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8.若一组数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的平均数是 2，方差为 9，则数据 $2x_1 - 3,2x_2 - 3,\dots,2x_n - 3$ 的平均数和方差各是多少？
答案
解:$\because$一组数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的平均数为 $\overline{x}=2$，
$\therefore$另一组数据 $2x_1 - 3,2x_2 - 3,2x_3 - 3,\dots,2x_n - 3$ 的平均数为 $\overline{x}'=2×2-3=1$。
$\because s^2= \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=9$，
$\therefore s'^2=\frac{1}{n}[(2x_1-3-2\overline{x}+3)^2+(2x_2-3-2\overline{x}+3)^2+\dots+(2x_n-3-2\overline{x}+3)^2]$
$=\frac{1}{n}[4(x_1-\overline{x})^2+4(x_2-\overline{x})^2+\dots+4(x_n-\overline{x})^2]$
$=4s^2=4×9=36$。
$\therefore$另一组数据 $2x_1 - 3,2x_2 - 3,2x_3 - 3,\dots,2x_n - 3$ 的平均数为 $\overline{x}'=2×2-3=1$。
$\because s^2= \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=9$，
$\therefore s'^2=\frac{1}{n}[(2x_1-3-2\overline{x}+3)^2+(2x_2-3-2\overline{x}+3)^2+\dots+(2x_n-3-2\overline{x}+3)^2]$
$=\frac{1}{n}[4(x_1-\overline{x})^2+4(x_2-\overline{x})^2+\dots+4(x_n-\overline{x})^2]$
$=4s^2=4×9=36$。
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步求新数据的平均数，我们可以根据平均数的定义，或者利用线性变换下平均数的变化规律：若原数据平均数为$\overline{x}$，新数据为$ax_i+b$，则新平均数为$a\overline{x}+b$；第二步求新数据的方差，方差反映数据波动大小，加减常数不会改变数据波动，只有乘的系数会影响方差，新方差为原方差乘系数的平方，也可以通过方差的定义逐步推导计算，避免记错规律出错。
【解析】
已知原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数$\overline{x}=2$，方差$s^2=9$。
1. 计算新数据的平均数：
新数据为$2x_1-3,2x_2-3,\dots,2x_n-3$，其平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(2x_1-3)+(2x_2-3)+\dots+(2x_n-3)]$
$=\frac{1}{n}[2(x_1+x_2+\dots+x_n)-3n]$
$=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} - 3 = 2\overline{x}-3$
代入$\overline{x}=2$，得$\overline{x}'=2×2-3=1$。
2. 计算新数据的方差：
根据方差定义：
$s'^2=\frac{1}{n}[(2x_1-3-\overline{x}')^2+(2x_2-3-\overline{x}')^2+\dots+(2x_n-3-\overline{x}')^2]$
将$\overline{x}'=2\overline{x}-3$代入，可得$2x_i-3-\overline{x}'=2(x_i-\overline{x})$，因此：
$s'^2=\frac{1}{n}[4(x_1-\overline{x})^2+4(x_2-\overline{x})^2+\dots+4(x_n-\overline{x})^2]$
$=4×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=4s^2$
代入$s^2=9$，得$s'^2=4×9=36$。
【答案】
平均数是1，方差是36
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题考查数据进行线性变换后平均数和方差的变化规律，既可以通过平均数、方差的定义逐步推导求解，也可以直接运用变换规律快速得到结果，解题时需注意加减常数不改变方差，避免混淆两个统计量的变换规则。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步求新数据的平均数，我们可以根据平均数的定义，或者利用线性变换下平均数的变化规律：若原数据平均数为$\overline{x}$，新数据为$ax_i+b$，则新平均数为$a\overline{x}+b$；第二步求新数据的方差，方差反映数据波动大小，加减常数不会改变数据波动，只有乘的系数会影响方差，新方差为原方差乘系数的平方，也可以通过方差的定义逐步推导计算，避免记错规律出错。
【解析】
已知原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数$\overline{x}=2$，方差$s^2=9$。
1. 计算新数据的平均数：
新数据为$2x_1-3,2x_2-3,\dots,2x_n-3$，其平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(2x_1-3)+(2x_2-3)+\dots+(2x_n-3)]$
$=\frac{1}{n}[2(x_1+x_2+\dots+x_n)-3n]$
$=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} - 3 = 2\overline{x}-3$
代入$\overline{x}=2$，得$\overline{x}'=2×2-3=1$。
2. 计算新数据的方差：
根据方差定义：
$s'^2=\frac{1}{n}[(2x_1-3-\overline{x}')^2+(2x_2-3-\overline{x}')^2+\dots+(2x_n-3-\overline{x}')^2]$
将$\overline{x}'=2\overline{x}-3$代入，可得$2x_i-3-\overline{x}'=2(x_i-\overline{x})$，因此：
$s'^2=\frac{1}{n}[4(x_1-\overline{x})^2+4(x_2-\overline{x})^2+\dots+4(x_n-\overline{x})^2]$
$=4×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=4s^2$
代入$s^2=9$，得$s'^2=4×9=36$。
【答案】
平均数是1，方差是36
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题考查数据进行线性变换后平均数和方差的变化规律，既可以通过平均数、方差的定义逐步推导求解，也可以直接运用变换规律快速得到结果，解题时需注意加减常数不改变方差，避免混淆两个统计量的变换规则。
【难度系数】
0.7
9.小李和小张参加市田径比赛的校内选拔赛,他们近期的8次测试成绩(单位:分)如下表:
(1)根据上表中的数据填写下表:
(2)若从中选一人参加市田径比赛,你认为选谁去合适?为什么?
(1)根据上表中的数据填写下表:
(2)若从中选一人参加市田径比赛,你认为选谁去合适?为什么?
答案
解:(1)小李测试成绩的平均数为$(10+10+11+10+16+14+16+17)÷8=13$(分)；
将小李的测试成绩按从小到大的顺序排列,第4,5个数分别为11,14,故中位数为$(11+14)÷2=12.5$(分)。
小张的测试成绩的众数为13分；
根据方差公式得小张测试成绩的方差为$[(11-13)^2+(13-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(13-13)^2+(15-13)^2+(13-13)^2]÷8=1.25$。
填表如下：
| 姓名 | 平均分 | 众数 | 中位数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 小李 | 13 | 10 | 12.5 | 8.25 |
| 小张 | 13 | 13 | 13 | 1.25 |
(2)选小张参加市田径比赛合适。因为两人的平均分相同,但小张测试成绩的方差较小,测试成绩更稳定。
将小李的测试成绩按从小到大的顺序排列,第4,5个数分别为11,14,故中位数为$(11+14)÷2=12.5$(分)。
小张的测试成绩的众数为13分；
根据方差公式得小张测试成绩的方差为$[(11-13)^2+(13-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(13-13)^2+(15-13)^2+(13-13)^2]÷8=1.25$。
填表如下：
| 姓名 | 平均分 | 众数 | 中位数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 小李 | 13 | 10 | 12.5 | 8.25 |
| 小张 | 13 | 13 | 13 | 1.25 |
(2)选小张参加市田径比赛合适。因为两人的平均分相同,但小张测试成绩的方差较小,测试成绩更稳定。
解析
【分析】
（1）第一问需结合各统计量的定义计算：①平均数为所有数据之和除以数据总个数；②众数是一组数据中出现次数最多的数；③中位数需先将数据从小到大排序，数据个数为偶数时取中间两个数的平均值；④方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，按对应规则分别计算即可完成填表。
（2）第二问需结合统计量的实际意义分析：平均分相同时，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定，优先选择发挥稳定的选手参赛。
【解析】
(1) 计算小李的统计量：
平均数：$(10+10+11+10+16+14+16+17)÷8=13$（分）
将小李成绩从小到大排序为10,10,10,11,14,16,16,17，共8个数据，第4、5个数据为11和14，因此中位数为$(11+14)÷2=12.5$（分）
计算小张的统计量：
小张的成绩中13分出现次数最多，因此众数为13分
小张的方差：$[(11-13)^2+(13-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(13-13)^2+(15-13)^2+(13-13)^2]÷8=1.25$
填表结果如下：
| 姓名 | 平均分 | 众数 | 中位数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 小李 | 13 | 10 | 12.5 | 8.25 |
| 小张 | 13 | 13 | 13 | 1.25 |
(2) 两人平均分相同，说明整体水平相当，而小张的成绩方差更小，成绩波动更小、发挥更稳定，因此选小张参赛更合适。
【答案】
(1) 表格依次填：13、12.5、13、1.25（表格内容见解析）
(2) 选小张参加市田径比赛合适，因为两人平均分相同，小张测试成绩的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
统计量计算、方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的计算与应用，核心是掌握各统计量的含义，能根据需求选择合适的统计量分析数据特点。
【难度系数】
0.8
（1）第一问需结合各统计量的定义计算：①平均数为所有数据之和除以数据总个数；②众数是一组数据中出现次数最多的数；③中位数需先将数据从小到大排序，数据个数为偶数时取中间两个数的平均值；④方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，按对应规则分别计算即可完成填表。
（2）第二问需结合统计量的实际意义分析：平均分相同时，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定，优先选择发挥稳定的选手参赛。
【解析】
(1) 计算小李的统计量：
平均数：$(10+10+11+10+16+14+16+17)÷8=13$（分）
将小李成绩从小到大排序为10,10,10,11,14,16,16,17，共8个数据，第4、5个数据为11和14，因此中位数为$(11+14)÷2=12.5$（分）
计算小张的统计量：
小张的成绩中13分出现次数最多，因此众数为13分
小张的方差：$[(11-13)^2+(13-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(13-13)^2+(15-13)^2+(13-13)^2]÷8=1.25$
填表结果如下：
| 姓名 | 平均分 | 众数 | 中位数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 小李 | 13 | 10 | 12.5 | 8.25 |
| 小张 | 13 | 13 | 13 | 1.25 |
(2) 两人平均分相同，说明整体水平相当，而小张的成绩方差更小，成绩波动更小、发挥更稳定，因此选小张参赛更合适。
【答案】
(1) 表格依次填：13、12.5、13、1.25（表格内容见解析）
(2) 选小张参加市田径比赛合适，因为两人平均分相同，小张测试成绩的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
统计量计算、方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计量的计算与应用，核心是掌握各统计量的含义，能根据需求选择合适的统计量分析数据特点。
【难度系数】
0.8
10.某校为了解初中学生每天的睡眠时间(单位:h),随机调查了该校部分初中学生,根据调查结果,绘制出如图所示的统计图。
请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的学生人数为
(2)所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是
(3)假设该校共有1600名初中学生,请根据样本数据,估计该校初中学生每天睡眠时间不足9 h的人数。
请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的学生人数为
40
人,扇形统计图中的$m=$25
,条形统计图中的$n=$15
;(2)所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是
9
h,方差是1.15
;(3)假设该校共有1600名初中学生,请根据样本数据,估计该校初中学生每天睡眠时间不足9 h的人数。
答案
解:(1)40 25 15
(2)9 1.15
(3)$1600×\frac{4+8}{40}=480$(人),估计该校初中学生每天睡眠时间不足9 h的有480人。
(2)9 1.15
(3)$1600×\frac{4+8}{40}=480$(人),估计该校初中学生每天睡眠时间不足9 h的有480人。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求解第一问时，先匹配两个统计图的已知信息：睡眠时间7h的人数为4人，对应扇形占比10%，用部分量除以对应占比可得总调查人数；再用总人数减去其余睡眠时间的人数得到9h的人数$n$；最后用10h的人数除以总人数得到对应占比，即可求出$m$的值。
2. 求解第二问时，众数是出现次数最多的睡眠时间，直接看条形统计图中人数最多的组别即可；计算方差需先求出睡眠时间的平均数，再根据方差公式（各数据与平均数差的平方的加权平均数）计算即可。
3. 求解第三问时，先算出样本中睡眠时间不足9h的人数占比，再用全校总人数乘该占比，即可估计出对应人数。
【解析】
(1) ①已知睡眠时间7h的有4人，占比10%，故本次接受调查的学生总人数为$4÷10\%=40$人；
②睡眠时间9h的人数$n=40-4-8-10-3=15$；
③睡眠时间10h的人数为10人，对应占比为$\frac{10}{40}×100\%=25\%$，故$m=25$。
(2) ①睡眠时间为9h的人数最多（共15人），故所调查学生每天睡眠时间的众数是9h；
②先计算平均睡眠时间：$\overline{x}=\frac{7×4+8×8+9×15+10×10+11×3}{40}=\frac{360}{40}=9$，
再根据方差公式计算：$s^2=\frac{4×(7-9)^2+8×(8-9)^2+15×(9-9)^2+10×(10-9)^2+3×(11-9)^2}{40}=\frac{16+8+0+10+12}{40}=\frac{46}{40}=1.15$。
(3) 样本中每天睡眠时间不足9h的人数为$4+8=12$人，占样本总人数的比例为$\frac{12}{40}$，
因此估计该校1600名初中学生中，每天睡眠时间不足9h的人数为$1600×\frac{12}{40}=480$人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{25}$；$\boldsymbol{15}$
(2) $\boldsymbol{9}$；$\boldsymbol{1.15}$
(3) 估计该校初中学生每天睡眠时间不足9h的有$\boldsymbol{480}$人。
【知识点】
1. 统计图表识别
2. 众数与方差计算
3. 用样本估计总体
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查从统计图中提取有效信息的能力，以及对众数、方差等统计量计算方法的掌握，同时要求能利用样本特征估计总体情况，熟练掌握统计基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 求解第一问时，先匹配两个统计图的已知信息：睡眠时间7h的人数为4人，对应扇形占比10%，用部分量除以对应占比可得总调查人数；再用总人数减去其余睡眠时间的人数得到9h的人数$n$；最后用10h的人数除以总人数得到对应占比，即可求出$m$的值。
2. 求解第二问时，众数是出现次数最多的睡眠时间，直接看条形统计图中人数最多的组别即可；计算方差需先求出睡眠时间的平均数，再根据方差公式（各数据与平均数差的平方的加权平均数）计算即可。
3. 求解第三问时，先算出样本中睡眠时间不足9h的人数占比，再用全校总人数乘该占比，即可估计出对应人数。
【解析】
(1) ①已知睡眠时间7h的有4人，占比10%，故本次接受调查的学生总人数为$4÷10\%=40$人；
②睡眠时间9h的人数$n=40-4-8-10-3=15$；
③睡眠时间10h的人数为10人，对应占比为$\frac{10}{40}×100\%=25\%$，故$m=25$。
(2) ①睡眠时间为9h的人数最多（共15人），故所调查学生每天睡眠时间的众数是9h；
②先计算平均睡眠时间：$\overline{x}=\frac{7×4+8×8+9×15+10×10+11×3}{40}=\frac{360}{40}=9$，
再根据方差公式计算：$s^2=\frac{4×(7-9)^2+8×(8-9)^2+15×(9-9)^2+10×(10-9)^2+3×(11-9)^2}{40}=\frac{16+8+0+10+12}{40}=\frac{46}{40}=1.15$。
(3) 样本中每天睡眠时间不足9h的人数为$4+8=12$人，占样本总人数的比例为$\frac{12}{40}$，
因此估计该校1600名初中学生中，每天睡眠时间不足9h的人数为$1600×\frac{12}{40}=480$人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{25}$；$\boldsymbol{15}$
(2) $\boldsymbol{9}$；$\boldsymbol{1.15}$
(3) 估计该校初中学生每天睡眠时间不足9h的有$\boldsymbol{480}$人。
【知识点】
1. 统计图表识别
2. 众数与方差计算
3. 用样本估计总体
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查从统计图中提取有效信息的能力，以及对众数、方差等统计量计算方法的掌握，同时要求能利用样本特征估计总体情况，熟练掌握统计基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
