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11.甲、乙两人在相同的条件下各射击5次，每次的成绩如图所示。
(1)请根据图中的数据填写下表：
(2)结合平均数和方差，请问谁的成绩更好？
(1)请根据图中的数据填写下表：
(2)结合平均数和方差，请问谁的成绩更好？
答案
解:(1)甲成绩的平均数为$\frac{6+7+8+7+7}{5}=7$(环)，
方差为$\frac{1}{5}[(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2]=0.4$,众数是7环。
乙成绩的平均数为$\frac{3+6+6+7+8}{5}=6$(环),众数是6环。
补全表格：
| 姓名 | 平均数 | 众数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 7 | 7 | 0.4 |
| 乙 | 6 | 6 | 2.8 |
(2)从甲、乙两人射击成绩的平均数来看,甲的成绩优于乙,并且甲比乙的方差要小,说明甲的成绩较为稳定,所以甲的成绩比乙的成绩要好些。
方差为$\frac{1}{5}[(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2]=0.4$,众数是7环。
乙成绩的平均数为$\frac{3+6+6+7+8}{5}=6$(环),众数是6环。
补全表格：
| 姓名 | 平均数 | 众数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 7 | 7 | 0.4 |
| 乙 | 6 | 6 | 2.8 |
(2)从甲、乙两人射击成绩的平均数来看,甲的成绩优于乙,并且甲比乙的方差要小,说明甲的成绩较为稳定,所以甲的成绩比乙的成绩要好些。
解析
【分析】
解题时首先要先提取甲、乙两人5次射击的所有成绩，再分别计算对应统计量：①平均数：将每人5次成绩求和后除以5即可得到；②众数：找出每人成绩中出现次数最多的数值即为众数；③方差：按照方差公式，先计算每个成绩与平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数。第二问判断成绩优劣时，先比较平均数，平均数更高说明整体水平更好，再比较方差，方差越小说明成绩越稳定，结合两个统计量的结论即可判断。
【解析】
(1) 提取两人射击成绩后分别计算统计量：
甲的5次成绩为6、7、8、7、7：
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{6+7+8+7+7}{5}=7$（环）
7出现次数最多，故甲的众数为7环
方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}[(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2]=0.4$
乙的5次成绩为3、6、6、7、8：
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{3+6+6+7+8}{5}=6$（环）
6出现次数最多，故乙的众数为6环
方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}[(3-6)^2+(6-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2]=2.8$
补全表格：
| 姓名 | 平均数 | 众数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 7 | 7 | 0.4 |
| 乙 | 6 | 6 | 2.8 |
(2) 先比较平均数，甲的平均成绩7环高于乙的6环，说明甲的整体射击水平更高；再比较方差，甲的方差0.4小于乙的方差2.8，说明甲的成绩更稳定。因此甲的成绩更好。
【答案】
(1) 补全表格如下：
| 姓名 | 平均数 | 众数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 7 | 7 | 0.4 |
| 乙 | 6 | 6 | 2.8 |
(2) 甲的成绩更好。
【知识点】
平均数的计算、众数的判定、方差的意义与计算
【点评】
本题是统计类基础题，考查常见统计量的计算和实际应用，解题核心是牢记各统计量的计算公式和实际含义，结合数据特征分析即可得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先要先提取甲、乙两人5次射击的所有成绩，再分别计算对应统计量：①平均数：将每人5次成绩求和后除以5即可得到；②众数：找出每人成绩中出现次数最多的数值即为众数；③方差：按照方差公式，先计算每个成绩与平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数。第二问判断成绩优劣时，先比较平均数，平均数更高说明整体水平更好，再比较方差，方差越小说明成绩越稳定，结合两个统计量的结论即可判断。
【解析】
(1) 提取两人射击成绩后分别计算统计量：
甲的5次成绩为6、7、8、7、7：
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{6+7+8+7+7}{5}=7$（环）
7出现次数最多，故甲的众数为7环
方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}[(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2]=0.4$
乙的5次成绩为3、6、6、7、8：
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{3+6+6+7+8}{5}=6$（环）
6出现次数最多，故乙的众数为6环
方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}[(3-6)^2+(6-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2]=2.8$
补全表格：
| 姓名 | 平均数 | 众数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 7 | 7 | 0.4 |
| 乙 | 6 | 6 | 2.8 |
(2) 先比较平均数，甲的平均成绩7环高于乙的6环，说明甲的整体射击水平更高；再比较方差，甲的方差0.4小于乙的方差2.8，说明甲的成绩更稳定。因此甲的成绩更好。
【答案】
(1) 补全表格如下：
| 姓名 | 平均数 | 众数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 7 | 7 | 0.4 |
| 乙 | 6 | 6 | 2.8 |
(2) 甲的成绩更好。
【知识点】
平均数的计算、众数的判定、方差的意义与计算
【点评】
本题是统计类基础题，考查常见统计量的计算和实际应用，解题核心是牢记各统计量的计算公式和实际含义，结合数据特征分析即可得出结论。
【难度系数】
0.8
12.为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株麦苗，测得苗高(单位:cm)如下：
甲:12,13,14,13,10,16,13,13,15,11；
乙:6,9,7,12,11,16,14,16,20,19。
(1)请根据以上数据填写下表：
| 品种 | 中位数 | 众数 | 平均数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 13 |
| 13 |
| 乙 |
(2)选择合适的数据代表，评价两种小麦的长势情况。
甲:12,13,14,13,10,16,13,13,15,11；
乙:6,9,7,12,11,16,14,16,20,19。
(1)请根据以上数据填写下表：
| 品种 | 中位数 | 众数 | 平均数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 13 |
| 13 | 2.8
|| 乙 |
13
| 16 | 13
| 21 |(2)选择合适的数据代表，评价两种小麦的长势情况。
答案
解:(1)补全表格如下：
| 品种 | 中位数 | 众数 | 平均数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 13 | 13 | 13 | 2.8 |
| 乙 | 13 | 16 | 13 | 21 |
(2)因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差,所以甲种小麦苗高整齐。而两种小麦苗高的中位数和平均数相同,故甲种小麦长势较好。
| 品种 | 中位数 | 众数 | 平均数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 13 | 13 | 13 | 2.8 |
| 乙 | 13 | 16 | 13 | 21 |
(2)因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差,所以甲种小麦苗高整齐。而两种小麦苗高的中位数和平均数相同,故甲种小麦长势较好。
解析
【分析】
解决本题分两步思考：
(1)计算表格空缺内容：先回忆各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，奇数个取中间的数；平均数是所有数据之和除以数据个数；方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，按定义分别计算对应值即可。
(2)评价长势：平均数、中位数反映整体平均水平，方差反映数据的波动程度（整齐度），对比两个品种的各统计量即可得出结论。
【解析】
(1)计算各空缺值：
①甲的众数：甲组数据中13共出现4次，出现次数最多，因此甲的众数为13；
②甲的方差：已知甲的平均数为13，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$，代入数据得：
$s^2_甲=\frac{1}{10}[(12-13)^2+4×(13-13)^2+(14-13)^2+(10-13)^2+(16-13)^2+(15-13)^2+(11-13)^2]$
$=\frac{1}{10}(1+0+1+9+9+4+4)=\frac{28}{10}=2.8$；
③乙的中位数：将乙组数据从小到大排序为：6,7,9,11,12,14,16,16,19,20，共10个数据，取第5、6个数据的平均数，即$\frac{12+14}{2}=13$；
④乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{6+7+9+11+12+14+16+16+19+20}{10}=\frac{130}{10}=13$。
即可补全表格。
(2)对比统计量分析：
甲、乙两种小麦苗高的平均数、中位数均为13，说明两种小麦的平均苗高水平相当；甲的方差2.8远小于乙的方差21，方差越小说明数据波动越小，苗高越整齐，因此甲种小麦长势更好。
【答案】
(1) 补全表格如下：
| 品种 | 中位数 | 众数 | 平均数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 13 | 13 | 13 | 2.8 |
| 乙 | 13 | 16 | 13 | 21 |
(2) 甲种小麦苗高更整齐，长势较好。
【知识点】
众数的概念，方差的计算，统计量的实际应用
【点评】
本题核心是考查常见统计量的计算及实际意义，解题的关键是准确掌握各统计量的计算方法，理解不同统计量反映的数据特征，能结合实际场景选择合适的统计量分析问题。
【难度系数】
0.8
解决本题分两步思考：
(1)计算表格空缺内容：先回忆各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，奇数个取中间的数；平均数是所有数据之和除以数据个数；方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，按定义分别计算对应值即可。
(2)评价长势：平均数、中位数反映整体平均水平，方差反映数据的波动程度（整齐度），对比两个品种的各统计量即可得出结论。
【解析】
(1)计算各空缺值：
①甲的众数：甲组数据中13共出现4次，出现次数最多，因此甲的众数为13；
②甲的方差：已知甲的平均数为13，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$，代入数据得：
$s^2_甲=\frac{1}{10}[(12-13)^2+4×(13-13)^2+(14-13)^2+(10-13)^2+(16-13)^2+(15-13)^2+(11-13)^2]$
$=\frac{1}{10}(1+0+1+9+9+4+4)=\frac{28}{10}=2.8$；
③乙的中位数：将乙组数据从小到大排序为：6,7,9,11,12,14,16,16,19,20，共10个数据，取第5、6个数据的平均数，即$\frac{12+14}{2}=13$；
④乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{6+7+9+11+12+14+16+16+19+20}{10}=\frac{130}{10}=13$。
即可补全表格。
(2)对比统计量分析：
甲、乙两种小麦苗高的平均数、中位数均为13，说明两种小麦的平均苗高水平相当；甲的方差2.8远小于乙的方差21，方差越小说明数据波动越小，苗高越整齐，因此甲种小麦长势更好。
【答案】
(1) 补全表格如下：
| 品种 | 中位数 | 众数 | 平均数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | 13 | 13 | 13 | 2.8 |
| 乙 | 13 | 16 | 13 | 21 |
(2) 甲种小麦苗高更整齐，长势较好。
【知识点】
众数的概念，方差的计算，统计量的实际应用
【点评】
本题核心是考查常见统计量的计算及实际意义，解题的关键是准确掌握各统计量的计算方法，理解不同统计量反映的数据特征，能结合实际场景选择合适的统计量分析问题。
【难度系数】
0.8
