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20. 在上午6时至7时之间，有两个时刻时针与分针的夹角是$120°$，求这两个时刻的时间间隔.
答案
20. 解 6 时 30 分之前，设 6 时 $x$ 分时时针与分针的夹角是 $120°$，得 $0.5x +(180-6x)=120$. 解得 $x=\dfrac{120}{11}$，即 6 时$\dfrac{120}{11}$分时时针与分针的夹角是 $120°$.
6 时 30 分之后，设 6 时 $y$ 分时时针与分针的夹角为 $120°$，得$(6y-180)-0.5y=120$. 解得 $y=\dfrac{600}{11}$. 即 6 时$\dfrac{600}{11}$分时时针与分针的夹角是 $120°$.
因此两个时刻的时间间隔为$\dfrac{600}{11}-\dfrac{120}{11}=\dfrac{480}{11}$(分).
6 时 30 分之后，设 6 时 $y$ 分时时针与分针的夹角为 $120°$，得$(6y-180)-0.5y=120$. 解得 $y=\dfrac{600}{11}$. 即 6 时$\dfrac{600}{11}$分时时针与分针的夹角是 $120°$.
因此两个时刻的时间间隔为$\dfrac{600}{11}-\dfrac{120}{11}=\dfrac{480}{11}$(分).
解析
【分析】
解决本题首先要明确钟面上指针的转动速度：分针每分钟转$360°÷60=6°$，时针每分钟转$360°÷(12×60)=0.5°$，6时整时针和分针的初始夹角为$180°$。接下来分两种情况讨论：第一种是6时30分前，分针还未超过时针，两针夹角为$120°$；第二种是6时30分后，分针超过时针后两针夹角再次为$120°$。分别列一元一次方程求出两个时刻，再作差即可得到时间间隔。
【解析】
1. 求第一个夹角为$120°$的时刻：
设6时$x$分（$x＜30$）时两针夹角为$120°$，此时时针总转过角度为$180+0.5x$度，分针转过角度为$6x$度，根据夹角关系列方程：
$180+0.5x-6x=120$
解得$x=\dfrac{120}{11}$，即第一个时刻为6时$\dfrac{120}{11}$分。
2. 求第二个夹角为$120°$的时刻：
设6时$y$分（$y＞30$）时两针夹角为$120°$，此时分针转过角度超过时针总角度$120°$，列方程：
$6y-(180+0.5y)=120$
解得$y=\dfrac{600}{11}$，即第二个时刻为6时$\dfrac{600}{11}$分。
3. 计算时间间隔：
两个时刻的间隔为$\dfrac{600}{11}-\dfrac{120}{11}=\dfrac{480}{11}$（分）。
【答案】
$\dfrac{480}{11}$分
【知识点】
钟面角计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题是钟面夹角问题的典型考法，解题核心是掌握时针、分针的转动速度，结合夹角的两种不同形成情况分类讨论，建立方程求解即可。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确钟面上指针的转动速度：分针每分钟转$360°÷60=6°$，时针每分钟转$360°÷(12×60)=0.5°$，6时整时针和分针的初始夹角为$180°$。接下来分两种情况讨论：第一种是6时30分前，分针还未超过时针，两针夹角为$120°$；第二种是6时30分后，分针超过时针后两针夹角再次为$120°$。分别列一元一次方程求出两个时刻，再作差即可得到时间间隔。
【解析】
1. 求第一个夹角为$120°$的时刻：
设6时$x$分（$x＜30$）时两针夹角为$120°$，此时时针总转过角度为$180+0.5x$度，分针转过角度为$6x$度，根据夹角关系列方程：
$180+0.5x-6x=120$
解得$x=\dfrac{120}{11}$，即第一个时刻为6时$\dfrac{120}{11}$分。
2. 求第二个夹角为$120°$的时刻：
设6时$y$分（$y＞30$）时两针夹角为$120°$，此时分针转过角度超过时针总角度$120°$，列方程：
$6y-(180+0.5y)=120$
解得$y=\dfrac{600}{11}$，即第二个时刻为6时$\dfrac{600}{11}$分。
3. 计算时间间隔：
两个时刻的间隔为$\dfrac{600}{11}-\dfrac{120}{11}=\dfrac{480}{11}$（分）。
【答案】
$\dfrac{480}{11}$分
【知识点】
钟面角计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题是钟面夹角问题的典型考法，解题核心是掌握时针、分针的转动速度，结合夹角的两种不同形成情况分类讨论，建立方程求解即可。
【难度系数】
0.6
21. 根据下列语句画图：
(1)经过A，B两点作直线a；
(2)点P是直线a外一点，过点P作直线b与直线a相交于点C，并且点C在线段AB上；
(3)作射线CD.
(1)经过A，B两点作直线a；
(2)点P是直线a外一点，过点P作直线b与直线a相交于点C，并且点C在线段AB上；
(3)作射线CD.
答案
21. 作图略
解析
【分析】
解题时按照题目的三个要求逐步完成即可：第一步根据“两点确定一条直线”的性质，画出经过A、B的直线a；第二步先确定直线a外的点P，再画过P的直线b，注意调整直线b的位置，保证它和直线a的交点C在线段AB上，不能落在AB的延长线上；第三步明确射线的端点是C，再画出以C为端点经过点D的射线即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 在平面内任意确定两个不同的点，分别标记为A、B，用直尺过A、B两点画两端无限延伸的直线，将该直线标注为a；
2. 在直线a外的空白处标记一点P，将直尺边缘靠在点P上，转动直尺调整位置，直到直尺边缘与直线a的交点落在线段AB（即A、B两点之间的部分）上，沿直尺边缘画过P的直线，标注为b，将两直线的交点标记为C；
3. 以点C为端点，向任意方向画一条只有一端无限延伸的线，在延伸方向上取一点标记为D，即得到射线CD。
作图时注意直线两端要出头，射线仅端点C一侧不出头，交点C必须在A、B两点之间。
【答案】
作图略
【知识点】
直线的作图；相交线作图；射线的作图
【点评】
本题属于基础几何作图题，重点考查对直线、射线基本特征的掌握和规范作图的能力，只要严格按照题干要求的位置条件作图即可正确完成。
【难度系数】
0.9
解题时按照题目的三个要求逐步完成即可：第一步根据“两点确定一条直线”的性质，画出经过A、B的直线a；第二步先确定直线a外的点P，再画过P的直线b，注意调整直线b的位置，保证它和直线a的交点C在线段AB上，不能落在AB的延长线上；第三步明确射线的端点是C，再画出以C为端点经过点D的射线即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 在平面内任意确定两个不同的点，分别标记为A、B，用直尺过A、B两点画两端无限延伸的直线，将该直线标注为a；
2. 在直线a外的空白处标记一点P，将直尺边缘靠在点P上，转动直尺调整位置，直到直尺边缘与直线a的交点落在线段AB（即A、B两点之间的部分）上，沿直尺边缘画过P的直线，标注为b，将两直线的交点标记为C；
3. 以点C为端点，向任意方向画一条只有一端无限延伸的线，在延伸方向上取一点标记为D，即得到射线CD。
作图时注意直线两端要出头，射线仅端点C一侧不出头，交点C必须在A、B两点之间。
【答案】
作图略
【知识点】
直线的作图；相交线作图；射线的作图
【点评】
本题属于基础几何作图题，重点考查对直线、射线基本特征的掌握和规范作图的能力，只要严格按照题干要求的位置条件作图即可正确完成。
【难度系数】
0.9
22. 如图所示，点 A 在点 O 的正南方向，点 B 在点 O 的北偏东$60°$方向，若点 C 与 A，B，D 在同一平面内，且$∠ BOC = 110°$，求$∠ AOC$的度数.
答案
22. 解 根据题意可得$∠ AOB=180°-60°=120°$，
①当$∠ BOC$ 在$∠ AOB$ 的内部时，如图①所示，因为$∠ BOC=110°$，所以$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=120°-110°=10°$；
②当$∠ BOC$ 在$∠ AOB$ 的外部时，如图②所示，因为$∠ BOD=60°$，所以$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=110°-60°=50°$，所以$∠ AOC=180°-50°=130°$.
综上分析可知，$∠ AOC$ 的度数为 $130°$ 或 $10°$.
解析
【分析】
解题时首先结合方位角的定义确定已知角的度数：已知点B在O的北偏东60°方向，A在O的正南方向，先求出∠AOB的度数；由于题目没有明确点C的位置，因此需要分类讨论两种情况：①点C在∠AOB内部（对应图①），②点C在∠AOB外部（对应图②），再结合∠BOC=110°的条件，利用角的和差关系分别计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
解：由题意得，点A在O正南，点D在O正北，因此A、O、D三点共线，∠AOD=180°，
∵点B在O的北偏东60°方向，
∴∠DOB=60°，
∴∠AOB=∠AOD - ∠DOB=180°-60°=120°，
分两种情况讨论：
①当∠BOC在∠AOB的内部时，如图①所示：
∵∠BOC=110°，
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC=120°-110°=10°；
②当∠BOC在∠AOB的外部时，如图②所示：
∵∠BOD=60°，∠BOC=110°，
∴∠COD=∠BOC - ∠BOD=110°-60°=50°，
∴∠AOC=∠AOD - ∠COD=180°-50°=130°。
综上，∠AOC的度数为10°或130°。
【答案】
∠AOC的度数为$10°$或$130°$.
【知识点】
方位角的识别，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查与方位角结合的角度计算问题，解题关键是明确点C的位置存在两种情况，需分类讨论求解，易错点是容易漏考虑位置情况导致漏解。
【难度系数】
0.65
解题时首先结合方位角的定义确定已知角的度数：已知点B在O的北偏东60°方向，A在O的正南方向，先求出∠AOB的度数；由于题目没有明确点C的位置，因此需要分类讨论两种情况：①点C在∠AOB内部（对应图①），②点C在∠AOB外部（对应图②），再结合∠BOC=110°的条件，利用角的和差关系分别计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
解：由题意得，点A在O正南，点D在O正北，因此A、O、D三点共线，∠AOD=180°，
∵点B在O的北偏东60°方向，
∴∠DOB=60°，
∴∠AOB=∠AOD - ∠DOB=180°-60°=120°，
分两种情况讨论：
①当∠BOC在∠AOB的内部时，如图①所示：
∵∠BOC=110°，
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC=120°-110°=10°；
②当∠BOC在∠AOB的外部时，如图②所示：
∵∠BOD=60°，∠BOC=110°，
∴∠COD=∠BOC - ∠BOD=110°-60°=50°，
∴∠AOC=∠AOD - ∠COD=180°-50°=130°。
综上，∠AOC的度数为10°或130°。
【答案】
∠AOC的度数为$10°$或$130°$.
【知识点】
方位角的识别，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查与方位角结合的角度计算问题，解题关键是明确点C的位置存在两种情况，需分类讨论求解，易错点是容易漏考虑位置情况导致漏解。
【难度系数】
0.65
