9.实践与探究：
|主题|探究正多边形的密铺|
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|素材1|密铺的概念:在数学中用形状、大小完全相同的几种平面图形进行拼接,不留空隙且不重叠地铺成一片,称为平面图形的密铺,或称为平面镶嵌。|
|素材2|密铺的条件:
1.拼接在同一个点的各个角的和恰好是$360°$;
2.相邻的多边形边长相等(以下探讨的正多边形的边长都相等)。|
|素材3|正$n$边形的每个内角度数

边数|内角度数
3|$60°$
4|$90°$
5|$108°$
6|$120°$
8|$135°$
10|$144°$
12|$150°$
15|$156°$|
|探究一|仅用一种正多边形密铺平面。|任务一:如果仅用一种正多边形能密铺平面,这样的正多边形有哪几种?|
|探究二|同时用两种正多边形密铺平面。|任务二:同一拼接点用个正方形和$y$个正八边形可以密铺平面吗?如果可以,请求出$x,y$的值;如果不能,请说明理由。|
(续表)

|探究三|同时用三种正多边形密铺平面。|任务三:请你根据素材3,写出两组用三种正多边形密铺平面的组合。|
|探究四|用方程思想解释用一种正多边形密铺平面。|任务四:设正多边形的边数是$n$,每一个接点处的正多边形的数量为$m$,则$\frac{(n-2)·180}{n}· m=360$,整理得$(m-2)(n-2)=4$,利用这个等式求出整数$m,n$的值。|
阅读以上材料,并完成相应任务。

9.解:任务一:仅用一种正多边形能密铺平面,这样的正多边形有正三角形、正方形、正六边形。
任务二:同一拼接点用正方形和正八边形可以密铺平面。
依题意得,$90x+135y=360$,
整理得$x=4-\frac{3y}{2}$。
∵$x,y$均为正整数,
∴$\begin{cases}x=1,\\y=2。\end{cases}$
任务三:用三种正多边形密铺平面的组合可以是:
1. 正三角形、正方形、正十二边形;
2. 正三角形、正方形、正六边形;
3. 正方形、正六边形、正十二边形。
(答案不唯一,写出两种即可)
任务四:
∵$m,n$均为正整数,
∴$\begin{cases}m-2=1,\\n-2=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m-2=2,\\n-2=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m-2=4,\\n-2=1,\end{cases}$
∴$\begin{cases}m=3,\\n=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=4,\\n=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=6,\\n=3。\end{cases}$

【分析】
1. 任务一：密铺的核心条件是同一拼接点处各个角的和为360°，仅用一种正多边形密铺时，该正多边形的内角度数必须能整除360°，对照素材3给出的正多边形内角度数筛选即可得到结果。
2. 任务二：先明确正方形内角为90°，正八边形内角为135°，根据拼接点角度和为360°列关于x、y的二元一次方程，再结合x、y为正整数的条件求解，有符合条件的解则可以密铺。
3. 任务三：任选三种不同的正多边形，使三者的内角相加恰好为360°，结合素材3提供的内角度数尝试组合即可，答案不唯一。
4. 任务四：已知等式$(m-2)(n-2)=4$，其中m、n均为大于等于3的正整数，因此m-2、n-2均为正整数，将4拆分为两个正整数的乘积，分情况讨论即可求出所有整数解。
【解析】
任务一
要使仅用一种正多边形可密铺平面，需正多边形的内角度数能整除360°：
正三角形内角60°，$360°÷60°=6$，满足条件；
正方形内角90°，$360°÷90°=4$，满足条件；
正六边形内角120°，$360°÷120°=3$，满足条件；
其余正多边形内角均不能整除360°，因此符合条件的正多边形为正三角形、正方形、正六边形。
任务二
正方形内角为90°，正八边形内角为135°，根据密铺条件列方程：
$90x + 135y = 360$
整理得：$x = 4 - \frac{3y}{2}$
∵x、y均为正整数，
∴仅当$y=2$时，$x=1$符合要求，因此可以密铺。
任务三
根据三种正多边形内角和为360°，可得到以下组合：
1. 正三角形、正方形、正十二边形：$60°+90°+150°=360°$；
2. 正三角形、正方形、正六边形：$60°+90°×2+120°=360°$。
（答案不唯一，写出两种即可）
任务四
∵m、n均为正整数，且正多边形边数$n≥3$，每个接点处正多边形数量$m≥3$，
∴$m-2$、$n-2$均为正整数，且乘积为4，
4的正整数因式分解有三种情况：
$\begin{cases}m-2=1\\n-2=4\end{cases} \mathrm{或} \begin{cases}m-2=2\\n-2=2\end{cases} \mathrm{或} \begin{cases}m-2=4\\n-2=1\end{cases}$
分别解得：
$\begin{cases}m=3\\n=6\end{cases} \mathrm{或} \begin{cases}m=4\\n=4\end{cases} \mathrm{或} \begin{cases}m=6\\n=3\end{cases}$
【答案】
任务一：正三角形、正方形、正六边形；
任务二：可以密铺，$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$；
任务三：①正三角形、正方形、正十二边形；②正三角形、正方形、正六边形（答案不唯一，写出两种即可）；
任务四：$\begin{cases}m=3\\n=6\end{cases}$，$\begin{cases}m=4\\n=4\end{cases}$，$\begin{cases}m=6\\n=3\end{cases}$
【知识点】
1. 平面密铺的条件
2. 正多边形的内角
3. 不定方程的整数解
【点评】
本题以正多边形密铺的探究为载体，将几何性质与方程思想相结合，既考查了对密铺核心规则的理解，又锻炼了求解不定方程整数解的逻辑能力，兼具探究性和实用性。
【难度系数】
0.7