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4. 已知关于$x$的一元二次方程$(x-1)(x-4)=p^2$，且$p$为实数.
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)当$p$为何值时，该方程有整数解？（直接写出三个符合条件的$p$值，不需要说明理由）
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)当$p$为何值时，该方程有整数解？（直接写出三个符合条件的$p$值，不需要说明理由）
答案
(1)原方程可化为$x^2 -5x +4 -p^2=0$，$\because \Delta=25-4(4-p^2)=9+4p^2＞0$，$\therefore$该方程有两个不相等的实数根。
(2) $\pm2$，0(答案不唯一)
(2) $\pm2$，0(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心方法是证明判别式Δ＞0。首先需要将给定的方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定$a、b、c$的取值后代入判别式公式计算，再结合$p$为实数的条件，判断Δ的正负性即可完成证明。
(2) 要使方程有整数解，可先通过求根公式写出根的表达式，分析可知根号内的被开方数必须为完全平方数，且分子需为偶数才能保证根为整数，代入尝试即可得到符合条件的$p$值。
【解析】
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开左边得：$x^2 - 5x + 4 = p^2$，
移项得：$x^2 - 5x + 4 - p^2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=4-p^2$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(4-p^2) = 25 - 16 + 4p^2 = 9 + 4p^2$，
∵$p$为实数，
∴$p^2 ≥ 0$，则$4p^2 ≥ 0$，
∴$\Delta = 9 + 4p^2 ≥ 9 ＞ 0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
(2) 结合整数解的要求代入尝试，可得$p=0、2、-2$时均满足条件，答案不唯一。
【答案】
(1) 该方程有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $0、2、-2$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，整数解判定
【点评】
本题是一元二次方程的常规题型，第一问侧重基础，考查根的判别式的标准用法；第二问需要结合数的性质反向推导参数取值，兼顾了对知识灵活运用能力的考查，能有效检验学生对相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心方法是证明判别式Δ＞0。首先需要将给定的方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定$a、b、c$的取值后代入判别式公式计算，再结合$p$为实数的条件，判断Δ的正负性即可完成证明。
(2) 要使方程有整数解，可先通过求根公式写出根的表达式，分析可知根号内的被开方数必须为完全平方数，且分子需为偶数才能保证根为整数，代入尝试即可得到符合条件的$p$值。
【解析】
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开左边得：$x^2 - 5x + 4 = p^2$，
移项得：$x^2 - 5x + 4 - p^2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-5$，$c=4-p^2$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(4-p^2) = 25 - 16 + 4p^2 = 9 + 4p^2$，
∵$p$为实数，
∴$p^2 ≥ 0$，则$4p^2 ≥ 0$，
∴$\Delta = 9 + 4p^2 ≥ 9 ＞ 0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
(2) 结合整数解的要求代入尝试，可得$p=0、2、-2$时均满足条件，答案不唯一。
【答案】
(1) 该方程有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $0、2、-2$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，整数解判定
【点评】
本题是一元二次方程的常规题型，第一问侧重基础，考查根的判别式的标准用法；第二问需要结合数的性质反向推导参数取值，兼顾了对知识灵活运用能力的考查，能有效检验学生对相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
1. 已知一元二次方程的两个根分别为$x_1=3$，$x_2=-4$，则这个方程为(
A.$(x-3)(x+4)=0$
B.$(x+3)(x-4)=0$
C.$(x+3)(x+4)=0$
D.$(x-3)(x-4)=0$
A
)。A.$(x-3)(x+4)=0$
B.$(x+3)(x-4)=0$
C.$(x+3)(x+4)=0$
D.$(x-3)(x-4)=0$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时可以利用因式分解法解一元二次方程的逆向逻辑思考：我们知道用因式分解法解一元二次方程时，若方程可整理为两个一次因式乘积等于0的形式，令每个因式等于0，得到的解就是方程的根。反过来，如果已知方程的两个根，我们就可以直接写出对应的两个一次因式，将它们相乘等于0，就能得到所求的一元二次方程，代入根的时候注意符号不要出错。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则该方程可以写为$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式。
已知方程的两个根$x_1=3$，$x_2=-4$，代入上述公式可得：
$(x - 3)(x - (-4))=0$
化简得：$(x - 3)(x + 4)=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的定义
【点评】
本题是基础题型，考查因式分解法的逆用，解题的关键是牢记已知两根写方程的形式，代入根时要注意符号处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.9
解题时可以利用因式分解法解一元二次方程的逆向逻辑思考：我们知道用因式分解法解一元二次方程时，若方程可整理为两个一次因式乘积等于0的形式，令每个因式等于0，得到的解就是方程的根。反过来，如果已知方程的两个根，我们就可以直接写出对应的两个一次因式，将它们相乘等于0，就能得到所求的一元二次方程，代入根的时候注意符号不要出错。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则该方程可以写为$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式。
已知方程的两个根$x_1=3$，$x_2=-4$，代入上述公式可得：
$(x - 3)(x - (-4))=0$
化简得：$(x - 3)(x + 4)=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的定义
【点评】
本题是基础题型，考查因式分解法的逆用，解题的关键是牢记已知两根写方程的形式，代入根时要注意符号处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.9
2. 方程$x^2 - x = 0$的解是(
A.$x_1=x_2=1$
B.$x_1=x_2=0$
C.$x_1=1, x_2=0$
D.$x_1=-1, x_2=0$
C
).A.$x_1=x_2=1$
B.$x_1=x_2=0$
C.$x_1=1, x_2=0$
D.$x_1=-1, x_2=0$
答案
2. C
解析
【分析】
本题要求解一元二次方程的根，适合选用因式分解法求解。解题时首先观察方程特征：方程右侧已经为0，左侧多项式存在公因式x，可通过提公因式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理，将二次方程降次为两个一元一次方程，求解后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：对给定方程$x^2 - x = 0$进行因式分解：
提取公因式$x$，可得$x(x-1)=0$
根据有理数乘法的性质，两数相乘结果为0，则其中至少一个数为0，因此可得：
$x=0$ 或 $x-1=0$
分别求解两个一次方程：
当$x-1=0$时，解得$x=1$
综上，方程的解为$x_1=1$，$x_2=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，核心考查因式分解中提公因式法的应用，以及将二次方程降次转化为一次方程求解的思路，熟练掌握因式分解的常用方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.9
本题要求解一元二次方程的根，适合选用因式分解法求解。解题时首先观察方程特征：方程右侧已经为0，左侧多项式存在公因式x，可通过提公因式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理，将二次方程降次为两个一元一次方程，求解后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：对给定方程$x^2 - x = 0$进行因式分解：
提取公因式$x$，可得$x(x-1)=0$
根据有理数乘法的性质，两数相乘结果为0，则其中至少一个数为0，因此可得：
$x=0$ 或 $x-1=0$
分别求解两个一次方程：
当$x-1=0$时，解得$x=1$
综上，方程的解为$x_1=1$，$x_2=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，核心考查因式分解中提公因式法的应用，以及将二次方程降次转化为一次方程求解的思路，熟练掌握因式分解的常用方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.9
3. 分别以一元二次方程$x^2 -6x +8=0$的两个根为腰和底边的长画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是(
A.10
B.8
C.10或8
D.10或6
A
).A.10
B.8
C.10或8
D.10或6
答案
3. A
解析
【分析】
解决这道题需按三步思考：第一步，用因式分解法求解一元二次方程，得到两个根；第二步，结合等腰三角形腰和底的定义，分两种情况讨论边长组合；第三步，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证组合是否合法，排除不能构成三角形的情况后，计算合法三角形的周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -6x +8=0$因式分解，可得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，即等腰三角形的两条已知边长为2和4。
2. 分情况验证并计算：
情况1：若腰长为2，底边长为4，此时三边长为2、2、4。由于$2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去。
情况2：若腰长为4，底边长为2，此时三边长为4、4、2。验证得$4+2＞4$、$4+4＞2$，符合三边关系，可构成三角形，周长为$4+4+2=10$。
综上，等腰三角形的周长为10，故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解方程；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，很多同学解题时会忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长误选C。遇到等腰三角形边长相关题目时，一定要先验证三边是否满足构成三角形的条件，避免掉入陷阱。
【难度系数】
0.7
解决这道题需按三步思考：第一步，用因式分解法求解一元二次方程，得到两个根；第二步，结合等腰三角形腰和底的定义，分两种情况讨论边长组合；第三步，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证组合是否合法，排除不能构成三角形的情况后，计算合法三角形的周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -6x +8=0$因式分解，可得$(x-2)(x-4)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，即等腰三角形的两条已知边长为2和4。
2. 分情况验证并计算：
情况1：若腰长为2，底边长为4，此时三边长为2、2、4。由于$2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去。
情况2：若腰长为4，底边长为2，此时三边长为4、4、2。验证得$4+2＞4$、$4+4＞2$，符合三边关系，可构成三角形，周长为$4+4+2=10$。
综上，等腰三角形的周长为10，故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解方程；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，很多同学解题时会忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长误选C。遇到等腰三角形边长相关题目时，一定要先验证三边是否满足构成三角形的条件，避免掉入陷阱。
【难度系数】
0.7
4. 已知一元二次方程$(x+3)(x+k)=0$有一个根是2，则$k$的值为（
A.2
B.$-2$
C.3
D.$-3$
B
）。A.2
B.$-2$
C.3
D.$-3$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知方程的一个根为2，我们可以直接将x=2代入原方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值；也可以结合因式分解法解方程的原理：两个因式乘积为0时至少一个因式为0，原方程的根为x=-3和x=-k，已知其中一个根是2，即可直接推出-k=2，求出k。
【解析】
方法一：利用方程根的定义求解
∵ x=2是一元二次方程$(x+3)(x+k)=0$的根，
∴ 将x=2代入原方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}(2+3)(2+k)&=0\\5(2+k)&=0\\2+k&=0\\k&=-2\end{aligned}$
方法二：利用因式分解法解方程的原理求解
方程$(x+3)(x+k)=0$的根为$x+3=0$或$x+k=0$的解，即$x_1=-3$，$x_2=-k$，
已知方程的一个根是2，因此$-k=2$，解得$k=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的概念的应用，掌握根的定义或因式分解法解方程的原理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知方程的一个根为2，我们可以直接将x=2代入原方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值；也可以结合因式分解法解方程的原理：两个因式乘积为0时至少一个因式为0，原方程的根为x=-3和x=-k，已知其中一个根是2，即可直接推出-k=2，求出k。
【解析】
方法一：利用方程根的定义求解
∵ x=2是一元二次方程$(x+3)(x+k)=0$的根，
∴ 将x=2代入原方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}(2+3)(2+k)&=0\\5(2+k)&=0\\2+k&=0\\k&=-2\end{aligned}$
方法二：利用因式分解法解方程的原理求解
方程$(x+3)(x+k)=0$的根为$x+3=0$或$x+k=0$的解，即$x_1=-3$，$x_2=-k$，
已知方程的一个根是2，因此$-k=2$，解得$k=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的概念的应用，掌握根的定义或因式分解法解方程的原理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 小阳在解方程$x^2=3x$时，只解得一个根是$x=3$，则被他漏掉的一个根是$x=$
0
。答案
5. 0
解析
【分析】
遇到该类一元二次方程，不能直接在方程两边同时除以x，因为x可能为0，除以0无意义，该操作会漏掉x=0的根。正确解题思路为：先将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，再对左侧多项式提公因式因式分解，转化为两个一次式乘积为0的形式，分别求解两个一次方程即可得到所有根。
【解析】
解方程$x^2=3x$：
1. 移项，将含x的项全部移到等号左侧，得：$x^2 - 3x = 0$
2. 对左侧多项式提取公因式x，因式分解得：$x(x-3)=0$
3. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：$x=0$ 或 $x-3=0$
4. 分别求解得：$x_1=0$，$x_2=3$
因此被漏掉的根为$x=0$。
【答案】
0
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程求解的易错题，解题时需注意不要随意在方程两边除以可能为0的整式，避免出现漏根的情况；使用因式分解法解方程时，要先将方程整理为右侧为0的形式，再对左侧因式分解求解。
【难度系数】
0.7
遇到该类一元二次方程，不能直接在方程两边同时除以x，因为x可能为0，除以0无意义，该操作会漏掉x=0的根。正确解题思路为：先将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，再对左侧多项式提公因式因式分解，转化为两个一次式乘积为0的形式，分别求解两个一次方程即可得到所有根。
【解析】
解方程$x^2=3x$：
1. 移项，将含x的项全部移到等号左侧，得：$x^2 - 3x = 0$
2. 对左侧多项式提取公因式x，因式分解得：$x(x-3)=0$
3. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：$x=0$ 或 $x-3=0$
4. 分别求解得：$x_1=0$，$x_2=3$
因此被漏掉的根为$x=0$。
【答案】
0
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程求解的易错题，解题时需注意不要随意在方程两边除以可能为0的整式，避免出现漏根的情况；使用因式分解法解方程时，要先将方程整理为右侧为0的形式，再对左侧因式分解求解。
【难度系数】
0.7
6. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2=7x$；
(2)$(x-4)^2=(5-2x)^2$；
(3)$(x+1)^2 -2(x+1)=0$；
(4)$x^2 -3x +2=0$。
(1)$x^2=7x$；
(2)$(x-4)^2=(5-2x)^2$；
(3)$(x+1)^2 -2(x+1)=0$；
(4)$x^2 -3x +2=0$。
答案
6. (1)$x_1=0$，$x_2=7$. (2)$x_1=1$，$x_2=3$. (3)$x_1=1$，$x_2=-1$. (4)$x_1=1$，$x_2=2$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此可将二次方程降次为两个一元一次方程求解。解题通用步骤为：①移项，将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④求解两个一次方程，所得根即为原方程的根。
各小题具体思路：
(1) 移项后提取公因式x即可分解，注意不能直接两边除以x，会丢失x=0的根；
(2) 移项后整体符合平方差公式的形式，用平方差公式分解即可；
(3) 把(x+1)看作整体，提取公因式(x+1)即可完成因式分解；
(4) 左边二次三项式用十字相乘法分解即可。
【解析】
(1) 移项，得：$x^2 - 7x = 0$
提取公因式$x$，得：$x(x - 7) = 0$
令每个因式为0，得：$x=0$或$x-7=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=7$
(2) 移项，得：$(x-4)^2 - (5-2x)^2 = 0$
由平方差公式分解，得：$[(x-4)-(5-2x)][(x-4)+(5-2x)] = 0$
化简得：$(3x - 9)(-x + 1) = 0$
令每个因式为0，得：$3x-9=0$或$-x+1=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=1$
(3) 提取公因式$(x+1)$，得：$(x+1)[(x+1)-2] = 0$
化简得：$(x+1)(x - 1) = 0$
令每个因式为0，得：$x+1=0$或$x-1=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=1$
(4) 十字相乘法分解左边，得：$(x - 1)(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得：$x-1=0$或$x-2=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2$
【答案】
(1)$x_1=0$，$x_2=7$；(2)$x_1=1$，$x_2=3$；(3)$x_1=1$，$x_2=-1$；(4)$x_1=1$，$x_2=2$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提公因式法因式分解
3.十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，涵盖了提公因式、公式法、十字相乘法等常见因式分解场景，解题时需注意不要随意在方程两边约去含未知数的公因式，避免出现丢根的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此可将二次方程降次为两个一元一次方程求解。解题通用步骤为：①移项，将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④求解两个一次方程，所得根即为原方程的根。
各小题具体思路：
(1) 移项后提取公因式x即可分解，注意不能直接两边除以x，会丢失x=0的根；
(2) 移项后整体符合平方差公式的形式，用平方差公式分解即可；
(3) 把(x+1)看作整体，提取公因式(x+1)即可完成因式分解；
(4) 左边二次三项式用十字相乘法分解即可。
【解析】
(1) 移项，得：$x^2 - 7x = 0$
提取公因式$x$，得：$x(x - 7) = 0$
令每个因式为0，得：$x=0$或$x-7=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=7$
(2) 移项，得：$(x-4)^2 - (5-2x)^2 = 0$
由平方差公式分解，得：$[(x-4)-(5-2x)][(x-4)+(5-2x)] = 0$
化简得：$(3x - 9)(-x + 1) = 0$
令每个因式为0，得：$3x-9=0$或$-x+1=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=1$
(3) 提取公因式$(x+1)$，得：$(x+1)[(x+1)-2] = 0$
化简得：$(x+1)(x - 1) = 0$
令每个因式为0，得：$x+1=0$或$x-1=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=1$
(4) 十字相乘法分解左边，得：$(x - 1)(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得：$x-1=0$或$x-2=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2$
【答案】
(1)$x_1=0$，$x_2=7$；(2)$x_1=1$，$x_2=3$；(3)$x_1=1$，$x_2=-1$；(4)$x_1=1$，$x_2=2$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提公因式法因式分解
3.十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，涵盖了提公因式、公式法、十字相乘法等常见因式分解场景，解题时需注意不要随意在方程两边约去含未知数的公因式，避免出现丢根的错误。
【难度系数】
0.8
