1. 下列方程中，不适合用因式分解法求解的是().

A.$x^2=\sqrt{2}x$
B.$(x-2)^2=2x-4$
C.$4x^2+4x+1=0$
D.$(x+2)(3x-1)=5$

1. D

【分析】
要判断方程是否适合用因式分解法求解，首先明确因式分解法的核心要求：方程需可变形为「两个一次因式的乘积等于0」的形式，即移项后右边为0，左边能分解为两个一次因式相乘的形式。解题时逐个分析每个选项是否满足该要求即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：移项得$x^2-\sqrt{2}x=0$，左边提取公因式$x$可得$x(x-\sqrt{2})=0$，适合因式分解法，不符合题意；
B选项：移项得$(x-2)^2-(2x-4)=0$，将右边变形为$2(x-2)$，再提取公因式$(x-2)$，可得$(x-2)(x-2-2)=(x-2)(x-4)=0$，适合因式分解法，不符合题意；
C选项：左边$4x^2+4x+1$是完全平方式，可直接分解为$(2x+1)^2=0$，适合因式分解法，不符合题意；
D选项：方程右边是5不为0，先展开整理得$3x^2+5x-7=0$，该二次三项式无法在有理数范围内分解为一次因式的乘积，不适合用因式分解法求解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 因式分解的应用
【点评】
本题重点考查因式分解法解方程的适用条件，解题时需先观察方程能否整理为一边为0、另一边方便分解为一次因式乘积的形式，要求熟练掌握提公因式、公式法等常见的因式分解技巧。
【难度系数】
0.8

2. 用因式分解法解方程$x^2 - px -6=0$，将左边分解后有一个因式是$x+3$，则$p$的值是。

2. -1

【分析】
解题思路可从因式分解与多项式乘法的互逆关系入手：已知二次三项式$x^2 - px -6$分解后有一个因式$x+3$，因为原多项式二次项系数为1，因此另一个因式一定是形如$x+a$的一次式。我们可以先将两个一次因式相乘展开，再与原多项式的各项系数一一对应，列出等式求解$p$；也可以利用因式的性质：若$x+3$是多项式的因式，则当$x=-3$时，多项式的值为0，代入原式即可快速算出$p$的值。
【解析】
方法一：利用多项式系数对应相等求解
设$x^2 - px -6 = (x+3)(x+a)$，其中$a$为常数。
将等式右边展开得：$x^2 + (3+a)x + 3a$。
对比等式左右两边各项的系数，可得：
$\begin{cases}3a = -6 \\3+a = -p \end{cases}$
先解第一个方程：$3a=-6$，得$a=-2$。
将$a=-2$代入第二个方程：$3+(-2)=-p$，即$1=-p$，解得$p=-1$。
方法二：利用方程根的性质求解
因为$x+3$是$x^2 - px -6$的因式，所以当$x=-3$时，$x^2 - px -6=0$。
将$x=-3$代入方程得：$(-3)^2 - p×(-3) -6 = 0$
化简得：$9 + 3p -6 = 0$，即$3 + 3p = 0$
移项得$3p=-3$，解得$p=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
因式分解的意义；多项式系数对应相等；一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查因式分解和多项式乘法的互逆关系，同时也可结合方程根的性质灵活解题，解题的关键是抓住因式分解前后多项式各项系数不变的规律，属于基础常规题。
【难度系数】
0.8

3. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，就称这两个方程为“相邻方程”.例如，$x^2=9$和$(x-2)(x+3)=0$有且只有一个相同的实数根$x=-3$，所以这两个方程为“相邻方程”.若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的系数同时满足$a+b+c=0$和$a-b+c=0$，且该方程与$(x+5)(x-n)=0$为“相邻方程”，则$n=$.

3. $\pm1$

【分析】
解题时首先根据方程解的定义，结合已知的$a+b+c=0$和$a-b+c=0$，求出第一个一元二次方程的两个实数根；再用因式分解法求出第二个方程的两个根；最后根据“相邻方程”有且只有一个相同实根的定义，判断两个方程的公共根只能是第一个方程的两个根之一，即可求出$n$的值，注意要验证是否符合定义要求。
【解析】
对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
将$x=1$代入方程左边，得$a·1^2 + b·1 + c = a+b+c$，
∵$a+b+c=0$，
∴$x=1$是方程$ax^2+bx+c=0$的根；
将$x=-1$代入方程左边，得$a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a-b+c$，
∵$a-b+c=0$，
∴$x=-1$是方程$ax^2+bx+c=0$的根；
因此方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
解方程$(x+5)(x-n)=0$，由因式分解法可得：
$x+5=0$或$x-n=0$，解得$x_1=-5$，$x_2=n$。
∵两个方程为“相邻方程”，即有且只有一个相同的实数根，
又
∵第一个方程不存在根$x=-5$，因此相同的实数根只能是1或-1：
①若相同根为1，则$n=1$，此时两个方程的根分别为1、-1和-5、1，仅有一个相同根，符合定义；
②若相同根为-1，则$n=-1$，此时两个方程的根分别为1、-1和-5、-1，仅有一个相同根，符合定义。
综上，$n=\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 因式分解法解方程
3. 新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的基础应用，解题的核心是先确定第一个方程的根，再结合新定义的限制条件确定参数的取值，解题时要注意验证结果是否符合定义要求，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.7

4. 阅读材料：解方程$(x^2 - 1)^2 - 3(x^2 - 1)=0$时，我们可以将$x^2 - 1$视为一个整体，然后设$x^2 - 1=t$，将原方程化为$t^2 - 3t=0$ ①，解得$t_1=0$，$t_2=3$。
当$t=0$时，$x^2 -1=0$，解得$x=\pm1$；
当$t=3$时，$x^2 -1=3$，解得$x=\pm2$。
故原方程的解为$x_1=1$，$x_2=-1$，$x_3=2$，$x_4=-2$。
解答下列问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想。
(2)利用上述材料中的方法解方程$(2y+1)^2 +3(2y+1)+2=0$。

4. (1)换元 转化 (2)设$2y+1=t$，将原方程化为$t^2+3t+2=0$，解得$t_1=-1$，$t_2=-2$。当$t=-1$时，$2y+1=-1$，解得$y=-1$；当$t=-2$时，$2y+1=-2$，解得$y=-\dfrac{3}{2}$。故原方程的解为$y_1=-1$，$y_2=-\dfrac{3}{2}$。

【分析】
(1) 解题时将原方程中重复出现的$x^2-1$整体替换为新未知数$t$，该方法为换元法，可将高次方程转化为低次方程实现降次，体现了将未知复杂问题转化为已知简单问题的转化数学思想。
(2) 按照材料给出的换元法思路，先将方程中重复出现的$2y+1$设为$t$，把原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解得到$t$的取值后，再分别代入$2y+1=t$求出对应的$y$值，即为原方程的解。
【解析】
(1) 根据换元法的定义和解题逻辑可知，该过程利用换元法达到降次目的，体现了转化的数学思想。
(2) 解：设$2y+1=t$，则原方程可化为：
$t^2+3t+2=0$
因式分解得$(t+1)(t+2)=0$，解得$t_1=-1$，$t_2=-2$。
当$t=-1$时，$2y+1=-1$，解得$y=-1$；
当$t=-2$时，$2y+1=-2$，解得$y=-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 换元；转化
(2) $y_1=-1$，$y_2=-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
换元法，解一元二次方程，整体思想
【点评】
本题考查换元法解方程的应用，核心是识别方程中可作为整体替换的部分，通过换元简化方程求解过程，最后需注意回代计算原未知数的解，是方程类问题中常用的技巧性解法。
【难度系数】
0.8