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2. 下列一元二次方程无实数根的是(
A.$x^2 + x - 2 = 0$
B.$x^2 - 2x = 0$
C.$x^2 + x + 5 = 0$
D.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C
).A.$x^2 + x - 2 = 0$
B.$x^2 - 2x = 0$
C.$x^2 + x + 5 = 0$
D.$x^2 - 2x + 1 = 0$
答案
2. C
解析
【分析】要判断一元二次方程是否有实数根，可利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$判定：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题时只需分别计算每个选项方程的判别式，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
A选项：方程$x^2 + x - 2 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-2$，$\Delta = 1^2-4×1×(-2)=1+8=9＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B选项：方程$x^2 - 2x = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=0$，$\Delta = (-2)^2-4×1×0=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C选项：方程$x^2 + x + 5 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=5$，$\Delta = 1^2-4×1×5=1-20=-19＜0$，方程无实数根，符合题意；
D选项：方程$x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta = (-2)^2-4×1×1=4-4=0$，方程有两个相等的实数根，不符合题意。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题核心是牢记判别式的计算方法以及不同取值对应的根的三种情况，属于常考的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
A选项：方程$x^2 + x - 2 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-2$，$\Delta = 1^2-4×1×(-2)=1+8=9＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B选项：方程$x^2 - 2x = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=0$，$\Delta = (-2)^2-4×1×0=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C选项：方程$x^2 + x + 5 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=5$，$\Delta = 1^2-4×1×5=1-20=-19＜0$，方程无实数根，符合题意；
D选项：方程$x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta = (-2)^2-4×1×1=4-4=0$，方程有两个相等的实数根，不符合题意。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题核心是牢记判别式的计算方法以及不同取值对应的根的三种情况，属于常考的基础题型。
【难度系数】0.8
3. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 + nx + k = 0(m≠0)$有两个实数根，则下列关于判别式$n^2 - 4mk$的判断正确的是(
A.$n^2 - 4mk ≤ 0$
B.$n^2 - 4mk = 0$
C.$n^2 - 4mk ＞ 0$
D.$n^2 - 4mk ≥ 0$
D
).A.$n^2 - 4mk ≤ 0$
B.$n^2 - 4mk = 0$
C.$n^2 - 4mk ＞ 0$
D.$n^2 - 4mk ≥ 0$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的判别式的相关性质，明确判别式的不同取值对应方程根的不同情况：当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；等于0时，有两个相等的实数根；小于0时没有实数根。题干中说明方程有两个实数根，包含“两个相等”和“两个不相等”两种情况，对应判别式的取值范围即可选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，根的情况与判别式的关系为：
1. 若$\Delta ＞ 0$，则方程有两个不相等的实数根；
2. 若$\Delta = 0$，则方程有两个相等的实数根；
3. 若$\Delta ＜ 0$，则方程没有实数根。
本题中一元二次方程$mx^2+nx+k=0(m≠0)$有两个实数根，包含两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况，因此判别式$\Delta = n^2-4mk ≥ 0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根的个数与判别式的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确理解“两个实数根”的含义，不要遗漏两个相等的实数根这种情况，避免误选C选项。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程根的判别式的相关性质，明确判别式的不同取值对应方程根的不同情况：当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；等于0时，有两个相等的实数根；小于0时没有实数根。题干中说明方程有两个实数根，包含“两个相等”和“两个不相等”两种情况，对应判别式的取值范围即可选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，根的情况与判别式的关系为：
1. 若$\Delta ＞ 0$，则方程有两个不相等的实数根；
2. 若$\Delta = 0$，则方程有两个相等的实数根；
3. 若$\Delta ＜ 0$，则方程没有实数根。
本题中一元二次方程$mx^2+nx+k=0(m≠0)$有两个实数根，包含两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况，因此判别式$\Delta = n^2-4mk ≥ 0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根的个数与判别式的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确理解“两个实数根”的含义，不要遗漏两个相等的实数根这种情况，避免误选C选项。
【难度系数】
0.9
4. 用公式法解关于$x$的一元二次方程，得$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2 + 4×2×3}}{2×2}$，则该一元二次方程是(
A.$2x^2 +5x +3=0$
B.$-2x^2 +5x +3=0$
C.$2x^2 +5x -3=0$
D.$2x^2 -5x +3=0$
C
).A.$2x^2 +5x +3=0$
B.$-2x^2 +5x +3=0$
C.$2x^2 +5x -3=0$
D.$2x^2 -5x +3=0$
答案
4. C
解析
【分析】
解这道题的核心是熟练掌握一元二次方程的求根公式结构。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需要将题目给出的求根表达式和标准求根公式一一对应，找出$a、b、c$的取值，代入一般形式就能得到原方程，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的求根公式为：
$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的$\displaystyle x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2 + 4×2×3}}{2×2}$与公式逐项对比：
1. 分母为$2×2$，可得$2a=2×2$，解得$a=2$；
2. 分子的常数项为$-5$，对应公式中的$-b$，可得$-b=-5$，解得$b=5$；
3. 根号内的表达式为$5^2 + 4×2×3$，对应公式中的$b^2-4ac$，代入$a=2、b=5$得：
$5^2 - 4×2×c=5^2 + 4×2×3$
化简得$-8c=24$，解得$c=-3$。
因此原一元二次方程为$2x^2+5x-3=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于求根公式的逆向应用题，解题关键是熟记求根公式的结构，特别要注意根号内判别式的符号规律，避免系数符号判断错误。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是熟练掌握一元二次方程的求根公式结构。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），对应的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们只需要将题目给出的求根表达式和标准求根公式一一对应，找出$a、b、c$的取值，代入一般形式就能得到原方程，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的求根公式为：
$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的$\displaystyle x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2 + 4×2×3}}{2×2}$与公式逐项对比：
1. 分母为$2×2$，可得$2a=2×2$，解得$a=2$；
2. 分子的常数项为$-5$，对应公式中的$-b$，可得$-b=-5$，解得$b=5$；
3. 根号内的表达式为$5^2 + 4×2×3$，对应公式中的$b^2-4ac$，代入$a=2、b=5$得：
$5^2 - 4×2×c=5^2 + 4×2×3$
化简得$-8c=24$，解得$c=-3$。
因此原一元二次方程为$2x^2+5x-3=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于求根公式的逆向应用题，解题关键是熟记求根公式的结构，特别要注意根号内判别式的符号规律，避免系数符号判断错误。
【难度系数】
0.8
5. 用公式法解方程$(x+1)(x-2)=1$，先化为一般式为
$x^2-x-3=0$
，再计算$\Delta$的值为13
，所以方程的解为$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}, x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
。答案
5. $x^2-x-3=0$ 13 $x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}, x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的前提是先将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，因此首先需要展开原方程左边的乘积项，再通过移项、合并同类项得到一般式；随后确定一般式中$a$、$b$、$c$的取值，代入根的判别式$\Delta = b^2-4ac$计算$\Delta$的值；最后根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$（$\Delta≥0$）计算方程的解即可。
【解析】
1. 化为一般式：
先展开原方程左边：$(x+1)(x-2)=x^2 -2x +x -2 = x^2 -x -2$，
原方程转化为$x^2 -x -2 = 1$，将右侧的1移到左侧合并同类项，得$x^2 -x -3 = 0$，即为一元二次方程的一般式。
2. 计算$\Delta$的值：
在一般式$x^2 -x -3 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
代入根的判别式公式得：$\Delta = b^2 -4ac = (-1)^2 -4×1×(-3) = 1 + 12 = 13$。
3. 求方程的解：
因为$\Delta=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x^2-x-3=0$；13；$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}, x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解方程的基础题型，核心考查公式法解方程的标准步骤，解题时需注意移项要变号，计算判别式、代入求根公式时要准确识别$a$、$b$、$c$的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的前提是先将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，因此首先需要展开原方程左边的乘积项，再通过移项、合并同类项得到一般式；随后确定一般式中$a$、$b$、$c$的取值，代入根的判别式$\Delta = b^2-4ac$计算$\Delta$的值；最后根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$（$\Delta≥0$）计算方程的解即可。
【解析】
1. 化为一般式：
先展开原方程左边：$(x+1)(x-2)=x^2 -2x +x -2 = x^2 -x -2$，
原方程转化为$x^2 -x -2 = 1$，将右侧的1移到左侧合并同类项，得$x^2 -x -3 = 0$，即为一元二次方程的一般式。
2. 计算$\Delta$的值：
在一般式$x^2 -x -3 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
代入根的判别式公式得：$\Delta = b^2 -4ac = (-1)^2 -4×1×(-3) = 1 + 12 = 13$。
3. 求方程的解：
因为$\Delta=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x^2-x-3=0$；13；$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}, x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解方程的基础题型，核心考查公式法解方程的标准步骤，解题时需注意移项要变号，计算判别式、代入求根公式时要准确识别$a$、$b$、$c$的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
6. 用公式法解下列一元二次方程：
(1)$2x^2 - 3x + 1 = 0$；
(2)$6x^2 - 13x - 15 = 0$；
(3)$(2x - 1)^2 - 5 = x(x - 5)$；
(4)$y - \frac{y^2 - 1}{2} = 1$。
(1)$2x^2 - 3x + 1 = 0$；
(2)$6x^2 - 13x - 15 = 0$；
(3)$(2x - 1)^2 - 5 = x(x - 5)$；
(4)$y - \frac{y^2 - 1}{2} = 1$。
答案
(1) $x_1=1, x_2=\frac{1}{2}$
(2) $x_1=3, x_2=-\frac{5}{6}$
(3) $x_1=1, x_2=-\frac{4}{3}$
(4) $y_1=y_2=1$
(2) $x_1=3, x_2=-\frac{5}{6}$
(3) $x_1=1, x_2=-\frac{4}{3}$
(4) $y_1=y_2=1$
解析
【分析】
公式法解一元二次方程的通用解题思路为：第一步，先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意系数要带对应符号；第二步，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$则可继续求解；第三步，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算得到方程的根。本题前2个小题已经是一般形式，后2个小题需要先通过去括号、去分母、移项、合并同类项化成一般形式，再按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=(-3)^2-4×2×1=9-8=1＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$
所以$x_1=\frac{3+1}{4}=1$，$x_2=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 方程$6x^2 - 13x - 15 = 0$为一般形式，其中$a=6$，$b=-13$，$c=-15$。
计算判别式：$\Delta=(-13)^2-4×6×(-15)=169+360=529=23^2＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{13\pm23}{2×6}=\frac{13\pm23}{12}$
所以$x_1=\frac{13+23}{12}=3$，$x_2=\frac{13-23}{12}=-\frac{5}{6}$。
(3) 先将方程化为一般形式：
展开左边：$(2x-1)^2-5=4x^2-4x+1-5=4x^2-4x-4$
展开右边：$x(x-5)=x^2-5x$
移项合并同类项：$4x^2-4x-4 -x^2+5x=0$，即$3x^2+x-4=0$
其中$a=3$，$b=1$，$c=-4$。
计算判别式：$\Delta=1^2-4×3×(-4)=1+48=49=7^2＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-1\pm7}{2×3}=\frac{-1\pm7}{6}$
所以$x_1=\frac{-1+7}{6}=1$，$x_2=\frac{-1-7}{6}=-\frac{4}{3}$。
(4) 先将方程化为一般形式：
两边同乘2去分母：$2y-(y^2-1)=2$
去括号移项：$2y-y^2+1-2=0$，整理得$y^2-2y+1=0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×1=4-4=0$，方程有两个相等的实数根。
代入求根公式：$y=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2×1}=1$
所以$y_1=y_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=1, x_2=\frac{1}{2}$
(2) $x_1=3, x_2=-\frac{5}{6}$
(3) $x_1=1, x_2=-\frac{4}{3}$
(4) $y_1=y_2=1$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心是熟练掌握“化一般形式→确定系数→计算判别式→代入求根公式”的解题流程，解题时要注意整理一般形式时的符号问题，当判别式为0时，方程有两个相等的实数根，不要写成只有一个根。
【难度系数】
0.85
公式法解一元二次方程的通用解题思路为：第一步，先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意系数要带对应符号；第二步，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$则可继续求解；第三步，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算得到方程的根。本题前2个小题已经是一般形式，后2个小题需要先通过去括号、去分母、移项、合并同类项化成一般形式，再按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=(-3)^2-4×2×1=9-8=1＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{3\pm1}{4}$
所以$x_1=\frac{3+1}{4}=1$，$x_2=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 方程$6x^2 - 13x - 15 = 0$为一般形式，其中$a=6$，$b=-13$，$c=-15$。
计算判别式：$\Delta=(-13)^2-4×6×(-15)=169+360=529=23^2＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{13\pm23}{2×6}=\frac{13\pm23}{12}$
所以$x_1=\frac{13+23}{12}=3$，$x_2=\frac{13-23}{12}=-\frac{5}{6}$。
(3) 先将方程化为一般形式：
展开左边：$(2x-1)^2-5=4x^2-4x+1-5=4x^2-4x-4$
展开右边：$x(x-5)=x^2-5x$
移项合并同类项：$4x^2-4x-4 -x^2+5x=0$，即$3x^2+x-4=0$
其中$a=3$，$b=1$，$c=-4$。
计算判别式：$\Delta=1^2-4×3×(-4)=1+48=49=7^2＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-1\pm7}{2×3}=\frac{-1\pm7}{6}$
所以$x_1=\frac{-1+7}{6}=1$，$x_2=\frac{-1-7}{6}=-\frac{4}{3}$。
(4) 先将方程化为一般形式：
两边同乘2去分母：$2y-(y^2-1)=2$
去括号移项：$2y-y^2+1-2=0$，整理得$y^2-2y+1=0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×1=4-4=0$，方程有两个相等的实数根。
代入求根公式：$y=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2×1}=1$
所以$y_1=y_2=1$。
【答案】
(1) $x_1=1, x_2=\frac{1}{2}$
(2) $x_1=3, x_2=-\frac{5}{6}$
(3) $x_1=1, x_2=-\frac{4}{3}$
(4) $y_1=y_2=1$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心是熟练掌握“化一般形式→确定系数→计算判别式→代入求根公式”的解题流程，解题时要注意整理一般形式时的符号问题，当判别式为0时，方程有两个相等的实数根，不要写成只有一个根。
【难度系数】
0.85
1. 直线$y=x+a$不经过第二象限，则关于$x$的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$的实数根的个数是(
A.0个
B.1个
C.1个或2个
D.2个
C
).A.0个
B.1个
C.1个或2个
D.2个
答案
1. C
解析
【分析】
首先根据一次函数的图像性质确定参数$a$的取值范围，再分情况讨论方程的类型：当$a=0$时，方程为一元一次方程，直接判断根的个数；当$a≠0$时，方程为一元二次方程，通过计算判别式$\Delta$的符号判断实根个数，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
1. 确定$a$的取值范围：
一次函数$y=x+a$的斜率$k=1＞0$，若图像不经过第二象限，则截距$a≤0$。
2. 分类讨论方程的实根个数：
当$a=0$时，方程化简为$2x+1=0$，属于一元一次方程，解得$x=-\frac{1}{2}$，有1个实数根；
当$a＜0$时，方程$ax^2+2x+1=0$是一元二次方程，判别式$\Delta=2^2-4× a×1=4-4a$。
因为$a＜0$，所以$-4a＞0$，可得$\Delta=4-4a＞4＞0$，此时方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为1个或2个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质，一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查一次函数图像特征和方程根的判断，解题核心是先根据一次函数性质确定参数范围，易错点是容易遗漏$a=0$的特殊情况，需要熟练运用分类讨论思想解题。
【难度系数】
0.7
首先根据一次函数的图像性质确定参数$a$的取值范围，再分情况讨论方程的类型：当$a=0$时，方程为一元一次方程，直接判断根的个数；当$a≠0$时，方程为一元二次方程，通过计算判别式$\Delta$的符号判断实根个数，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
1. 确定$a$的取值范围：
一次函数$y=x+a$的斜率$k=1＞0$，若图像不经过第二象限，则截距$a≤0$。
2. 分类讨论方程的实根个数：
当$a=0$时，方程化简为$2x+1=0$，属于一元一次方程，解得$x=-\frac{1}{2}$，有1个实数根；
当$a＜0$时，方程$ax^2+2x+1=0$是一元二次方程，判别式$\Delta=2^2-4× a×1=4-4a$。
因为$a＜0$，所以$-4a＞0$，可得$\Delta=4-4a＞4＞0$，此时方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根个数为1个或2个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质，一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查一次函数图像特征和方程根的判断，解题核心是先根据一次函数性质确定参数范围，易错点是容易遗漏$a=0$的特殊情况，需要熟练运用分类讨论思想解题。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于x的一元二次方程$x^2 + kx + 9 = 0$有两个相等的实数根，则k=
$\pm6$
。答案
2. $\pm6$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式与根的数量的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。本题已知方程有两个相等的实数根，因此可先确定方程中a、b、c的取值，代入$\Delta=0$列出关于k的方程，再求解即可，注意求解平方方程时不要漏掉负根。
【解析】
解：一元二次方程$x^2 + kx + 9 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k$，常数项$c=9$。
$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入得：$k^2 - 4×1×9 = 0$，
整理得$k^2=36$，
开平方得$k=\pm6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题关键是牢记根的判别式与根的个数的对应关系，求解时注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的判别式与根的数量的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。本题已知方程有两个相等的实数根，因此可先确定方程中a、b、c的取值，代入$\Delta=0$列出关于k的方程，再求解即可，注意求解平方方程时不要漏掉负根。
【解析】
解：一元二次方程$x^2 + kx + 9 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k$，常数项$c=9$。
$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入得：$k^2 - 4×1×9 = 0$，
整理得$k^2=36$，
开平方得$k=\pm6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，解题关键是牢记根的判别式与根的个数的对应关系，求解时注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.9
3. 已知关于x的一元二次方程$(k+1)x^2 -4x -5=0$没有实数根，则k的取值范围是
$k＜-\frac{9}{5}$
。答案
3. $k＜-\frac{9}{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合一元二次方程的定义和根的判别式的性质思考：①题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$k+1≠0$，这是隐含的前提条件；②一元二次方程没有实数根，说明根的判别式$\Delta＜0$，我们先确定方程中$a、b、c$的对应值，代入判别式公式列出关于$k$的不等式，解出解集后再结合二次项系数的限制，最终得到$k$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(k+1)x^2 -4x -5=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k+1≠0$，即$k≠-1$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$
本题中$a=k+1$，$b=-4$，$c=-5$
∴ $\Delta=(-4)^2 - 4×(k+1)×(-5)=16 + 20(k+1)=20k + 36$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta＜0$，即$20k + 36 ＜ 0$
解不等式得：
$20k ＜ -36$
$k ＜ -\frac{36}{20}=-\frac{9}{5}$
又
∵ $-\frac{9}{5}=-1.8 ＜ -1$，$k＜-\frac{9}{5}$已经满足$k≠-1$的条件
∴ $k$的取值范围为$k＜-\frac{9}{5}$
【答案】
$k＜-\frac{9}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的判别式的应用，做题时要先明确一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，再根据根的情况列对应的判别式不等式求解，计算判别式时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要结合一元二次方程的定义和根的判别式的性质思考：①题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$k+1≠0$，这是隐含的前提条件；②一元二次方程没有实数根，说明根的判别式$\Delta＜0$，我们先确定方程中$a、b、c$的对应值，代入判别式公式列出关于$k$的不等式，解出解集后再结合二次项系数的限制，最终得到$k$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(k+1)x^2 -4x -5=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k+1≠0$，即$k≠-1$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$
本题中$a=k+1$，$b=-4$，$c=-5$
∴ $\Delta=(-4)^2 - 4×(k+1)×(-5)=16 + 20(k+1)=20k + 36$
∵ 方程没有实数根
∴ $\Delta＜0$，即$20k + 36 ＜ 0$
解不等式得：
$20k ＜ -36$
$k ＜ -\frac{36}{20}=-\frac{9}{5}$
又
∵ $-\frac{9}{5}=-1.8 ＜ -1$，$k＜-\frac{9}{5}$已经满足$k≠-1$的条件
∴ $k$的取值范围为$k＜-\frac{9}{5}$
【答案】
$k＜-\frac{9}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的判别式的应用，做题时要先明确一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，再根据根的情况列对应的判别式不等式求解，计算判别式时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
