10.阅读下列材料,并完成相应任务。
平面密铺是指用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖。对于n边形,从一个顶点出发作对角线,可将n边形分成$(n-2)$个三角形,得到其内角和是$(n-2)· 180°$,根据多边形内角和度数,可求出一些熟悉的正多边形的内角度数,记录如下:

任务一:探究同一种正多边形的密铺。

(1)如图,通过拼图发现用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是。
A.内角都是整十数度数
B.边数都是3的整数倍
C.内角能整除$360°$
D.内角能整除$180°$
(2)除“正三角形”“正方形”外,请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形:。
(3)你认为正五边形可以进行密铺吗?请说明理由。
任务二:探究多种正n多边形的密铺。
(4)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺,若每一个顶点周围有m个正三角形和n个正六边形,则m,n满足的关系式是。

10.解:(1)
∵平面密铺要求拼接点处所有内角和为$360°$,
∴用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是:内角能整除$360°$。
故选C。
(2)
∵正六边形每个内角的度数为$120°$,
且$360°÷120°=3$,
∴正六边形可以进行平面密铺。
故答案为正六边形。(答案不唯一)
(3)正五边形不可以进行密铺,理由如下:
∵正五边形每个内角的度数为$108°$,不能整除$360°$,
∴若干个正五边形的内角无法在拼接点恰好凑成$360°$,即正五边形不能进行密铺。
(4)
∵正三角形每个内角的度数为$60°$,正六边形每个内角的度数为$120°$,
∴$60m+120n=360$,
∴$m+2n=6$。
故答案为$m+2n=6$。

【分析】
解决本题的核心是抓住平面密铺的本质要求：拼接点处所有内角的和恰好为360°，结合正多边形内角的计算方法逐一分析各小问：
(1) 同一种正多边形密铺时，拼接点处需要若干个该正多边形的内角凑成360°，因此单个内角的度数必须能整除360°，据此判断选项即可；
(2) 先计算正多边形的内角度数，判断其能否整除360°，除正三角形、正方形外，正六边形内角为120°，3个120°恰好为360°，符合要求；
(3) 先利用多边形内角和公式求出正五边形的内角度数，判断其是否能整除360°即可得出结论；
(4) 正三角形内角为60°，正六边形内角为120°，顶点处m个正三角形内角加n个正六边形内角和为360°，列等式化简即可得到m、n的关系式。
【解析】
(1) 平面密铺的核心要求是拼接点处所有内角的和为360°，因此用同一种正多边形密铺时，正多边形的内角需要能整除360°，才能保证若干个内角刚好凑成360°，故选C。
(2) 正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，$360°÷120°=3$，即3个正六边形的内角可以在拼接点处凑成360°，因此正六边形可以进行平面密铺。
(3) 正五边形不可以进行密铺，理由如下：
正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，108°不能整除360°，因此若干个正五边形的内角无法在拼接点处恰好凑成360°，所以正五边形不能进行密铺。
(4) 正三角形每个内角为60°，正六边形每个内角为120°，每个顶点处的内角和为360°，因此可得：
$60m + 120n = 360$
等式两边同时除以60化简得：$m + 2n = 6$。
【答案】
(1) $\boxed{C}$
(2) $\boxed{正六边形}$（答案不唯一）
(3) 正五边形不可以进行密铺，理由：正五边形每个内角为108°，不能整除360°，无法在拼接点凑出360°的和。
(4) $\boxed{m+2n=6}$
【知识点】
平面密铺（镶嵌）、多边形内角和、正多边形的性质
【点评】
本题围绕平面密铺的核心规律设置问题，既考查对密铺本质的理解，也结合多边形内角和公式考查计算判断能力，题目贴合生活实际，能够帮助学生理解几何知识在生活场景中的应用。
【难度系数】
0.75

11.综合与实践
(1)思考探究:如图(1),△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点P,则∠P与∠A的关系是∠P=$\frac{1}{2}$∠A。
(2)类比探究:如图(2),在四边形ABCD中,设∠A=α,∠D=β,α+β＞180°,四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P,求∠P的度数。(用含α,β的代数式表示)
(3)拓展迁移:如图(3),将(2)中α+β＞180°改为α+β＜180°,其他条件不变,请写出∠P=。(用含α,β的代数式表示)

11.解:(1)BP 平分$∠ABC$,设$∠ABP=∠CBP=θ$,
∴$∠ABC=2θ$。
∵$∠ACD$ 是$△ABC$ 的外角,
∴$∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2θ$。
∵$∠DCP$ 是$△BCP$ 的外角,
∴$∠DCP=∠P+∠CBP=∠P+θ$。
∵CP 平分$∠ACD$,
∴$∠ACD=2∠DCP$,
∴$∠A+2θ=2∠P+2θ$,
∴$∠P$ 与$∠A$ 的关系是:$∠P=\frac{1}{2}∠A$。
故答案为$∠P=\frac{1}{2}∠A$。
(2)
∵$∠BAD=α$,$∠CDA=β$,$α+β＞180°$,
∴延长 BA,CD 相交于点 F,如图所示。

∴$∠FAD=180°-∠BAD=180°-α$,$∠CDA=180°-β$。
在$△FAD$中,$∠F=180°-(∠FAD+∠CDA)$
$=180°-(180°-α+180°-β)$
$=α+β-180°$,
∵BP 平分$∠ABC$,CP 平分$∠DCE$,
∴由(1)的结论得$∠P=\frac{1}{2}∠F=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β-90°$。
(3)
∵$∠A=α$,$∠D=β$,$α+β＜180°$,
∴$∠ABC$ 的平分线 BM 的反向延长线与$∠DCE$ 的平分线 CN 的反向延长线交于点 P。

设$∠ABM=∠CBM=θ$,$∠DCN=∠ECN=\gamma$,
∴$∠ABC=2θ$,$∠DCE=2\gamma$,$∠BCP=\gamma$,
∴$∠BCD=180°-∠DCE=180°-2\gamma$。
∵$∠MBC$ 是$△PBC$ 的外角,
∴$∠CBM=∠P+∠BCP$,
∴$∠P=∠CBM-∠BCP=θ-\gamma$,
∴在四边形 ABCD 中,$∠A+∠D+∠ABC+∠DCE=360°$,
∴$α+β+2θ+180°-2\gamma=360°$,
∴$θ-\gamma=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$,
∴$∠P=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$。
故答案为$90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$。

【分析】
1. 第(1)问：先根据角平分线的定义将被平分的角拆分为两个相等的角，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，分别表示出△ABC和△BCP的外角，消去公共角后即可推导∠P与∠A的数量关系。
2. 第(2)问：类比第(1)问的三角形内外角平分线模型，通过延长BA、CD交于点F构造出和(1)一致的结构，先计算出∠F的度数，直接套用(1)的结论即可求出∠P的表达式。
3. 第(3)问：当α+β＜180°时，点P落在BC下方，先设角平分线分出的角为参数，借助三角形外角性质得到∠P与参数的关系，再结合四边形内角和为360°消去参数，就能求出∠P的代数式。
【解析】
(1) BP平分$∠ABC$，设$∠ABP=∠CBP=θ$，
∴$∠ABC=2θ$。
∵$∠ACD$ 是$△ABC$ 的外角，
∴$∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2θ$。
∵$∠DCP$ 是$△BCP$ 的外角，
∴$∠DCP=∠P+∠CBP=∠P+θ$。
∵CP 平分$∠ACD$，
∴$∠ACD=2∠DCP$，
∴$∠A+2θ=2∠P+2θ$，
整理得$∠P=\frac{1}{2}∠A$。
(2)
∵$∠BAD=α$,$∠CDA=β$,$α+β＞180°$,
∴延长 BA,CD 相交于点 F,如图所示。

∴$∠FAD=180°-∠BAD=180°-α$,$∠FDA=180°-∠CDA=180°-β$。
在$△FAD$中,$∠F=180°-(∠FAD+∠FDA)$
$=180°-(180°-α+180°-β)$
$=α+β-180°$,
∵BP 平分$∠ABC$,CP 平分$∠DCE$,
∴由(1)的结论得$∠P=\frac{1}{2}∠F=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β-90°$。
(3)
∵$∠A=α$,$∠D=β$,$α+β＜180°$,
∴$∠ABC$ 的平分线 BM 的反向延长线与$∠DCE$ 的平分线 CN 的反向延长线交于点 P。

设$∠ABM=∠CBM=θ$,$∠DCN=∠ECN=\gamma$,
∴$∠ABC=2θ$,$∠DCE=2\gamma$,$∠BCP=\gamma$,
∴$∠BCD=180°-∠DCE=180°-2\gamma$。
∵$∠MBC$ 是$△PBC$ 的外角,
∴$∠CBM=∠P+∠BCP$,
∴$∠P=∠CBM-∠BCP=θ-\gamma$,
∵四边形ABCD内角和为360°,
∴$∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°$,
∴$α+β+2θ+180°-2\gamma=360°$,
整理得$θ-\gamma=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$,
∴$∠P=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠P=\frac{1}{2}∠A}$
(2) $\boldsymbol{∠P=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β-90°}$
(3) $\boldsymbol{90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β}$
【知识点】
角平分线的定义、三角形外角的性质、四边形内角和定理
【点评】
本题是典型的类比探究题型，从三角形的基础结论出发，延伸到四边形的角度计算问题，解题核心是运用转化思想，将陌生的四边形问题转化为已掌握的三角形模型，借助已有结论简化运算，侧重考查知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6