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9.先化简,再求值:
$(ab^2 + 3a^2b) - 5(3a^2b - ab^2)$,其中$a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{3}.$
$(ab^2 + 3a^2b) - 5(3a^2b - ab^2)$,其中$a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{3}.$
答案
化简为 $6ab^2 - 12a^2b$. 当 $a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{3}$ 时,原式 = $-\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是整式化简求值类基础题，解题思路分为三步：第一步先去括号，注意括号前是负因数时，去括号后括号内每一项都要变号，且括号外的系数要乘遍括号内所有项；第二步合并同类项，将所含字母相同、相同字母指数也相同的项进行合并，得到最简整式；第三步将已知的a、b的值代入最简整式计算，相比直接代入原式计算更简便，能减少计算错误。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}(ab^2 + 3a^2b) - 5(3a^2b - ab^2)&=ab^2 + 3a^2b - 15a^2b + 5ab^2\end{aligned}$
再合并同类项：
$\begin{aligned}&=(ab^2 + 5ab^2)+(3a^2b - 15a^2b)\\&=6ab^2 - 12a^2b\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=6×\frac{1}{2}×(\frac{1}{3})^2 - 12×(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{3}\\&=6×\frac{1}{2}×\frac{1}{9} - 12×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}\\&=\frac{1}{3} - 1\\&=-\frac{2}{3}\end{aligned}$
【答案】
化简为 $6ab^2 - 12a^2b$. 当 $a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{3}$ 时,原式 = $-\frac{2}{3}$.
【知识点】
1. 去括号法则 2. 合并同类项 3. 整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的常规题型，核心考察去括号时的符号处理、系数分配以及同类项的合并运算，先化简后代入求值的方式能有效降低计算复杂度，解题时需注意去括号时不要漏乘括号内的项，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类基础题，解题思路分为三步：第一步先去括号，注意括号前是负因数时，去括号后括号内每一项都要变号，且括号外的系数要乘遍括号内所有项；第二步合并同类项，将所含字母相同、相同字母指数也相同的项进行合并，得到最简整式；第三步将已知的a、b的值代入最简整式计算，相比直接代入原式计算更简便，能减少计算错误。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}(ab^2 + 3a^2b) - 5(3a^2b - ab^2)&=ab^2 + 3a^2b - 15a^2b + 5ab^2\end{aligned}$
再合并同类项：
$\begin{aligned}&=(ab^2 + 5ab^2)+(3a^2b - 15a^2b)\\&=6ab^2 - 12a^2b\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=6×\frac{1}{2}×(\frac{1}{3})^2 - 12×(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{3}\\&=6×\frac{1}{2}×\frac{1}{9} - 12×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}\\&=\frac{1}{3} - 1\\&=-\frac{2}{3}\end{aligned}$
【答案】
化简为 $6ab^2 - 12a^2b$. 当 $a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{3}$ 时,原式 = $-\frac{2}{3}$.
【知识点】
1. 去括号法则 2. 合并同类项 3. 整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的常规题型，核心考察去括号时的符号处理、系数分配以及同类项的合并运算，先化简后代入求值的方式能有效降低计算复杂度，解题时需注意去括号时不要漏乘括号内的项，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
10. 一列和谐号动车组火车行驶在京广铁路线上,动车从北京出发时车上有$(5a - 2b)$个人,到石家庄站下去了一半人,但又上车若干人,这时车上有$(10a - 3b)$人.
(1)中途上车多少人?
(2)当$a = 50,b = 40$时,中途上车多少人?
(1)中途上车多少人?
(2)当$a = 50,b = 40$时,中途上车多少人?
答案
10.(1)$\frac{15}{2}a - 2b$ (2)295 人
解析
【分析】
解决第(1)问首先要明确数量关系：中途上车的人数 = 到达石家庄站后的总人数 - 下车一半后剩余的人数。先求出下车一半后剩下的人数，再代入数量关系列出整式，通过去括号、合并同类项化简即可得到结果。第(2)问属于代数式求值问题，直接将a、b的取值代入第(1)问得到的式子，准确计算即可得到答案。
【解析】
(1) 先计算动车到石家庄站下去一半人后剩余的人数：
$\frac{1}{2}(5a - 2b)$
根据中途上车人数的数量关系列式：
$\begin{aligned}&(10a - 3b) - \frac{1}{2}(5a - 2b)\\=&10a - 3b - \frac{5}{2}a + b\\=&(\frac{20}{2}a - \frac{5}{2}a) + (-3b + b)\\=&\frac{15}{2}a - 2b\end{aligned}$
(2) 把$a=50$，$b=40$代入$\frac{15}{2}a - 2b$计算：
$\begin{aligned}&\frac{15}{2}×50 - 2×40\\=&375 - 80\\=&295（人）\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{15}{2}a - 2b$；(2) 295人
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，去括号法则
【点评】
本题考查整式加减在实际问题中的应用，解题关键是理清人数变化的逻辑关系，运算时要注意去括号的符号规则，代入求值时要保证计算准确。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问首先要明确数量关系：中途上车的人数 = 到达石家庄站后的总人数 - 下车一半后剩余的人数。先求出下车一半后剩下的人数，再代入数量关系列出整式，通过去括号、合并同类项化简即可得到结果。第(2)问属于代数式求值问题，直接将a、b的取值代入第(1)问得到的式子，准确计算即可得到答案。
【解析】
(1) 先计算动车到石家庄站下去一半人后剩余的人数：
$\frac{1}{2}(5a - 2b)$
根据中途上车人数的数量关系列式：
$\begin{aligned}&(10a - 3b) - \frac{1}{2}(5a - 2b)\\=&10a - 3b - \frac{5}{2}a + b\\=&(\frac{20}{2}a - \frac{5}{2}a) + (-3b + b)\\=&\frac{15}{2}a - 2b\end{aligned}$
(2) 把$a=50$，$b=40$代入$\frac{15}{2}a - 2b$计算：
$\begin{aligned}&\frac{15}{2}×50 - 2×40\\=&375 - 80\\=&295（人）\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{15}{2}a - 2b$；(2) 295人
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，去括号法则
【点评】
本题考查整式加减在实际问题中的应用，解题关键是理清人数变化的逻辑关系，运算时要注意去括号的符号规则，代入求值时要保证计算准确。
【难度系数】
0.8
11.问题背景 已知$M=(m-3)x+1$，若$M$的值与$x$的取值无关，则$m-3=0,m=3$.所以当$m=3$时,$M$的值与$x$的取值无关.
类比探究 已知$M=x-ax,N=4x-ax+6a$.
(1)$5M - 3N$可以用含$a,x$的式子表示为
(2)若$5M - 3N$的值与$a$的取值无关,求$x$的值.
类比探究 已知$M=x-ax,N=4x-ax+6a$.
(1)$5M - 3N$可以用含$a,x$的式子表示为
-2ax -7x -18a
；(2)若$5M - 3N$的值与$a$的取值无关,求$x$的值.
答案
11.(1)$-2ax - 7x - 18a$ (2)$-9$
解析
【分析】
(1) 求解5M-3N的表达式时，首先将M、N的代数式代入5M-3N中，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可得到结果；(2) 若5M-3N的值与a的取值无关，说明所有含a的项的系数之和为0，因此先将5M-3N的结果中含a的项合并，令a的系数等于0，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 把$M=x-ax$，$N=4x-ax+6a$代入$5M-3N$，计算如下：
$\begin{aligned}5M-3N&=5(x-ax)-3(4x-ax+6a)\\&=5x-5ax-12x+3ax-18a\\&=-2ax-7x-18a\end{aligned}$
(2) 对$5M-3N=-2ax-7x-18a$合并含a的项，可得：
$5M-3N=(-2x-18)a -7x$
因为$5M-3N$的值与a的取值无关，所以a的系数为0，即：
$-2x-18=0$
解得：$x=-9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2ax - 7x - 18a}$；(2) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式与字母取值无关的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减的典型应用问题，解题核心是掌握“代数式与某字母取值无关时，该字母合并后的系数为0”这一规律，运算过程中要注意去括号时的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解5M-3N的表达式时，首先将M、N的代数式代入5M-3N中，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可得到结果；(2) 若5M-3N的值与a的取值无关，说明所有含a的项的系数之和为0，因此先将5M-3N的结果中含a的项合并，令a的系数等于0，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 把$M=x-ax$，$N=4x-ax+6a$代入$5M-3N$，计算如下：
$\begin{aligned}5M-3N&=5(x-ax)-3(4x-ax+6a)\\&=5x-5ax-12x+3ax-18a\\&=-2ax-7x-18a\end{aligned}$
(2) 对$5M-3N=-2ax-7x-18a$合并含a的项，可得：
$5M-3N=(-2x-18)a -7x$
因为$5M-3N$的值与a的取值无关，所以a的系数为0，即：
$-2x-18=0$
解得：$x=-9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2ax - 7x - 18a}$；(2) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式与字母取值无关的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减的典型应用问题，解题核心是掌握“代数式与某字母取值无关时，该字母合并后的系数为0”这一规律，运算过程中要注意去括号时的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
12. 有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示.
（1）化简：$|a - 1| + |1 - b| - |2 - c| + |a + 1|$.
（2）已知 $x = |a - b| + |c + b| - |a - c| + 2|b - 1|$，求 $2(x^2 - 3x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{3}(3x - 6x^2 - 2)$ 的值.
（1）化简：$|a - 1| + |1 - b| - |2 - c| + |a + 1|$.
（2）已知 $x = |a - b| + |c + b| - |a - c| + 2|b - 1|$，求 $2(x^2 - 3x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{3}(3x - 6x^2 - 2)$ 的值.
答案
12.(1)$-2a - b + c - 1$ (2)$x = 2$,原式 = $\frac{11}{3}$.
解析
【分析】
首先根据数轴确定a、b、c的取值范围：-2 ＜ a ＜ -1，0 ＜ b ＜ 1，1 ＜ c ＜ 2。
解（1）时，先判断每个绝对值中式子的正负性，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
解（2）时，先用和（1）相同的方法化简求出x的值，再将所求的整式先去括号、合并同类项化简，最后代入x的值计算即可得到结果。
【解析】
由数轴可得：$\boldsymbol{-2 ＜ a ＜ -1}$，$\boldsymbol{0 ＜ b ＜ 1}$，$\boldsymbol{1 ＜ c ＜ 2}$。
（1）判断绝对值内式子的符号：$a-1＜0$，$1-b＞0$，$2-c＞0$，$a+1＜0$，根据绝对值的性质去绝对值计算：
$\begin{aligned}|a - 1| + |1 - b| - |2 - c| + |a + 1|&=(1-a)+(1-b)-(2-c)+(-a-1)\\&=1 - a + 1 - b - 2 + c - a -1\\&=-2a - b + c -1\end{aligned}$
（2）先求x的值：
判断绝对值内式子的符号：$a-b＜0$，$c+b＞0$，$a-c＜0$，$b-1＜0$，去绝对值代入x化简：
$\begin{aligned}x &= |a - b| + |c + b| - |a - c| + 2|b - 1|\\&=(b - a)+(c + b)-(c - a)+2(1 - b)\\&=b - a + c + b - c + a + 2 - 2b\\&=2\end{aligned}$
再化简所求整式：
$\begin{aligned}&\phantom{=}2(x^2 - 3x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{3}(3x - 6x^2 - 2)\\&=2x^2 - 6x + 1 - x + 2x^2 + \frac{2}{3}\\&=4x^2 -7x + \frac{5}{3}\end{aligned}$
将$x=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×2^2 -7×2 + \frac{5}{3}\\&=16 -14 + \frac{5}{3}\\&=\frac{11}{3}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-2a - b + c - 1}$；（2）$\boldsymbol{x=2}$，原式的值为$\boldsymbol{\frac{11}{3}}$
【知识点】
绝对值的性质，整式的加减，数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查绝对值化简与整式加减的综合应用，解题的核心是先通过数轴判断各数的取值范围，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴确定a、b、c的取值范围：-2 ＜ a ＜ -1，0 ＜ b ＜ 1，1 ＜ c ＜ 2。
解（1）时，先判断每个绝对值中式子的正负性，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
解（2）时，先用和（1）相同的方法化简求出x的值，再将所求的整式先去括号、合并同类项化简，最后代入x的值计算即可得到结果。
【解析】
由数轴可得：$\boldsymbol{-2 ＜ a ＜ -1}$，$\boldsymbol{0 ＜ b ＜ 1}$，$\boldsymbol{1 ＜ c ＜ 2}$。
（1）判断绝对值内式子的符号：$a-1＜0$，$1-b＞0$，$2-c＞0$，$a+1＜0$，根据绝对值的性质去绝对值计算：
$\begin{aligned}|a - 1| + |1 - b| - |2 - c| + |a + 1|&=(1-a)+(1-b)-(2-c)+(-a-1)\\&=1 - a + 1 - b - 2 + c - a -1\\&=-2a - b + c -1\end{aligned}$
（2）先求x的值：
判断绝对值内式子的符号：$a-b＜0$，$c+b＞0$，$a-c＜0$，$b-1＜0$，去绝对值代入x化简：
$\begin{aligned}x &= |a - b| + |c + b| - |a - c| + 2|b - 1|\\&=(b - a)+(c + b)-(c - a)+2(1 - b)\\&=b - a + c + b - c + a + 2 - 2b\\&=2\end{aligned}$
再化简所求整式：
$\begin{aligned}&\phantom{=}2(x^2 - 3x + \frac{1}{2}) - \frac{1}{3}(3x - 6x^2 - 2)\\&=2x^2 - 6x + 1 - x + 2x^2 + \frac{2}{3}\\&=4x^2 -7x + \frac{5}{3}\end{aligned}$
将$x=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×2^2 -7×2 + \frac{5}{3}\\&=16 -14 + \frac{5}{3}\\&=\frac{11}{3}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-2a - b + c - 1}$；（2）$\boldsymbol{x=2}$，原式的值为$\boldsymbol{\frac{11}{3}}$
【知识点】
绝对值的性质，整式的加减，数轴的应用
【点评】
本题结合数轴考查绝对值化简与整式加减的综合应用，解题的核心是先通过数轴判断各数的取值范围，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
