7.如图,已知四边形ABCD是中心对称图形,点E,F是对角线BD上的两个点,且DE=BF。求证:
(1)$△ ADE ≌ △ CBF$;
(2)$AE // CF$。

7.证明:(1)
∵四边形ABCD是中心对称图形，
∴AD=BC,∠ADE=∠CBF。
在△ADE和△CBF中，
$\begin{cases}AD=BC,\\∠ADE=∠CBF,\\DE=BF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS)。
(2)
∵△ADE≌△CBF，
∴∠AED=∠CFB，
∴180°−∠AED=180°−∠CFB，
即∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF。

【分析】
（1）要证明△ADE≌△CBF，先回忆全等三角形的判定定理，题目已给出DE=BF，还需要一组对应边相等和一组对应角相等。结合四边形ABCD是中心对称图形的条件，根据中心对称图形的性质可得对应边AD=BC，对应角∠ADE=∠CBF，刚好满足SAS的判定条件，即可证明全等。
（2）要证明AE//CF，可通过证明内错角相等推导。由（1）的全等结论可得对应角∠AED=∠CFB，通过等角的补角相等得到∠AEF=∠CFE，这两个角是AE、CF被BD所截形成的内错角，内错角相等即可推出两直线平行。
【解析】
证明：(1)
∵四边形ABCD是中心对称图形，
∴AD=BC，∠ADE=∠CBF。
在△ADE和△CBF中，
$\begin{cases}AD=BC,\\∠ADE=∠CBF,\\DE=BF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS)。
(2)
∵△ADE≌△CBF，
∴∠AED=∠CFB，
∴180°−∠AED=180°−∠CFB，
即∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF。
【答案】
证明过程见解析。
【知识点】
中心对称图形的性质；全等三角形的SAS判定；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，将中心对称性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握各定理的适用条件，逐步推导结论。
【难度系数】
0.8

8.如图,正方形 $ABCD$ 与正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 关于某点成中心对称,已知 $A,D_1,D$ 三点的坐标分别是 $(0,4),(0,3),(0,2)$。
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点 $B,C,B_1,C_1$ 的坐标。

8.解:(1)根据中心对称的定义,可得对称中心是$D_1D$的中点。
∵点$D_1$,$D$的坐标分别是$(0,3)$,$(0,2)$，
∴对称中心的坐标是$(0,\frac{5}{2})$。
(2)
∵点$A$,$D$的坐标分别是$(0,4)$,$(0,2)$，
∴正方形$ABCD$与正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长都是$4−2=2$。
∴点$B$,$C$的坐标分别是$(-2,4)$,$(-2,2)$。
∵$A_1D_1=2$,点$D_1$的坐标是$(0,3)$，
∴点$A_1$的坐标是$(0,1)$，
∴点$B_1$,$C_1$的坐标分别是$(2,1)$,$(2,3)$。

【分析】
(1) 求解对称中心坐标时，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对称点的连线经过对称中心，且对称中心是对称点连线的中点。观察图形可知$D$和$D_1$是一组对称点，因此只需计算线段$D_1D$的中点坐标即可得到对称中心。
(2) 求解各顶点坐标时，首先根据$A$、$D$两点都在y轴上，用纵坐标之差求出正方形的边长；再结合正方形$ABCD$在y轴左侧的位置，结合$A$、$D$的坐标可推出$B$、$C$的坐标；然后根据正方形边长求出$A_1$的坐标，再结合正方形$A_1B_1C_1D_1$在y轴右侧的位置，推出$B_1$、$C_1$的坐标。
【解析】
(1) 根据中心对称的性质，对称中心是一组对称点连线的中点，本题中$D_1$和$D$是对应对称点。
已知点$D_1$、$D$的坐标分别是$(0,3)$、$(0,2)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入可得对称中心横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}$。
(2) 首先计算正方形的边长：已知点$A$、$D$的坐标分别是$(0,4)$、$(0,2)$，两点均在y轴上，因此正方形的边长为$4-2=2$。
正方形$ABCD$在y轴左侧，点$B$与$A$纵坐标相同，横坐标比$A$小2，因此$B$坐标为$(-2,4)$；点$C$与$D$纵坐标相同，横坐标比$D$小2，因此$C$坐标为$(-2,2)$。
正方形$A_1B_1C_1D_1$中，$A_1D_1$长度等于边长2，点$D_1$坐标为$(0,3)$，$A_1$在$D_1$下方，因此$A_1$纵坐标为$3-2=1$，坐标为$(0,1)$；正方形$A_1B_1C_1D_1$在y轴右侧，点$B_1$与$A_1$纵坐标相同，横坐标比$A_1$大2，因此$B_1$坐标为$(2,1)$；点$C_1$与$D_1$纵坐标相同，横坐标比$D_1$大2，因此$C_1$坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) 对称中心的坐标是$\boldsymbol{(0,\frac{5}{2})}$；
(2) $B(-2,4)$，$C(-2,2)$，$B_1(2,1)$，$C_1(2,3)$
【知识点】
中心对称的性质，平面直角坐标系中点的坐标，正方形的性质
【点评】
本题考查中心对称性质的应用和坐标系内点的坐标求解，解题的关键是明确中心对称中对称中心为对称点连线的中点，结合正方形边长相等的特点即可快速推导各点坐标，属于基础类题目，掌握对应性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

9.如图,四边形ABCD是以点O为对称中心的中心对称图形,过点O作OE⊥AC交BC于点E。如果△ABE的周长为24 cm,求四边形ABCD的周长。

9.解:
∵四边形ABCD是中心对称图形，
∴AO=CO,AB=CD,BC=AD。
又
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
∴△ABE的周长$=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=24\ \mathrm{cm}$，
∴四边形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=2(AB+BC)=48\ \mathrm{cm}$。

【分析】
解题时首先结合已知的“四边形ABCD是以点O为对称中心的中心对称图形”，回忆中心对称图形的性质：对称中心平分对应点的连线，且中心对称图形的对应边相等，因此可得AO=CO，AB=CD，BC=AD；接下来看到OE⊥AC，说明OE是线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此可得AE=EC；再观察△ABE的周长，将其中的AE替换为EC，就能把△ABE的周长转化为AB+BC的长度，也就是四边形ABCD相邻两边的和；最后根据四边形对边相等的关系，周长是相邻两边和的2倍，代入计算即可求出结果。
【解析】
∵四边形ABCD是中心对称图形，
∴AO=CO，AB=CD，BC=AD。
又
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
∴△ABE的周长$=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=24\ \mathrm{cm}$，
∴四边形ABCD的周长$=AB+BC+CD+AD=2(AB+BC)=2×24=48\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{48\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.中心对称图形的性质
2.线段垂直平分线的性质
3.四边形周长计算
【点评】
本题是几何性质的综合应用题，解题的关键是利用垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将三角形的周长转化为四边形相邻两边的长度和，再结合中心对称的性质求出四边形的总周长，解题时要注意灵活运用性质转化线段关系，减少不必要的计算。
【难度系数】
0.7

10.如图，点D是△ABC的边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE。
(1)哪两个图形成中心对称？
(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
(3)已知AB=5，AC=3，求AD的取值范围。

10.解:(1)△ADC和△EDB成中心对称。
(2)
∵△ADC和△EDB成中心对称,△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4。
∵点D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
∴△ABE的面积为8。
(3)如图,连接EC。
在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases}AD=DE,\\∠ADB=∠CDE,\\BD=CD,\end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=CE。
在△ACE中，
∵$CE−AC＜AE＜CE+AC$，
∴$2＜AE＜8$,
∴$1＜AD＜4$。

【分析】
(1) 解决第一问需结合中心对称的定义思考：若两个图形绕某一点旋转180°后能够完全重合，则这两个图形成中心对称。观察图形可知点D是AD、DE的中点，也是BC的中点，将△ADC绕点D旋转180°后可与△EDB重合，即可确定成中心对称的图形。
(2) 第二问求△ABE的面积，首先根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形面积相等，可得△EDB的面积等于△ADC的面积；再结合D是BC中点，△ABD与△ADC等底同高，面积相等，将△ABD和△BED的面积相加即可得到△ABE的面积。
(3) 第三问求AD的取值范围，已知DE=AD，因此AE=2AD，只需先求出AE的范围即可。我们可以通过连接EC构造全等三角形，将AB转化为CE，使AB、AC成为同一个三角形的两条边，再利用三角形三边关系求出AE的范围，最后除以2即可得到AD的取值范围。
【解析】
(1) 根据中心对称的定义，△ADC绕点D旋转180°后可与△EDB完全重合，因此△ADC和△EDB成中心对称。
(2) 因为成中心对称的两个图形全等、面积相等，已知△ADC的面积为4，所以△EDB的面积也为4；又因为D是BC的中点，△ABD和△ADC等底（BD=DC）、同高（点A到BC的距离），因此△ABD的面积也等于4，所以△ABE的面积为△ABD与△EDB的面积之和，即4+4=8。
(3) 连接EC后，可通过SAS证明△ABD≌△ECD，得到AB=CE=5；在△ACE中，根据三角形三边关系，两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，代入CE=5、AC=3可得2＜AE＜8；又因为AE=2AD，因此将不等式两边同时除以2，可得1＜AD＜4。
【答案】
(1)△ADC和△EDB成中心对称。
(2)
∵△ADC和△EDB成中心对称,△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4。
∵点D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
∴△ABE的面积为8。
(3)如图,连接EC。
在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases}AD=DE,\\∠ADB=∠CDE,\\BD=CD,\end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=CE。
在△ACE中，
∵$CE−AC＜AE＜CE+AC$，
∴$2＜AE＜8$,
∴$1＜AD＜4$。
【知识点】
中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查了中心对称、全等三角形、三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握中心对称的性质，以及倍长中线构造全等三角形这一常用辅助线方法，实现边和面积的转化，这类方法在解决中线相关的线段取值问题中非常常用。
【难度系数】
0.7