8.某生态城市计划在公园步道铺设环保地砖,这些地砖由可回收材料制成,且必须制作成正多边形的形状以方便批量生产。设计师需根据数学规律设计密铺方案,同时兼顾美观与环保性。
探究:正多边形的平面图形密铺方案。
正多边形的内角性质是密铺的关键。若在公共顶点处,多个正多边形的内角和为$360°$,即可实现无空隙、不重叠的共顶点密铺。
共顶点单一密铺:仅使用一种正多边形地砖。
例如,设计师尝试用正十边形地砖,但发现无法密铺。
解:设有$x$个正十边形。
∵正十边形每个内角为
$\frac{(10-2)×180°}{10}=144°$,
$144x=360$,
解得$x=\frac{5}{2}$(不是整数,故不符合题意),
∴正十边形不可以共顶点单一密铺。
根据以上材料,解答下列问题:
(1)正三角形地砖易用边角料制作,能否用于单一密铺?请判断并说明理由。
(2)请再找一种能单一密铺的正多边形。
(3)现有正三角形地砖,需搭配另一种正多边形密铺,请写出一种搭配方案。

8.解:(1)能。理由:正三角形的一个内角为$60°$,$60°×6=360°$,所以6块正三角形即可单一密铺。
(2)选择正方形:因为正方形的一个内角为$90°$,$4×90°=360°$,所以4块正方形地砖即可密铺。(答案不唯一)
或选择正六边形:因为正六边形的一个内角为$120°$,$3×120°=360°$,所以3块正六边形地砖即可密铺。
(3)正三角形和正十二边形。(答案不唯一)
1 个正三角形($60°$)+2 个正十二边形($2×150°=300°$),总角度=$60°+300°=360°$。

【分析】
解决本题的核心是紧扣密铺的判定条件：公共顶点处多个正多边形的内角和恰好为360°。解题思路如下：①对于单一密铺问题，先利用正多边形内角公式$内角=\frac{(n-2)×180°}{n}$算出对应正多边形的内角度数，再判断360°是否为该内角度数的正整数倍，若为整数倍则可单一密铺，反之不行；②对于两种正多边形搭配密铺的问题，设两种正多边形的个数分别为正整数，根据内角和为360°列等式，寻找满足条件的正整数解即可得到搭配方案。
【解析】
(1) 正三角形可以用于单一密铺，理由如下：
正三角形的每个内角为$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，设需要$x$个正三角形可实现单一密铺，根据密铺条件列方程：$60x=360$，解得$x=6$，$x$是正整数，符合密铺要求，因此正三角形可用于单一密铺。
(2) 示例：选择正方形，计算如下：
正方形的每个内角为$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$，设需要$y$个正方形可实现单一密铺，列方程：$90y=360$，解得$y=4$，$y$是正整数，符合要求，因此正方形可单一密铺。（也可选择正六边形，计算逻辑一致）
(3) 示例：搭配正十二边形，验证如下：
正十二边形的每个内角为$\frac{(12-2)×180°}{12}=150°$，设公共顶点处有$m$个正三角形、$n$个正十二边形，列方程：$60m+150n=360$，整理得$2m+5n=12$，取正整数解为$m=1、n=2$，即1个正三角形和2个正十二边形的内角和为$60°+2×150°=360°$，满足密铺条件。（答案不唯一）
【答案】
(1) 能。理由：正三角形的一个内角为$60°$，$60°×6=360°$，所以6块正三角形即可单一密铺。
(2) 正方形：因为正方形的一个内角为$90°$，$4×90°=360°$，所以4块正方形地砖即可密铺。（或正六边形：因为正六边形的一个内角为$120°$，$3×120°=360°$，所以3块正六边形地砖即可密铺）
(3) 正三角形和正十二边形。1个正三角形（$60°$）+2个正十二边形（$2×150°=300°$），总角度=$60°+300°=360°$。（答案不唯一）
【知识点】
正多边形内角计算；平面密铺条件；方程整数解应用
【点评】
本题结合生活中地砖铺设的实际场景考查密铺相关知识，解题的核心是抓住“共顶点内角和为360°”的判定规则，既需要熟练掌握正多边形内角的计算方法，也需要结合整数性质分析求解，题型灵活贴近生活，能有效锻炼数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.75