$BC$的长为6 m或8 m.
【知识点】
1. 垂径定理
2. 全等三角形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题结合古代水车的实际生活情境，考查了圆的相关性质与三角形知识的综合应用，解题的关键是合理作出辅助线，构造直角三角形与全等三角形，将实际问题转化为几何计算问题，同时要注意多解情况的讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

1. 如图，在$\odot O$中，圆心角$∠ AOB=2∠ COD$，则$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$的大小关系是（）。

A.$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$
B.$\overset{\frown}{AB}＞2\overset{\frown}{CD}$
C.$\overset{\frown}{AB}＜2\overset{\frown}{CD}$
D.不能确定

1. A

【分析】
要判断两条弧的大小关系，首先回忆同圆中圆心角和弧的对应规律：在同圆中，弧的长度与它所对的圆心角的大小成正比。本题已知在同一个$\odot O$中，给出了两个圆心角的倍数关系，我们可以通过圆心角和弧长的对应关系推导两条弧的数量关系。
【解析】
在同圆中，弧的度数等于它所对圆心角的度数，且弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）。
设$∠ COD = n°$，由题知$∠ AOB = 2∠ COD = 2n°$，$\odot O$的半径为$r$。
则$\overset{\frown}{CD}$的长度为$\frac{nπ r}{180}$，$\overset{\frown}{AB}$的长度为$\frac{2nπ r}{180}=2×\frac{nπ r}{180}$，因此$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$。
【答案】
A
【知识点】
圆心角与弧的关系、弧长计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是明确同圆中圆心角的大小与所对弧长的正比关系，做题时要注意该规律的适用前提是同圆或等圆。
【难度系数】
0.9

2. 如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD. 若∠AOE=36°，则∠COE的度数是().

A.$36°$
B.$54°$
C.$63°$
D.$72°$

2. D

【分析】
解题时先回忆同圆中弦和圆心角的对应关系：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等。首先由已知AE=BD，可得∠BOD与已知角∠AOE相等；再结合直径的性质，∠AOC和∠BOD是对顶角，二者相等，即可得到∠AOC的度数；最后观察待求的∠COE是由∠AOE和∠AOC组成的，将两个角度数相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在⊙O中，弦AE=弦BD，
∴ 两条弦对应的圆心角相等，即∠BOD=∠AOE=36°，
∵ AB、CD是⊙O的直径，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴ ∠AOC=∠BOD=36°，
∴ ∠COE=∠AOE + ∠AOC = 36° + 36° = 72°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
同圆中弦与圆心角的关系、对顶角相等
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的核心是找到相等的圆心角，理清待求角和已知角的和差关系，掌握基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D为$\odot O$上的两点. 若$BC=CD=DA=4$，则$\odot O$的半径长为().

A.2
B.4
C.6
D.8

3. B

【分析】
解题时首先回忆同圆中弦、弧、圆心角的关系：相等的弦所对的弧相等。已知AB是圆的直径，对应弧为180°的半圆，结合BC=CD=DA，可推出三段弧将半圆三等分，每段弧对应的圆心角为60°。再结合半径相等，可判定含60°角的等腰三角形为等边三角形，进而求出半径长度。
【解析】
连接OC、OD。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ 弧AB的度数为$180°$。
∵ $BC=CD=DA=4$，
∴ 弧BC=弧CD=弧DA（同圆中，相等的弦所对的弧相等），
∴ 弧BC的度数为$180° ÷ 3 = 60°$，
∴ 圆心角$∠ BOC=60°$。
又
∵ $OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ OBC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴ $OB=BC=4$，即$\odot O$的半径为4。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆心角弧弦的关系
2. 等边三角形的判定
3. 圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用等弦对等弧的性质得到三等分半圆的结论，再结合等边三角形的判定即可快速求出半径，考查学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8