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变式训练2 正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠BAC的度数为
117°
。答案
117°
解析
【分析】
要计算∠BAC的度数，首先观察公共顶点A处的角的关系：正五边形的一个内角、正八边形的一个内角与∠BAC的和为周角360°，因此只需先分别求出正五边形、正八边形的单个内角度数，再用360°减去这两个内角的度数即可得到∠BAC的度数。正多边形单个内角可通过内角和公式推导：正n边形内角和为$(n-2)×180°$，因此每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$。
【解析】
1. 计算正五边形的每个内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此单个内角为$540°÷5=108°$。
2. 计算正八边形的每个内角度数：
正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此单个内角为$1080°÷8=135°$。
3. 计算∠BAC：
因为点A处三个角的和为周角360°，所以
$∠ BAC=360°-108°-135°=117°$
【答案】
117°
【知识点】
正多边形内角计算；周角的性质；角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是明确拼接公共顶点处各角之和为周角，同时熟练掌握正多边形内角的计算方法，只要掌握基本公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠BAC的度数，首先观察公共顶点A处的角的关系：正五边形的一个内角、正八边形的一个内角与∠BAC的和为周角360°，因此只需先分别求出正五边形、正八边形的单个内角度数，再用360°减去这两个内角的度数即可得到∠BAC的度数。正多边形单个内角可通过内角和公式推导：正n边形内角和为$(n-2)×180°$，因此每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$。
【解析】
1. 计算正五边形的每个内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此单个内角为$540°÷5=108°$。
2. 计算正八边形的每个内角度数：
正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，因此单个内角为$1080°÷8=135°$。
3. 计算∠BAC：
因为点A处三个角的和为周角360°，所以
$∠ BAC=360°-108°-135°=117°$
【答案】
117°
【知识点】
正多边形内角计算；周角的性质；角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是明确拼接公共顶点处各角之和为周角，同时熟练掌握正多边形内角的计算方法，只要掌握基本公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
1.下列说法中,错误的是 （
A.正八边形共有 20 条对角线
B.正五边形不能在平面中进行密铺(镶嵌)
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.平行于同一条直线的两直线平行
C
）A.正八边形共有 20 条对角线
B.正五边形不能在平面中进行密铺(镶嵌)
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.平行于同一条直线的两直线平行
答案
1.C 解析:A. 正八边形共有 20 条对角线,不符合题意;B.正五边形不能进行密铺,因为正五边形的每一个内角等于108°,108°的整数倍不等于 360°,不符合题意;C. 同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,符合题意;D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行,不符合题意。
解析
【分析】
本题要求选出错误的说法，需逐一结合对应知识点判断各选项正误：①判断A选项时，调用多边形对角线条数计算公式，代入正八边形的边数计算验证即可；②判断B选项时，先明确平面密铺的核心条件是同一拼接点处若干个内角和为360°，计算正五边形的内角度数后验证是否满足条件；③判断C选项时，回忆垂线的公理，注意公理成立的前提是“同一平面内”，核对选项是否遗漏该前提；④判断D选项时，直接结合平行公理的推论验证表述即可，最终锁定错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. n边形的对角线条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，正八边形的边数$n=8$，代入得对角线条数为$\frac{8×(8-3)}{2}=20$，该说法正确，不符合题意；
B. 正多边形可密铺的条件是：其一个内角的整数倍恰好等于360°。正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，不存在整数$k$使得$108° × k=360°$，因此正五边形不能平面密铺，该说法正确，不符合题意；
C. 只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项未限定“同一平面内”，表述错误，符合题意；
D. 根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两直线互相平行，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线计算；平面图形密铺条件；几何公理辨析
【点评】
本题属于基础概念辨析题，综合考查多个基础几何知识点，易错点为容易忽略垂线公理中“同一平面内”的适用前提，学习公理、定理时要注意识记完整表述及其适用范围。
【难度系数】
0.7
本题要求选出错误的说法，需逐一结合对应知识点判断各选项正误：①判断A选项时，调用多边形对角线条数计算公式，代入正八边形的边数计算验证即可；②判断B选项时，先明确平面密铺的核心条件是同一拼接点处若干个内角和为360°，计算正五边形的内角度数后验证是否满足条件；③判断C选项时，回忆垂线的公理，注意公理成立的前提是“同一平面内”，核对选项是否遗漏该前提；④判断D选项时，直接结合平行公理的推论验证表述即可，最终锁定错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. n边形的对角线条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，正八边形的边数$n=8$，代入得对角线条数为$\frac{8×(8-3)}{2}=20$，该说法正确，不符合题意；
B. 正多边形可密铺的条件是：其一个内角的整数倍恰好等于360°。正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，不存在整数$k$使得$108° × k=360°$，因此正五边形不能平面密铺，该说法正确，不符合题意；
C. 只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项未限定“同一平面内”，表述错误，符合题意；
D. 根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两直线互相平行，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线计算；平面图形密铺条件；几何公理辨析
【点评】
本题属于基础概念辨析题，综合考查多个基础几何知识点，易错点为容易忽略垂线公理中“同一平面内”的适用前提，学习公理、定理时要注意识记完整表述及其适用范围。
【难度系数】
0.7
2.某同学任意剪出了一些形状、大小相同的四种纸板:第一种是形状、大小相同的三角形;第二种是形状、大小相同的四边形;第三种是形状、大小相同的正五边形;第四种是形状、大小相同的正六边形。该同学利用其中一种纸板镶嵌,发现有一种纸板不能镶嵌成一个平面图案,则不能镶嵌成一个平面图案的是 (
A.形状、大小相同的三角形
B.形状、大小相同的四边形
C.形状、大小相同的正五边形
D.形状、大小相同的正六边形
C
)A.形状、大小相同的三角形
B.形状、大小相同的四边形
C.形状、大小相同的正五边形
D.形状、大小相同的正六边形
答案
2.C 解析:A.
∵三角形的内角和是 180°,
∴形状、大小相同的三角形能镶嵌成一个平面图案;B.
∵四边形的内角和是360°,
∴形状、大小相同的四边形能镶嵌成一个平面图案;C.
∵正五边形的一个内角的度数是 108°,不能被 360°整除,
∴形状、大小相同的正五边形不能镶嵌成一个平面图案;D.
∵正六边形的一个内角的度数是 120°,能被 360°整除,
∴形状、大小相同的正六边形能镶嵌成一个平面图案。
∵三角形的内角和是 180°,
∴形状、大小相同的三角形能镶嵌成一个平面图案;B.
∵四边形的内角和是360°,
∴形状、大小相同的四边形能镶嵌成一个平面图案;C.
∵正五边形的一个内角的度数是 108°,不能被 360°整除,
∴形状、大小相同的正五边形不能镶嵌成一个平面图案;D.
∵正六边形的一个内角的度数是 120°,能被 360°整除,
∴形状、大小相同的正六边形能镶嵌成一个平面图案。
解析
【分析】
解决本题首先要明确平面镶嵌（密铺）的核心判定条件：拼接在同一个顶点处的多个内角的和恰好等于360°。我们可以分别计算四种纸板的内角相关特征，判断是否能凑出和为360°即可：对于任意同一种三角形、四边形，结合其内角和判断能否凑360°；对于正多边形，先计算单个内角的度数，再判断360°能否被该内角度数整除，能整除则可以镶嵌，反之则不能。
【解析】
A.
∵三角形的内角和是180°，将6个形状、大小相同的三角形的不同内角拼接在同一顶点时，内角和可凑为2×180°=360°，
∴形状、大小相同的三角形能镶嵌成一个平面图案；
B.
∵四边形的内角和是360°，将4个形状、大小相同的四边形的不同内角拼接在同一顶点时，内角和恰好为360°，
∴形状、大小相同的四边形能镶嵌成一个平面图案；
C.
∵正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°，单个内角的度数为540°÷5=108°，108°不能整除360°，无法通过若干个108°的角凑出360°，
∴形状、大小相同的正五边形不能镶嵌成一个平面图案；
D.
∵正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°，单个内角的度数为720°÷6=120°，3×120°=360°，3个正六边形的内角可在同一顶点处凑出360°，
∴形状、大小相同的正六边形能镶嵌成一个平面图案。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平面镶嵌（密铺）；多边形内角和计算
【点评】
本题考查平面镶嵌的基础判定，牢记镶嵌的核心条件“同一顶点处拼接的各内角和为360°”即可快速解题，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确平面镶嵌（密铺）的核心判定条件：拼接在同一个顶点处的多个内角的和恰好等于360°。我们可以分别计算四种纸板的内角相关特征，判断是否能凑出和为360°即可：对于任意同一种三角形、四边形，结合其内角和判断能否凑360°；对于正多边形，先计算单个内角的度数，再判断360°能否被该内角度数整除，能整除则可以镶嵌，反之则不能。
【解析】
A.
∵三角形的内角和是180°，将6个形状、大小相同的三角形的不同内角拼接在同一顶点时，内角和可凑为2×180°=360°，
∴形状、大小相同的三角形能镶嵌成一个平面图案；
B.
∵四边形的内角和是360°，将4个形状、大小相同的四边形的不同内角拼接在同一顶点时，内角和恰好为360°，
∴形状、大小相同的四边形能镶嵌成一个平面图案；
C.
∵正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°，单个内角的度数为540°÷5=108°，108°不能整除360°，无法通过若干个108°的角凑出360°，
∴形状、大小相同的正五边形不能镶嵌成一个平面图案；
D.
∵正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°，单个内角的度数为720°÷6=120°，3×120°=360°，3个正六边形的内角可在同一顶点处凑出360°，
∴形状、大小相同的正六边形能镶嵌成一个平面图案。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平面镶嵌（密铺）；多边形内角和计算
【点评】
本题考查平面镶嵌的基础判定，牢记镶嵌的核心条件“同一顶点处拼接的各内角和为360°”即可快速解题，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8
3. 如果用边长相等的正三角形和正六边形两种图形铺满平面，那么一个顶点处需要（
A.三个正三角形、两个正六边形
B.四个正三角形、两个正六边形
C.四个正三角形、一个正六边形
D.三个正三角形、一个正六边形
C
）A.三个正三角形、两个正六边形
B.四个正三角形、两个正六边形
C.四个正三角形、一个正六边形
D.三个正三角形、一个正六边形
答案
3.C 解析:A. 由 3×60°+2×120°=420°≠360°知,三个正三角形、两个正六边形不符合题意;B. 由 4×60°+2×120°=480°≠360°知,四个正三角形、两个正六边形不符合题意;C. 由 4×60°+1×120°=360°知,四个正三角形、一个正六边形符合题意;D. 由 3×60°+120°=300°≠360°知,三个正三角形、一个正六边形不符合题意。
解析
【分析】
解决这类平面镶嵌问题的核心是：拼接在同一个顶点处的所有正多边形的内角之和必须等于360°。解题时第一步先计算两种正多边形的单个内角度数：正三角形每个内角为180°÷3=60°，正六边形每个内角为(6-2)×180°÷6=120°；第二步逐一验证各选项中对应数量的两种正多边形的内角和是否为360°，符合的即为正确答案。
【解析】
首先明确正三角形每个内角为60°，正六边形每个内角为120°，平面镶嵌要求同一顶点处各内角之和为360°，逐一验证选项：
A. $3×60°+2×120°=180°+240°=420°≠360°$，不符合要求；
B. $4×60°+2×120°=240°+240°=480°≠360°$，不符合要求；
C. $4×60°+1×120°=240°+120°=360°$，符合镶嵌要求；
D. $3×60°+1×120°=180°+120°=300°≠360°$，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平面密铺的条件
2. 正多边形内角计算
【点评】
本题是平面镶嵌的基础应用题，核心考查密铺的判定规则，只要牢记顶点处各内角和为360°的核心条件，结合正多边形内角度数的简单计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这类平面镶嵌问题的核心是：拼接在同一个顶点处的所有正多边形的内角之和必须等于360°。解题时第一步先计算两种正多边形的单个内角度数：正三角形每个内角为180°÷3=60°，正六边形每个内角为(6-2)×180°÷6=120°；第二步逐一验证各选项中对应数量的两种正多边形的内角和是否为360°，符合的即为正确答案。
【解析】
首先明确正三角形每个内角为60°，正六边形每个内角为120°，平面镶嵌要求同一顶点处各内角之和为360°，逐一验证选项：
A. $3×60°+2×120°=180°+240°=420°≠360°$，不符合要求；
B. $4×60°+2×120°=240°+240°=480°≠360°$，不符合要求；
C. $4×60°+1×120°=240°+120°=360°$，符合镶嵌要求；
D. $3×60°+1×120°=180°+120°=300°≠360°$，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平面密铺的条件
2. 正多边形内角计算
【点评】
本题是平面镶嵌的基础应用题，核心考查密铺的判定规则，只要牢记顶点处各内角和为360°的核心条件，结合正多边形内角度数的简单计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.用同一种正多边形进行密铺的条件是
（
A.内角是整数度数
B.边数是3的倍数
C.内角可以整除$180°$
D.内角可以整除$360°$
（
D
）A.内角是整数度数
B.边数是3的倍数
C.内角可以整除$180°$
D.内角可以整除$360°$
答案
4.D 解析:一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 360°。
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确正多边形密铺的核心要求：密铺时，拼接在同一个公共顶点处的若干个正多边形的内角加起来必须恰好等于周角360°。由于同一种正多边形的每个内角度数都相等，所以需要满足“正多边形的内角度数×正整数=360°”，也就是内角度数能整除360°，再结合这个结论逐一判断选项即可。
【解析】
正多边形进行密铺的核心规律：公共顶点处的多个内角之和必须为周角360°。
因为同一种正多边形的每个内角度数相等，因此存在正整数n，使得n×单个内角度数=360°，即单个内角度数能整除360°。
对选项逐一判断：
A. 正五边形内角为108°，是整数度数，但108不能整除360°，无法密铺，故A错误；
B. 正方形边数为4，不是3的倍数，但正方形内角90°，4×90°=360°可以密铺，故B错误；
C. 正六边形内角为120°，120不能整除180°，但3×120°=360°可以密铺，故C错误；
D. 内角可以整除360°符合密铺的核心条件，故D正确。
【答案】D
【知识点】平面密铺的条件；正多边形内角性质
【点评】本题考查正多边形密铺的基础判定，解题关键是抓住“公共顶点处各内角和为360°”这一核心规律，是密铺板块的典型基础题。
【难度系数】0.8
要解决这道题，首先得明确正多边形密铺的核心要求：密铺时，拼接在同一个公共顶点处的若干个正多边形的内角加起来必须恰好等于周角360°。由于同一种正多边形的每个内角度数都相等，所以需要满足“正多边形的内角度数×正整数=360°”，也就是内角度数能整除360°，再结合这个结论逐一判断选项即可。
【解析】
正多边形进行密铺的核心规律：公共顶点处的多个内角之和必须为周角360°。
因为同一种正多边形的每个内角度数相等，因此存在正整数n，使得n×单个内角度数=360°，即单个内角度数能整除360°。
对选项逐一判断：
A. 正五边形内角为108°，是整数度数，但108不能整除360°，无法密铺，故A错误；
B. 正方形边数为4，不是3的倍数，但正方形内角90°，4×90°=360°可以密铺，故B错误；
C. 正六边形内角为120°，120不能整除180°，但3×120°=360°可以密铺，故C错误；
D. 内角可以整除360°符合密铺的核心条件，故D正确。
【答案】D
【知识点】平面密铺的条件；正多边形内角性质
【点评】本题考查正多边形密铺的基础判定，解题关键是抓住“公共顶点处各内角和为360°”这一核心规律，是密铺板块的典型基础题。
【难度系数】0.8
5.如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分,它由边长相等的正方形、正三角形和正$n(n＞4)$边形密铺(无空隙、不重叠的拼接)而成,则该正$n$边形一个内角的度数为
150
度。答案
5.150 解析:正$n$边形的一个内角的度数=$360°-90°-60°-60°=150°$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确平面密铺的核心性质：拼接在同一个顶点处的所有正多边形的内角之和等于周角360°。首先回忆已知正多边形的内角度数：正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°。接下来观察图形的拼接顶点，数出该顶点处的正多边形组合：1个正方形、2个正三角形，剩余1个角就是所求正n边形的内角，最后用周角360°减去已知三个角的度数就能得到结果。
【解析】
解：根据平面密铺的性质，同一拼接顶点处的各内角和为360°。
已知正方形内角为90°，正三角形内角为60°，观察图形可知，顶点处有1个正方形内角、2个正三角形内角，因此正n边形的一个内角度数为：
$360° - 90° - 60° × 2$
$=360° - 90° - 120°$
$=150°$
【答案】
150
【知识点】
平面密铺，正多边形内角，周角性质
【点评】
本题考查平面密铺的实际应用，解题的关键是掌握密铺时同一顶点处各内角和为360°，只需准确识别顶点处的正多边形种类和数量即可求解，是密铺相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确平面密铺的核心性质：拼接在同一个顶点处的所有正多边形的内角之和等于周角360°。首先回忆已知正多边形的内角度数：正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°。接下来观察图形的拼接顶点，数出该顶点处的正多边形组合：1个正方形、2个正三角形，剩余1个角就是所求正n边形的内角，最后用周角360°减去已知三个角的度数就能得到结果。
【解析】
解：根据平面密铺的性质，同一拼接顶点处的各内角和为360°。
已知正方形内角为90°，正三角形内角为60°，观察图形可知，顶点处有1个正方形内角、2个正三角形内角，因此正n边形的一个内角度数为：
$360° - 90° - 60° × 2$
$=360° - 90° - 120°$
$=150°$
【答案】
150
【知识点】
平面密铺，正多边形内角，周角性质
【点评】
本题考查平面密铺的实际应用，解题的关键是掌握密铺时同一顶点处各内角和为360°，只需准确识别顶点处的正多边形种类和数量即可求解，是密铺相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
6.如图,边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺,根据图中的规律可得图(7)中,正方形地砖的数量为
36
块,正三角形地砖的数量为30
块。答案
6.36 30 解析:由所给图形可知：
|图序|正六边形个数|正方形个数|正三角形个数|
|----|----|----|----|
|(1)|1|6|6|
|(2)|2|11|10|
|(3)|3|16|14|
观察上表可以得出正方形地砖会逐次增加5块,三角形地砖会逐次增加4块,所以图($n$)中,正方形地砖数量为($5n+1$)块、正三角形地砖的数量为($4n+2$)块。当$n=7$时,正方形地砖数量为$5×7+1=36$(块),正三角形地砖的数量为$4×7+2=30$(块)。
|图序|正六边形个数|正方形个数|正三角形个数|
|----|----|----|----|
|(1)|1|6|6|
|(2)|2|11|10|
|(3)|3|16|14|
观察上表可以得出正方形地砖会逐次增加5块,三角形地砖会逐次增加4块,所以图($n$)中,正方形地砖数量为($5n+1$)块、正三角形地砖的数量为($4n+2$)块。当$n=7$时,正方形地砖数量为$5×7+1=36$(块),正三角形地砖的数量为$4×7+2=30$(块)。
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先从已知的前几个图形入手，分别数出对应图序的正方形、正三角形地砖的数量，再对比相邻两个图中数量的变化，找到增量的规律，进而推导出第n个图形中对应地砖数量的代数式，最后将n=7代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先统计前3个图的相关地砖数量：
图(1)：正方形6块，正三角形6块；
图(2)：正方形11块，正三角形10块；
图(3)：正方形16块，正三角形14块。
观察数量变化规律：每增加1个正六边形，正方形的数量增加5块，正三角形的数量增加4块。
推导第n个图的数量表达式：
设图序为n（n为正整数），
正方形地砖数量：首项为6，每次增量为5，因此表达式为$6 + 5(n-1) = 5n + 1$（块）；
正三角形地砖数量：首项为6，每次增量为4，因此表达式为$6 + 4(n-1) = 4n + 2$（块）。
将n=7代入表达式计算：
正方形地砖数量：$5×7 + 1 = 36$（块）；
正三角形地砖数量：$4×7 + 2 = 30$（块）。
【答案】
36；30
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类常见题型，核心是通过观察前几个图形的数量变化总结通用规律，考查学生的观察能力、归纳推理能力和代数式的应用能力，掌握从特殊到一般的探究方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，首先从已知的前几个图形入手，分别数出对应图序的正方形、正三角形地砖的数量，再对比相邻两个图中数量的变化，找到增量的规律，进而推导出第n个图形中对应地砖数量的代数式，最后将n=7代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先统计前3个图的相关地砖数量：
图(1)：正方形6块，正三角形6块；
图(2)：正方形11块，正三角形10块；
图(3)：正方形16块，正三角形14块。
观察数量变化规律：每增加1个正六边形，正方形的数量增加5块，正三角形的数量增加4块。
推导第n个图的数量表达式：
设图序为n（n为正整数），
正方形地砖数量：首项为6，每次增量为5，因此表达式为$6 + 5(n-1) = 5n + 1$（块）；
正三角形地砖数量：首项为6，每次增量为4，因此表达式为$6 + 4(n-1) = 4n + 2$（块）。
将n=7代入表达式计算：
正方形地砖数量：$5×7 + 1 = 36$（块）；
正三角形地砖数量：$4×7 + 2 = 30$（块）。
【答案】
36；30
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类常见题型，核心是通过观察前几个图形的数量变化总结通用规律，考查学生的观察能力、归纳推理能力和代数式的应用能力，掌握从特殊到一般的探究方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7.已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌(密铺),A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的$\frac{3}{2}$。
(1)A,B是什么正多边形?
(2)画出这5个正多边形在平面镶嵌(密铺)的图形。(画出一种即可)
(1)A,B是什么正多边形?
(2)画出这5个正多边形在平面镶嵌(密铺)的图形。(画出一种即可)
答案
7.解:(1)设 B 的内角为$x$,则 A 的内角为$\frac{3}{2}x$。
∵2 个正多边形 A 和 3 个正多边形 B 可绕一点周围镶嵌(密铺),
∴$3x+2×\frac{3}{2}x=360°$,
解得$x=60°$,
∴$\frac{3}{2}x=90°$。
∴可确定 A 为正方形,B 为正三角形。
(2)所画图形如下。
解析
【分析】
解决本题首先要明确平面密铺的核心规律：围绕同一点拼接的多个多边形的内角之和恰好为360°。对于第(1)问，已知A、B的内角度数关系和密铺时的数量，我们可以先设B的内角为未知数，用未知数表示出A的内角，再根据顶点处内角和为360°列方程求解，得到两种正多边形的内角度数后，即可判断对应的正多边形类型；第(2)问根据第(1)问的结果，按照密铺的拼接要求画出图形即可。
【解析】
(1)设正多边形B的一个内角为$x$，则正多边形A的一个内角为$\frac{3}{2}x$。
根据平面密铺的性质，同一点处各多边形内角和为360°，结合2个A和3个B可密铺的条件，列方程：
$3x + 2×\frac{3}{2}x = 360°$
化简得：$3x+3x=360°$，即$6x=360°$
解得：$x=60°$
因此A的内角为$\frac{3}{2}×60°=90°$
内角为90°的正多边形是正方形，内角为60°的正多边形是正三角形，因此A是正方形，B是正三角形。
(2)密铺图形如下：
【答案】
(1)A是正方形，B是正三角形；
(2)
【知识点】
平面密铺，正多边形内角，一元一次方程应用
【点评】
本题围绕平面密铺的核心规律命题，解题的关键是抓住“同顶点内角和为360°”的条件，结合方程求解内角度数即可得到结论，属于密铺类的基础题型，掌握核心规律就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确平面密铺的核心规律：围绕同一点拼接的多个多边形的内角之和恰好为360°。对于第(1)问，已知A、B的内角度数关系和密铺时的数量，我们可以先设B的内角为未知数，用未知数表示出A的内角，再根据顶点处内角和为360°列方程求解，得到两种正多边形的内角度数后，即可判断对应的正多边形类型；第(2)问根据第(1)问的结果，按照密铺的拼接要求画出图形即可。
【解析】
(1)设正多边形B的一个内角为$x$，则正多边形A的一个内角为$\frac{3}{2}x$。
根据平面密铺的性质，同一点处各多边形内角和为360°，结合2个A和3个B可密铺的条件，列方程：
$3x + 2×\frac{3}{2}x = 360°$
化简得：$3x+3x=360°$，即$6x=360°$
解得：$x=60°$
因此A的内角为$\frac{3}{2}×60°=90°$
内角为90°的正多边形是正方形，内角为60°的正多边形是正三角形，因此A是正方形，B是正三角形。
(2)密铺图形如下：
【答案】
(1)A是正方形，B是正三角形；
(2)
【知识点】
平面密铺，正多边形内角，一元一次方程应用
【点评】
本题围绕平面密铺的核心规律命题，解题的关键是抓住“同顶点内角和为360°”的条件，结合方程求解内角度数即可得到结论，属于密铺类的基础题型，掌握核心规律就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
