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|变式训练2| 甲组数据－1，－1，0，1，2的方差记为$s^2_甲$，乙组数据－1，－1，0，1，1的方差记为$s^2_乙$，则（
A.$s^2_甲=s^2_乙$
B.$s^2_甲＞s^2_乙$
C.$s^2_甲＜s^2_乙$
D.无法比较
B
）A.$s^2_甲=s^2_乙$
B.$s^2_甲＞s^2_乙$
C.$s^2_甲＜s^2_乙$
D.无法比较
答案
B
解析
【分析】要比较两组数据的方差大小，需严格按照方差的计算步骤操作：首先分别计算两组数据的平均数，再计算每个数据与对应平均数的偏差的平方和，最后将平方和除以数据总个数得到方差，再比较两个方差的大小即可。
【解析】
1. 计算甲组数据的平均数和方差：
甲组数据为-1，-1，0，1，2，共5个数据
平均数$\overline{x}_甲=\frac{(-1)+(-1)+0+1+2}{5}=\frac{1}{5}=0.2$
方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(-1-0.2)^2+(-1-0.2)^2+(0-0.2)^2+(1-0.2)^2+(2-0.2)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1.44+1.44+0.04+0.64+3.24)$
$=\frac{1}{5}×6.8=1.36$
2. 计算乙组数据的平均数和方差：
乙组数据为-1，-1，0，1，1，共5个数据
平均数$\overline{x}_乙=\frac{(-1)+(-1)+0+1+1}{5}=\frac{0}{5}=0$
方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(-1-0)^2+(-1-0)^2+(0-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+0+1+1)$
$=\frac{1}{5}×4=0.8$
3. 比较大小：$1.36＞0.8$，因此$s^2_甲＞s^2_乙$
【答案】B
【知识点】平均数的计算；方差的计算
【点评】本题核心考查方差的计算方法，牢记方差的计算步骤是解题的关键，计算过程中需注意运算准确性，避免因基础运算失误失分。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算甲组数据的平均数和方差：
甲组数据为-1，-1，0，1，2，共5个数据
平均数$\overline{x}_甲=\frac{(-1)+(-1)+0+1+2}{5}=\frac{1}{5}=0.2$
方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(-1-0.2)^2+(-1-0.2)^2+(0-0.2)^2+(1-0.2)^2+(2-0.2)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1.44+1.44+0.04+0.64+3.24)$
$=\frac{1}{5}×6.8=1.36$
2. 计算乙组数据的平均数和方差：
乙组数据为-1，-1，0，1，1，共5个数据
平均数$\overline{x}_乙=\frac{(-1)+(-1)+0+1+1}{5}=\frac{0}{5}=0$
方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(-1-0)^2+(-1-0)^2+(0-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+0+1+1)$
$=\frac{1}{5}×4=0.8$
3. 比较大小：$1.36＞0.8$，因此$s^2_甲＞s^2_乙$
【答案】B
【知识点】平均数的计算；方差的计算
【点评】本题核心考查方差的计算方法，牢记方差的计算步骤是解题的关键，计算过程中需注意运算准确性，避免因基础运算失误失分。
【难度系数】0.7
1.已知一组数据2,3,5,7,8,则这组数据的方差为 （
A.3
B.4.5
C.5.2
D.6
C
）A.3
B.4.5
C.5.2
D.6
答案
C
解析
【分析】
要计算一组数据的方差，需遵循固定的解题步骤：首先先算出这组数据的算术平均数，再将平均数代入方差公式，计算每个数据与平均数差值的平方的平均值，就能得到最终的方差结果。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数$\bar{x}$
$\bar{x}=\frac{2+3+5+7+8}{5}=\frac{25}{5}=5$
第二步：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}×[(2-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(8-5)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+4+0+4+9)$
$=\frac{1}{5}×26=5.2$
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；算术平均数的计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对方差、平均数计算公式的掌握情况，只要牢记公式、细心计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的方差，需遵循固定的解题步骤：首先先算出这组数据的算术平均数，再将平均数代入方差公式，计算每个数据与平均数差值的平方的平均值，就能得到最终的方差结果。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数$\bar{x}$
$\bar{x}=\frac{2+3+5+7+8}{5}=\frac{25}{5}=5$
第二步：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}×[(2-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(8-5)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+4+0+4+9)$
$=\frac{1}{5}×26=5.2$
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；算术平均数的计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对方差、平均数计算公式的掌握情况，只要牢记公式、细心计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
2.两名同学进行了10次三级蛙跳测试,经计算,他们的平均成绩相同,若要比较这两名同学成绩哪一位更稳定,通常还需要比较他们成绩的 (
A.众数
B.中位数
C.方差
D.以上都不对
C
)A.众数
B.中位数
C.方差
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心需求：在两名同学平均成绩相同的前提下，比较两人成绩的稳定性，也就是判断谁的成绩波动更小。接下来我们需要回忆各选项对应统计量的含义：众数、中位数均用于反映数据的集中趋势，只有方差是衡量数据波动大小的统计量，因此对应需求选择方差即可。
【解析】
我们逐一分析各选项的作用：
A. 众数是一组数据中出现次数最多的数，反映数据的集中趋势，无法衡量成绩的稳定性，不符合要求；
B. 中位数是将数据排序后位于中间位置的数值（或中间两个数的平均数），反映数据的中等水平，同样无法体现成绩的波动情况，不符合要求；
C. 方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。已知两人平均成绩相同，因此比较方差就可以判断哪位同学的成绩更稳定，符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的意义、统计量的选择
【点评】
本题属于统计模块的基础题，重点考查不同统计量对应的实际意义，解题关键是准确区分各统计量反映的数据特征，结合题目的具体需求选择对应的统计量。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目核心需求：在两名同学平均成绩相同的前提下，比较两人成绩的稳定性，也就是判断谁的成绩波动更小。接下来我们需要回忆各选项对应统计量的含义：众数、中位数均用于反映数据的集中趋势，只有方差是衡量数据波动大小的统计量，因此对应需求选择方差即可。
【解析】
我们逐一分析各选项的作用：
A. 众数是一组数据中出现次数最多的数，反映数据的集中趋势，无法衡量成绩的稳定性，不符合要求；
B. 中位数是将数据排序后位于中间位置的数值（或中间两个数的平均数），反映数据的中等水平，同样无法体现成绩的波动情况，不符合要求；
C. 方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。已知两人平均成绩相同，因此比较方差就可以判断哪位同学的成绩更稳定，符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的意义、统计量的选择
【点评】
本题属于统计模块的基础题，重点考查不同统计量对应的实际意义，解题关键是准确区分各统计量反映的数据特征，结合题目的具体需求选择对应的统计量。
【难度系数】
0.8
3.甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，射击成绩的平均数和方差如下表：
射击成绩好且最稳定的是 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
射击成绩好且最稳定的是 （
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
【分析】
要选出射击成绩好且最稳定的选手，需要分两步判断：首先看平均数，平均数越高代表平均成绩越好；其次看方差，方差越小代表成绩波动越小、越稳定。先筛选出平均数更高的选手，再在这些选手中找到方差最小的，就是符合要求的选手。
【解析】
第一步，比较四位选手的平均数：平均数反映成绩的平均水平，数值越大说明整体成绩越好。观察表格可知，乙和丁的平均数都是9.3，大于甲、丙的8.3，因此先排除平均成绩更低的甲和丙，剩余乙、丁两位选手成绩更好。
第二步，比较乙和丁的方差：方差反映数据的波动程度，方差越小，成绩越稳定。乙的方差为0.015，丁的方差为0.021，因为0.015 ＜ 0.021，所以乙的成绩比丁更稳定。
综上，射击成绩好且最稳定的是乙。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义，统计量的选择
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题时要明确平均数和方差各自代表的实际意义，按照“先比平均数看成绩好坏，再比方差看稳定性”的顺序判断即可，注意不要混淆两个统计量的作用。
【难度系数】
0.85
要选出射击成绩好且最稳定的选手，需要分两步判断：首先看平均数，平均数越高代表平均成绩越好；其次看方差，方差越小代表成绩波动越小、越稳定。先筛选出平均数更高的选手，再在这些选手中找到方差最小的，就是符合要求的选手。
【解析】
第一步，比较四位选手的平均数：平均数反映成绩的平均水平，数值越大说明整体成绩越好。观察表格可知，乙和丁的平均数都是9.3，大于甲、丙的8.3，因此先排除平均成绩更低的甲和丙，剩余乙、丁两位选手成绩更好。
第二步，比较乙和丁的方差：方差反映数据的波动程度，方差越小，成绩越稳定。乙的方差为0.015，丁的方差为0.021，因为0.015 ＜ 0.021，所以乙的成绩比丁更稳定。
综上，射击成绩好且最稳定的是乙。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义，统计量的选择
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题时要明确平均数和方差各自代表的实际意义，按照“先比平均数看成绩好坏，再比方差看稳定性”的顺序判断即可，注意不要混淆两个统计量的作用。
【难度系数】
0.85
4.若一组数据4,x,5,7,9的众数为5,则这组数据的方差为
$\frac{16}{5}$
。答案
$\frac{16}{5}$
解析
【分析】
解题时首先结合众数的定义确定未知数据x的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，现有数据4、5、7、9均只出现1次，要使众数为5，则5的出现次数最多，因此x=5。接下来根据方差的计算要求，先计算这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 这组数据4,x,5,7,9的众数为5
∴ x=5，此时该组数据为4,5,5,7,9
第一步，计算数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{4+5+5+7+9}{5}=\frac{30}{5}=6$
第二步，代入方差公式计算方差：
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(4-6)^2+(5-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+3^2]$
$=\frac{1}{5}(4+1+1+1+9)$
$=\frac{1}{5}×16=\frac{16}{5}$
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
众数的定义；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对统计基本概念的理解和公式的运用，解题的关键是先根据众数的定义确定未知参数x的取值，计算方差时要注意先求对平均数，再准确计算各数据与平均数差值的平方和，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合众数的定义确定未知数据x的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，现有数据4、5、7、9均只出现1次，要使众数为5，则5的出现次数最多，因此x=5。接下来根据方差的计算要求，先计算这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 这组数据4,x,5,7,9的众数为5
∴ x=5，此时该组数据为4,5,5,7,9
第一步，计算数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{4+5+5+7+9}{5}=\frac{30}{5}=6$
第二步，代入方差公式计算方差：
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(4-6)^2+(5-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+3^2]$
$=\frac{1}{5}(4+1+1+1+9)$
$=\frac{1}{5}×16=\frac{16}{5}$
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
众数的定义；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对统计基本概念的理解和公式的运用，解题的关键是先根据众数的定义确定未知参数x的取值，计算方差时要注意先求对平均数，再准确计算各数据与平均数差值的平方和，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
5.若一组数据2,0,1,x,3的平均数是2,则这组数据的方差是
2
。答案
2
解析
【分析】
解题分为两个核心步骤：第一步，利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，平均数是一组数据的总和除以数据的个数，已知平均数和其余数据，可先算出数据总和，再减去已知数据的和得到x；第二步，将所有数据代入方差公式计算结果，方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，代入数值即可算出最终方差。
【解析】
第一步：求未知数据x的值
这组数据共有5个，平均数为2，根据平均数公式可得：
数据总和 = 平均数×数据个数 = $2×5=10$
已知数据的和为：$2+0+1+3=6$
因此$x=10-6=4$
第二步：计算方差
方差公式为$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}$为平均数，$n$为数据个数，代入数值计算：
$S^2=\frac{1}{5}[(2-2)^2+(0-2)^2+(1-2)^2+(4-2)^2+(3-2)^2]$
$=\frac{1}{5}[0+4+1+4+1]$
$=\frac{1}{5}×10=2$
【答案】
2
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础统计类题型，解题关键是先通过平均数求出未知数据，再代入方差公式计算，牢记相关统计量的计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题分为两个核心步骤：第一步，利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，平均数是一组数据的总和除以数据的个数，已知平均数和其余数据，可先算出数据总和，再减去已知数据的和得到x；第二步，将所有数据代入方差公式计算结果，方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，代入数值即可算出最终方差。
【解析】
第一步：求未知数据x的值
这组数据共有5个，平均数为2，根据平均数公式可得：
数据总和 = 平均数×数据个数 = $2×5=10$
已知数据的和为：$2+0+1+3=6$
因此$x=10-6=4$
第二步：计算方差
方差公式为$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}$为平均数，$n$为数据个数，代入数值计算：
$S^2=\frac{1}{5}[(2-2)^2+(0-2)^2+(1-2)^2+(4-2)^2+(3-2)^2]$
$=\frac{1}{5}[0+4+1+4+1]$
$=\frac{1}{5}×10=2$
【答案】
2
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础统计类题型，解题关键是先通过平均数求出未知数据，再代入方差公式计算，牢记相关统计量的计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6.甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温方差的大小关系为$s^2_{甲}$
＞
$s^2_{乙}$。（填“＞”或“＜”）答案
＞
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的意义：方差是反映一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，对应的方差越大，反之则越小。接下来观察折线统计图的起伏情况：实线代表甲地气温，虚线代表乙地气温，对比两条线的起伏幅度，判断哪组数据波动更大，就能得到两者方差的大小关系。
【解析】
方差的作用是衡量一组数据的离散（波动）程度：一组数据波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。
观察折线图可知：甲地10天的日平均气温最高到30℃，最低到22℃，上下起伏幅度大；乙地的日平均气温在24℃到28℃之间，起伏幅度更小，即甲地气温的波动程度大于乙地。
因此甲地日平均气温的方差大于乙地，即$s^2_{甲}＞s^2_{乙}$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 方差的意义
2. 折线统计图的应用
【点评】
本题属于统计类基础题，不需要计算具体的方差数值，只需结合折线图的波动特征和方差的意义即可快速判断，要熟练掌握“数据波动程度与方差正相关”的规律。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆方差的意义：方差是反映一组数据波动大小的统计量，数据波动越大，对应的方差越大，反之则越小。接下来观察折线统计图的起伏情况：实线代表甲地气温，虚线代表乙地气温，对比两条线的起伏幅度，判断哪组数据波动更大，就能得到两者方差的大小关系。
【解析】
方差的作用是衡量一组数据的离散（波动）程度：一组数据波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。
观察折线图可知：甲地10天的日平均气温最高到30℃，最低到22℃，上下起伏幅度大；乙地的日平均气温在24℃到28℃之间，起伏幅度更小，即甲地气温的波动程度大于乙地。
因此甲地日平均气温的方差大于乙地，即$s^2_{甲}＞s^2_{乙}$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 方差的意义
2. 折线统计图的应用
【点评】
本题属于统计类基础题，不需要计算具体的方差数值，只需结合折线图的波动特征和方差的意义即可快速判断，要熟练掌握“数据波动程度与方差正相关”的规律。
【难度系数】
0.85
7.某校八年级两个班各选派6名学生参加“垃圾分类知识竞赛”，成绩如下：
一班:87,91,91,92,94,96；
二班:84,88,90,90,91,97。
(1)求一班参赛学生成绩的中位数和众数；
(2)求二班参赛学生成绩的方差。
一班:87,91,91,92,94,96；
二班:84,88,90,90,91,97。
(1)求一班参赛学生成绩的中位数和众数；
(2)求二班参赛学生成绩的方差。
答案
解:(1)一班参赛学生成绩的中位数为$\frac{91+92}{2}=91.5$(分)，众数是91分。
(2)二班参赛学生成绩的平均数为 $\frac{1}{6}(84+88+90+90+91+97)=90$(分)，
方差是$\frac{1}{6}[(84-90)^2+(88-90)^2+2(90-90)^2+(91-90)^2+(97-90)^2]=15$。
(2)二班参赛学生成绩的平均数为 $\frac{1}{6}(84+88+90+90+91+97)=90$(分)，
方差是$\frac{1}{6}[(84-90)^2+(88-90)^2+2(90-90)^2+(91-90)^2+(97-90)^2]=15$。
解析
【分析】
(1)求中位数首先要将数据按大小顺序排列，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。本题中一班成绩已按从小到大排序，共6个数据，取第3、4个数据求平均即可得到中位数，统计各数据出现次数就能找到众数。
(2)计算方差的步骤是先求这组数据的平均数，再代入方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算即可，先算出二班6名学生的平均成绩，再代入公式求解方差。
【解析】
(1)一班参赛学生的成绩已按从小到大排列为：87，91，91，92，94，96，共6个数据。
中位数为第3个和第4个数据的平均数，即$\frac{91+92}{2}=91.5$（分）；
其中91出现的次数最多，共2次，因此众数是91分。
(2)先计算二班参赛学生成绩的平均数：
$\bar{x}=\frac{1}{6}×(84+88+90+90+91+97)=90$（分）
再代入方差公式计算：
$S^2=\frac{1}{6}[(84-90)^2+(88-90)^2+2×(90-90)^2+(91-90)^2+(97-90)^2]$
$=\frac{1}{6}×(36+4+0+1+49)=\frac{1}{6}×90=15$
【答案】
(1)一班参赛学生成绩的中位数是91.5分，众数是91分；
(2)二班参赛学生成绩的方差是15。
【知识点】
中位数；众数；方差的计算
【点评】
本题属于统计部分的基础题型，主要考查常见统计特征量的计算方法，解题关键是牢记各统计量的定义及运算公式，计算时注意准确性即可。
【难度系数】
0.85
(1)求中位数首先要将数据按大小顺序排列，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。本题中一班成绩已按从小到大排序，共6个数据，取第3、4个数据求平均即可得到中位数，统计各数据出现次数就能找到众数。
(2)计算方差的步骤是先求这组数据的平均数，再代入方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算即可，先算出二班6名学生的平均成绩，再代入公式求解方差。
【解析】
(1)一班参赛学生的成绩已按从小到大排列为：87，91，91，92，94，96，共6个数据。
中位数为第3个和第4个数据的平均数，即$\frac{91+92}{2}=91.5$（分）；
其中91出现的次数最多，共2次，因此众数是91分。
(2)先计算二班参赛学生成绩的平均数：
$\bar{x}=\frac{1}{6}×(84+88+90+90+91+97)=90$（分）
再代入方差公式计算：
$S^2=\frac{1}{6}[(84-90)^2+(88-90)^2+2×(90-90)^2+(91-90)^2+(97-90)^2]$
$=\frac{1}{6}×(36+4+0+1+49)=\frac{1}{6}×90=15$
【答案】
(1)一班参赛学生成绩的中位数是91.5分，众数是91分；
(2)二班参赛学生成绩的方差是15。
【知识点】
中位数；众数；方差的计算
【点评】
本题属于统计部分的基础题型，主要考查常见统计特征量的计算方法，解题关键是牢记各统计量的定义及运算公式，计算时注意准确性即可。
【难度系数】
0.85
