3. 如图，已知锐角$∠ AOB$.
(1)在射线$OA$上取一点$C$，以点$O$为圆心，$OC$长为半径作$\widehat{PQ}$，交射线$OB$于点$D$，连接$CD$.
(2)分别以点$C$，$D$为圆心，$CD$长为半径作弧，交于点$M$，$N$($M$，$N$区别于$C$，$D$两点).
(3)连接$OM$，$MN$.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的有(填序号)，并证明其中一个正确的结论.
①$∠ COM = ∠ COD$；②若$OM = MN$，则$∠ AOB = 20°$；③$MN // CD$；④$MN=3CD$.

3. ①②③，证明略

【分析】
首先梳理作图得到的等量关系：由作图可知，$\widehat{PQ}$是以O为圆心的弧，因此$OC=OD=OM=ON$；又分别以C、D为圆心、CD长为半径作弧得M、N，因此$CM=CD=DN$。接下来逐个验证结论：①可通过SSS证明$△ COM ≌ △ COD$判断；②可先由$OM=MN$得$△ OMN$是等边三角形，结合三个圆心角$∠ COM=∠ COD=∠ DON$相等求解$∠ AOB$；③可利用同圆中夹等弧的两弦平行，或通过角度计算证明内错角相等/同旁内角互补判断；④可通过弦长与圆心角的关系判断，弦长与对应圆心角不是正比例关系，因此$MN ≠ 3CD$。
【解析】
由作图过程可得：$OC=OD=OM=ON$，$CM=CD=DN$。
1. 验证①：在$△ COM$和$△ COD$中，
$\begin{cases}OC=OC \\OM=OD \\CM=CD\end{cases}$
$\therefore △ COM ≌ △ COD \ (\mathrm{SSS})$，$\therefore ∠ COM=∠ COD$，故①正确。
2. 验证②：同理可证$△ DON ≌ △ DOC$，$\therefore ∠ DON=∠ COD$，即$∠ COM=∠ COD=∠ DON=∠ AOB$。
若$OM=MN$，$\because OM=ON$，$\therefore OM=ON=MN$，$△ OMN$为等边三角形，$∠ MON=60°$。
又$\because ∠ MON=∠ COM+∠ COD+∠ DON=3∠ AOB$，$\therefore 3∠ AOB=60°$，解得$∠ AOB=20°$，故②正确。
3. 验证③：$\because$弧$CM$、弧$CD$、弧$DN$所对的圆心角相等，$\therefore \overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{DN}$，根据同圆中夹等弧的两条弦互相平行，可得$MN // CD$，故③正确。
4. 验证④：弦长与对应圆心角的正弦值成正比，$CD$对应圆心角为$∠ AOB=α$，$MN$对应圆心角为$3α$，由弦长公式可知$MN≠3CD$，故④错误。
综上，正确结论为①②③，任选一个证明即可。
【答案】
①②③，证明略
【知识点】
全等三角形判定与性质，圆心角与弧弦的关系，等边三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础性质的综合运用，需要先从作图步骤中提取相等的线段、弧的关系，再逐一推导验证结论，能有效检验对核心几何定理的掌握熟练度。
【难度系数】
0.6

4. 如图，点A，B，C，D都在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$。已知$\odot O$的半径是3，弦$CD=2\sqrt{3}$，求弦AB的长。

4. 如图，过点O作$OE⊥AB$交$\odot O$于点E，交AB于点H. 由垂径定理可知，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$BH=AH=\frac{1}{2}AB$. $\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$，$\therefore ∠AOE=∠BOE=∠COD$，$\therefore BE=CD=2\sqrt{3}$. 已知$\odot O$的半径是3，若设$OH=x$，则$HE=3-x$，在$\mathrm{Rt}△OHB$中，$BH^2=OB^2-OH^2=3^2-x^2$；在$\mathrm{Rt}△EHB$中，$BH^2=EB^2-EH^2=(2\sqrt{3})^2-(3-x)^2$，$\therefore 3^2-x^2=(2\sqrt{3})^2-(3-x)^2$，$\therefore x=1$，即$OH=1$. $\therefore$在$\mathrm{Rt}△OHB$中，$BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=2\sqrt{2}$，$\therefore AB=2BH=4\sqrt{2}$。

【分析】
要解决本题，首先处理弧的倍数关系：已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，可通过垂径定理作AB的垂线，将$\overset{\frown}{AB}$平分为两段和$\overset{\frown}{CD}$相等的弧，根据等弧对等弦得到和CD长度相等的弦。再利用两个含公共直角边BH的直角三角形，通过勾股定理分别表示BH的平方，建立方程求出OH的长度，最后计算BH并乘以2即可得到AB的长度。
【解析】
解：过点O作$OE⊥AB$交$\odot O$于点E，交AB于点H。
由垂径定理可知：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$BH=AH=\frac{1}{2}AB$。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}$，根据等弧对等弦可得$BE=CD=2\sqrt{3}$。
已知$\odot O$的半径为3，即$OB=OE=3$，设$OH=x$，则$HE=3-x$。
在$\mathrm{Rt}△OHB$中，由勾股定理得：$BH^2=OB^2-OH^2=3^2-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△EHB$中，由勾股定理得：$BH^2=EB^2-EH^2=(2\sqrt{3})^2-(3-x)^2$。
联立等式得：$3^2-x^2=(2\sqrt{3})^2-(3-x)^2$
解得$x=1$，即$OH=1$。
在$\mathrm{Rt}△OHB$中，$BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore AB=2BH=4\sqrt{2}$。
【答案】
弦AB的长为$4\sqrt{2}$。
【知识点】
垂径定理；弧弦圆心角的关系；勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和勾股定理的应用，解题关键是借助垂径定理将弧的倍数关系转化为等弧，进而得到等弦，再通过公共直角边建立方程求解，体现了几何解题中的转化思想和方程思想。
【难度系数】
0.6