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4. 如图，在$\odot O$中，$AB=AC$，$∠ B=70°$，则$∠ A$的度数为
$40°$
。答案
4. $40°$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：在$\odot O$中$AB=AC$，可推出$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得$∠ B=∠ C$；再结合已知$∠ B=70°$得到$∠ C$的度数，最后利用三角形内角和为$180°$，即可计算出$∠ A$的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$AB=AC$，
∴ $△ ABC$为等腰三角形，
∴ $∠ B=∠ C$，
∵ $∠ B=70°$，
∴ $∠ C=70°$，
又
∵ 三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆的弦的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查了基础几何性质的应用，解题思路清晰，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：在$\odot O$中$AB=AC$，可推出$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得$∠ B=∠ C$；再结合已知$∠ B=70°$得到$∠ C$的度数，最后利用三角形内角和为$180°$，即可计算出$∠ A$的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$AB=AC$，
∴ $△ ABC$为等腰三角形，
∴ $∠ B=∠ C$，
∵ $∠ B=70°$，
∴ $∠ C=70°$，
又
∵ 三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆的弦的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查了基础几何性质的应用，解题思路清晰，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且$OD// BC$。若$∠ AOD=40°$，则$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数为
$100°$
。答案
5. $100°$
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数，本质是求$∠ BOC$的度数。解题思路如下：首先利用平行线的同位角相等性质，结合已知的$OD// BC$和$∠ AOD=40°$，求出$∠ OBC$的度数；再根据圆的半径相等，可得$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，因此$∠ OCB=∠ OBC$；最后结合三角形内角和为$180°$，即可求出$∠ BOC$的度数。
【解析】
解：$\because OD// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，
$\therefore ∠ OBC=∠ AOD=40°$。
$\because OB、OC$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=40°$。
根据三角形内角和为$180°$，在$△ OBC$中：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-40°-40°=100°$。
即$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数为$100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角的概念
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的基本特征与平行线、三角形的知识点结合考察，解题的关键是抓住“同圆半径相等”和“平行线同位角相等”两个核心条件，推导逻辑清晰，侧重基础应用能力的检验。
【难度系数】
0.8
要计算$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数，本质是求$∠ BOC$的度数。解题思路如下：首先利用平行线的同位角相等性质，结合已知的$OD// BC$和$∠ AOD=40°$，求出$∠ OBC$的度数；再根据圆的半径相等，可得$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，因此$∠ OCB=∠ OBC$；最后结合三角形内角和为$180°$，即可求出$∠ BOC$的度数。
【解析】
解：$\because OD// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，
$\therefore ∠ OBC=∠ AOD=40°$。
$\because OB、OC$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=40°$。
根据三角形内角和为$180°$，在$△ OBC$中：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-40°-40°=100°$。
即$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数为$100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角的概念
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的基本特征与平行线、三角形的知识点结合考察，解题的关键是抓住“同圆半径相等”和“平行线同位角相等”两个核心条件，推导逻辑清晰，侧重基础应用能力的检验。
【难度系数】
0.8
6. 如图，点A，B，C为$\odot O$上的三点，且有$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，连接AB，BC，CA。(1)试确定$△ ABC$的形状，并说明理由；(2)若$AB=a$，求$\odot O$的半径。
答案
(1)△ABC为等边三角形，理由略 (2)$\frac{\sqrt{3}}{3}a$
解析
【分析】
第(1)问：解题时首先回忆同圆中弧与弦的对应关系，已知三段弧相等，根据“同圆中等弧对等弦”的性质，可推出三角形三边相等，即可判断三角形形状。第(2)问：求圆的半径时，可通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理得到半弦长，再利用等边三角形外接圆的圆心角特征，通过解直角三角形求出半径。
【解析】
(1) $△ ABC$是等边三角形，理由如下：
在$\odot O$中，$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=BC=CA$，$\therefore △ ABC$是等边三角形。
(2) 过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，连接$OB$。
由垂径定理可得：$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$。
$\because \overset{\frown}{BC}$的度数为$120°$，$\therefore$弧$BC$所对的圆心角$∠ BOC=120°$。
$\because OB=OC$，$OD⊥ BC$，$\therefore ∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$。
在$Rt△ BOD$中，$\sin∠ BOD=\frac{BD}{OB}$，即$\sin60°=\frac{\frac{1}{2}a}{OB}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$OB=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，即$\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等边三角形；(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}a$
【知识点】
弧与弦的关系、垂径定理、等边三角形判定
【点评】
本题是圆的基础应用题目，重点考查圆心角、弧、弦的对应关系，以及外接圆半径的计算方法，构造直角三角形是求解第二问的关键，能帮助学生巩固圆和等边三角形的关联知识。
【难度系数】
0.75
第(1)问：解题时首先回忆同圆中弧与弦的对应关系，已知三段弧相等，根据“同圆中等弧对等弦”的性质，可推出三角形三边相等，即可判断三角形形状。第(2)问：求圆的半径时，可通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理得到半弦长，再利用等边三角形外接圆的圆心角特征，通过解直角三角形求出半径。
【解析】
(1) $△ ABC$是等边三角形，理由如下：
在$\odot O$中，$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=BC=CA$，$\therefore △ ABC$是等边三角形。
(2) 过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，连接$OB$。
由垂径定理可得：$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$。
$\because \overset{\frown}{BC}$的度数为$120°$，$\therefore$弧$BC$所对的圆心角$∠ BOC=120°$。
$\because OB=OC$，$OD⊥ BC$，$\therefore ∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$。
在$Rt△ BOD$中，$\sin∠ BOD=\frac{BD}{OB}$，即$\sin60°=\frac{\frac{1}{2}a}{OB}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$OB=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，即$\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等边三角形；(2) $\frac{\sqrt{3}}{3}a$
【知识点】
弧与弦的关系、垂径定理、等边三角形判定
【点评】
本题是圆的基础应用题目，重点考查圆心角、弧、弦的对应关系，以及外接圆半径的计算方法，构造直角三角形是求解第二问的关键，能帮助学生巩固圆和等边三角形的关联知识。
【难度系数】
0.75
1. 如图，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$OA⊥ CD$于点M，$CN⊥ BD$于N，且BD为$\odot O$的直径. 若$ON=\sqrt{3}$，则CD长为________.
答案
1. 6
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，根据弧中点的性质可得等弧对应的圆心角相等；第二步，结合两处垂直的条件，证明△OMC和△ONC全等，得到OM=ON=√3；第三步，利用圆周角定理和等腰三角形性质推导角的关系，求出∠MOC的度数；第四步，结合直角三角形的性质和垂径定理，即可求出CD的长度。
【解析】
连接OC，设⊙O的半径为$r$。
1. 因为$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，可得$∠ AOC=∠ BOC$。
2. 已知$OA⊥ CD$，$CN⊥ BD$，所以$∠ OMC=∠ ONC=90°$。
在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases}∠ OMC=∠ ONC\\∠ MOC=∠ NOC\\OC=OC\end{cases}$
所以$△ OMC≌△ ONC$（AAS），因此$OM=ON=\sqrt{3}$。
3. 圆周角$∠ CDB$对应弧$\overset{\frown}{BC}$，由圆周角定理得$∠ CDB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}∠ MOC$。
又因为$OD=OC$（都是圆的半径），所以$∠ CDB=∠ OCD$，因此$∠ OCD=\frac{1}{2}∠ MOC$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，$∠ MOC+∠ OCD=90°$，代入$∠ OCD=\frac{1}{2}∠ MOC$得：
$∠ MOC+\frac{1}{2}∠ MOC=90°$
解得$∠ MOC=60°$，所以$∠ OCD=30°$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，$30°$角对的直角边为$OM$，所以$OC=2OM=2\sqrt{3}$。
由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9}=3$
6. 由垂径定理，$OA⊥ CD$，所以$CD=2CM=2×3=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
垂径定理，全等三角形判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质和三角形的相关知识结合考查，解题的核心是通过弧中点的性质找到等角关系，进而通过全等和角度推导求出未知线段，掌握圆的基础定理是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：第一步，根据弧中点的性质可得等弧对应的圆心角相等；第二步，结合两处垂直的条件，证明△OMC和△ONC全等，得到OM=ON=√3；第三步，利用圆周角定理和等腰三角形性质推导角的关系，求出∠MOC的度数；第四步，结合直角三角形的性质和垂径定理，即可求出CD的长度。
【解析】
连接OC，设⊙O的半径为$r$。
1. 因为$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，可得$∠ AOC=∠ BOC$。
2. 已知$OA⊥ CD$，$CN⊥ BD$，所以$∠ OMC=∠ ONC=90°$。
在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases}∠ OMC=∠ ONC\\∠ MOC=∠ NOC\\OC=OC\end{cases}$
所以$△ OMC≌△ ONC$（AAS），因此$OM=ON=\sqrt{3}$。
3. 圆周角$∠ CDB$对应弧$\overset{\frown}{BC}$，由圆周角定理得$∠ CDB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}∠ MOC$。
又因为$OD=OC$（都是圆的半径），所以$∠ CDB=∠ OCD$，因此$∠ OCD=\frac{1}{2}∠ MOC$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，$∠ MOC+∠ OCD=90°$，代入$∠ OCD=\frac{1}{2}∠ MOC$得：
$∠ MOC+\frac{1}{2}∠ MOC=90°$
解得$∠ MOC=60°$，所以$∠ OCD=30°$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，$30°$角对的直角边为$OM$，所以$OC=2OM=2\sqrt{3}$。
由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9}=3$
6. 由垂径定理，$OA⊥ CD$，所以$CD=2CM=2×3=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
垂径定理，全等三角形判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质和三角形的相关知识结合考查，解题的核心是通过弧中点的性质找到等角关系，进而通过全等和角度推导求出未知线段，掌握圆的基础定理是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在$\odot O$中，$∠ AOB=60°$，点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，点D是半径OA上一动点. 若$OA=3$，则$BD+CD$的最小值为
$3\sqrt{2}$
.答案
2. $3\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）与圆结合的综合题，解题思路如下：1. 要在OA上找动点D使BD+CD最小，根据对称性质，作点C关于OA的对称点C'，则CD=C'D，因此BD+CD=BD+C'D，当B、D、C'三点共线时，和取最小值，即线段BC'的长度；2. 结合圆心角与弧的对应关系求出∠BOC'的度数，再利用勾股定理计算BC'的长度即可得到结果。
【解析】
解：作点C关于OA的对称点C'，连接BC'，交OA于点D，此时BD+CD的值最小，最小值为BC'的长。
∵ 点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=60°$
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$
由对称的性质可得：$∠ AOC'=∠ AOC=30°$，$OC'=OC=OA=3$
∴ $∠ BOC'=∠ AOB+∠ AOC'=60°+30°=90°$
又
∵ $OB=OC'=3$
∴ 在$Rt△ BOC'$中，由勾股定理得：
$BC'=\sqrt{OB^2+OC'^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
即$BD+CD$的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题，圆心角与弧的关系，勾股定理
【点评】
本题结合了最短路径模型和圆的基本性质，解题的核心是通过对称将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合圆心角的性质和勾股定理计算，需要熟练掌握最短路径问题的常规处理思路。
【难度系数】
0.65
本题属于最短路径（将军饮马）与圆结合的综合题，解题思路如下：1. 要在OA上找动点D使BD+CD最小，根据对称性质，作点C关于OA的对称点C'，则CD=C'D，因此BD+CD=BD+C'D，当B、D、C'三点共线时，和取最小值，即线段BC'的长度；2. 结合圆心角与弧的对应关系求出∠BOC'的度数，再利用勾股定理计算BC'的长度即可得到结果。
【解析】
解：作点C关于OA的对称点C'，连接BC'，交OA于点D，此时BD+CD的值最小，最小值为BC'的长。
∵ 点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=60°$
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$
由对称的性质可得：$∠ AOC'=∠ AOC=30°$，$OC'=OC=OA=3$
∴ $∠ BOC'=∠ AOB+∠ AOC'=60°+30°=90°$
又
∵ $OB=OC'=3$
∴ 在$Rt△ BOC'$中，由勾股定理得：
$BC'=\sqrt{OB^2+OC'^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
即$BD+CD$的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题，圆心角与弧的关系，勾股定理
【点评】
本题结合了最短路径模型和圆的基本性质，解题的核心是通过对称将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合圆心角的性质和勾股定理计算，需要熟练掌握最短路径问题的常规处理思路。
【难度系数】
0.65
