23. 已知$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，$OD$平分$∠ BOC$.
(1) 如图①，若$∠ AOB = 70°$，则$∠ BOC =$ $°$，$∠ AOD =$ $°$；

(2) 如图②，若$∠ AOB = 150°$，求$∠ AOD$的度数；

(3) 如图③，若$∠ AOB = m°(90 ＜ m ＜ 180)$，$OE$平分$∠ AOB$，求出$∠ DOE$的度数.

23. (1)110 125 解析 因为$∠ AOB+∠ BOC = 180°$，$∠ AOB = 70°$，所以$∠ BOC=180°-∠ AOB=180°-70°=110°$.
因为 $OD$ 平分 $∠ BOC$，所以 $∠ BOD =\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}×110°=55°$，所以 $∠ AOD =∠ AOB+∠ BOD=70°+55°=125°$.
解 (2) 因为 $∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，$∠ AOB = 150°$，所以 $∠ BOC = 180°-∠ AOB=180°-150°=30°$，因为 $OD$ 平分$∠ BOC$，所以 $∠ BOD = \dfrac{1}{2}∠ BOC = \dfrac{1}{2}×30° = 15°$，所以 $∠ AOD = ∠ AOB +∠ BOD=150°+15°=165°$.
(3) 因为 $∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，$∠ AOB=m°(90＜m＜180)$，所以$∠ BOC=180°-∠ AOB=180°-m°$，因为 $OD$ 平分$∠ BOC$，$OE$ 平分$∠ AOB$，所以 $∠ BOD =\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(180°-m°)=90°-\dfrac{1}{2}m°$，$∠ BOE=\dfrac{1}{2}∠ AOB=\dfrac{1}{2}m°$，所以 $∠ DOE=∠ BOD+∠ BOE=90°-\dfrac{1}{2}m°+\dfrac{1}{2}m°=90°$.

【分析】
本题主要利用补角性质、角平分线定义和角的和差关系求解，解题思路如下：
1. 小问（1）先根据∠AOB与∠BOC的和为180°，作差求出∠BOC的度数；再利用角平分线定义算出∠BOD的度数，最后用∠AOB加∠BOD得到∠AOD的度数。
2. 小问（2）和（1）的解题逻辑完全一致，仅替换∠AOB的数值计算即可。
3. 小问（3）先分别用含m的式子表示出∠BOC，再根据角平分线定义分别算出∠BOD和∠BOE的度数，最后将两个角相加、化简即可得到∠DOE的度数。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，$∠ AOB=70°$，
所以$∠ BOC = 180° - ∠ AOB = 180° - 70° = 110°$，
因为$OD$平分$∠ BOC$，所以$∠ BOD = \dfrac{1}{2}∠ BOC = \dfrac{1}{2}×110° = 55°$，
则$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD = 70° + 55° = 125°$。
(2) 因为$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，$∠ AOB=150°$，
所以$∠ BOC = 180° - 150° = 30°$，
因为$OD$平分$∠ BOC$，所以$∠ BOD = \dfrac{1}{2}×30° = 15°$，
则$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD = 150° + 15° = 165°$。
(3) 因为$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$，$∠ AOB=m°$，
所以$∠ BOC = 180° - m°$，
因为$OD$平分$∠ BOC$，$OE$平分$∠ AOB$，
所以$∠ BOD = \dfrac{1}{2}∠ BOC = \dfrac{1}{2}(180° - m°) = 90° - \dfrac{1}{2}m°$，
$∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ AOB = \dfrac{1}{2}m°$，
则$∠ DOE = ∠ BOD + ∠ BOE = 90° - \dfrac{1}{2}m° + \dfrac{1}{2}m° = 90°$。
【答案】
(1) $\boxed{110}$，$\boxed{125}$；(2) $\boxed{165°}$；(3) $\boxed{90°}$
【知识点】
补角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，三个小问由易到难，从具体数值计算过渡到含字母的代数式运算，重点考查对基础概念的掌握和运算能力，熟练掌握角平分线性质和角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

24. 如图，已知线段AC，点D在线段AC的延长线上，且$CD=AB$.
(1)比较线段AC与BD的长度，并说明理由；
(2)若$AB:BC=2:5$，$AC=14$，求AD的长；
(3)若$AC=a$，点P为线段AC上一动点，要使点P分别到点A，B，C的距离和最小，点P应在何处？此时最小值为多少？请说明理由.

24. 解 (1)$AC=BD$，理由如下：
因为 $AB=CD$，所以 $AB+BC=CD+BC$，所以 $AC=BD$.
(2) 因为 $AB:BC=2:5$，所以设 $AB=2k$，则 $BC=5k$，所以 $AC=AB+BC=2k+5k=7k$，又 $AC=14$，所以 $7k=14$，解得 $k=2$，所以 $AB=2k=4$，$BC=5k=10$. 因为 $AB=CD$，所以 $CD=4$，所以 $AD=AC+CD=14+4=18$.
(3)当 $P$ 在点 $B$ 处时，到点 $A$，$B$，$C$ 的距离和最小，最小值为 $a$. 理由如下：
因为点 $P$ 为线段 $AC$ 上一动点，所以点 $P$ 到 $A$，$B$，$C$ 的距离分别为线段 $PA$，$PB$，$PC$ 的长，如图所示.

所以 $PA+PC=AC$，因为 $AC=a$ 为定值，所以要使距离和最短，则只需 $PB$ 最短即可，所以当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，$PB=0$ 最小，此时 $PA+PB+PC=AC=a$ 最小，即当 $P$ 在点 $B$ 处时，到点 $A$，$B$，$C$ 的距离和最小，最小值为 $a$.

【分析】
(1) 观察线段组成可知，AC由AB和BC拼接而成，BD由BC和CD拼接而成，已知AB=CD，根据等式的性质，给相等的线段同时加上公共部分BC，所得的和仍然相等，即可判断AC与BD的大小关系；
(2) 已知AB和BC的比例关系，可设每份长度为k，用含k的式子分别表示AB、BC，结合AC的总长度求出k的值，再根据CD=AB得到CD的长度，最后用AC加CD即可求出AD的长；
(3) 点P在线段AC上，因此PA+PC的和始终等于AC的长度，是固定值，要使P到A、B、C三点的距离和最小，只需让PB的长度最小即可，当点P与点B重合时，PB=0是最小值，此时距离和就等于AC的长度。
【解析】
(1) $AC=BD$，理由如下：
因为 $AB=CD$，所以 $AB+BC=CD+BC$，所以 $AC=BD$。
(2) 因为 $AB:BC=2:5$，所以设 $AB=2k$，则 $BC=5k$，所以 $AC=AB+BC=2k+5k=7k$，又 $AC=14$，所以 $7k=14$，解得 $k=2$，所以 $AB=2k=4$，$BC=5k=10$。因为 $AB=CD$，所以 $CD=4$，所以 $AD=AC+CD=14+4=18$。
(3)当 $P$ 在点 $B$ 处时，到点 $A$，$B$，$C$ 的距离和最小，最小值为 $a$。理由如下：
因为点 $P$ 为线段 $AC$ 上一动点，所以点 $P$ 到 $A$，$B$，$C$ 的距离分别为线段 $PA$，$PB$，$PC$ 的长，如图所示。

所以 $PA+PC=AC$，因为 $AC=a$ 为定值，所以要使距离和最短，则只需 $PB$ 最短即可，所以当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，$PB=0$ 最小，此时 $PA+PB+PC=AC=a$ 最小，即当 $P$ 在点 $B$ 处时，到点 $A$，$B$，$C$ 的距离和最小，最小值为 $a$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC=BD}$；
(2) $\boldsymbol{AD=18}$；
(3) 点P在点B处时距离和最小，最小值为$\boldsymbol{a}$。
【知识点】
线段的和差计算、比例线段应用、最短路径分析
【点评】
本题围绕线段的基本性质展开，由浅入深考察了线段等量关系推导、比例计算和动态最值问题，解题核心是抓住线段和差的不变量，是线段章节的典型综合题。
【难度系数】
0.7