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1. 若关于x的方程2x−4=3m和x+2=m有相同的根，则m的值是(
A.10
B.−8
C.−10
D.8
B
)。A.10
B.−8
C.−10
D.8
答案
1. B
解析
【分析】
已知两个方程有相同的根，即两个方程中x的取值完全相等。解题时我们可以先分别将两个方程中的x用含m的代数式表示，再根据x相等建立关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
第一步：分别用含m的式子表示两个方程的x
对于方程$2x−4=3m$，移项得$2x=3m+4$，系数化为1得：$x=\frac{3m+4}{2}$
对于方程$x+2=m$，移项得：$x=m-2$
第二步：根据同根的性质列方程
因为两个方程根相同，所以两个x的表达式相等，即：
$\frac{3m+4}{2}=m-2$
第三步：解关于m的方程
两边同时乘2去分母得：$3m+4=2(m-2)$
展开右边得：$3m+4=2m-4$
移项合并同类项得：$m=-8$
【答案】
B
【知识点】
同解方程；解一元一次方程
【点评】
本题是同解方程的典型基础题，解题关键是抓住“同根即未知数取值相等”的核心性质，将问题转化为解一元一次方程，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
已知两个方程有相同的根，即两个方程中x的取值完全相等。解题时我们可以先分别将两个方程中的x用含m的代数式表示，再根据x相等建立关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
第一步：分别用含m的式子表示两个方程的x
对于方程$2x−4=3m$，移项得$2x=3m+4$，系数化为1得：$x=\frac{3m+4}{2}$
对于方程$x+2=m$，移项得：$x=m-2$
第二步：根据同根的性质列方程
因为两个方程根相同，所以两个x的表达式相等，即：
$\frac{3m+4}{2}=m-2$
第三步：解关于m的方程
两边同时乘2去分母得：$3m+4=2(m-2)$
展开右边得：$3m+4=2m-4$
移项合并同类项得：$m=-8$
【答案】
B
【知识点】
同解方程；解一元一次方程
【点评】
本题是同解方程的典型基础题，解题关键是抓住“同根即未知数取值相等”的核心性质，将问题转化为解一元一次方程，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
2. 由方程组$\begin{cases}x + m = 4, \\ y - 3 = m\end{cases}$可得出$x$与$y$的关系是( ).
A.$x + y = 1$
B.$x + y = -1$
C.$x + y = 7$
D.$x + y = -7$
A.$x + y = 1$
B.$x + y = -1$
C.$x + y = 7$
D.$x + y = -7$
答案
C
解析
【分析】
要得出x与y的关系，核心是消去方程组中的参数m。我们可以采用代入消元的思路：第二个方程已经直接给出m等于y-3，把这个式子代入第一个方程就可以消掉m，再通过等式变形整理就能得到x和y的关系式。
【解析】
解题采用代入消元法，步骤如下：
1. 由方程$y - 3 = m$，可得$m = y - 3$；
2. 将$m = y - 3$代入方程$x + m = 4$中，得到：
$x + (y - 3) = 4$
3. 整理等式：去括号得$x + y - 3 = 4$，移项合并常数项得$x + y = 4 + 3 = 7$。
【答案】
C
【知识点】
1. 代入消元法
2. 等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考察消元思想的简单应用，解题关键是找准中间参数m，通过代入消去参数后对等式进行简单变形即可得到结果，掌握基本的消元方法和等式变形规则就能快速作答。
【难度系数】
0.9
要得出x与y的关系，核心是消去方程组中的参数m。我们可以采用代入消元的思路：第二个方程已经直接给出m等于y-3，把这个式子代入第一个方程就可以消掉m，再通过等式变形整理就能得到x和y的关系式。
【解析】
解题采用代入消元法，步骤如下：
1. 由方程$y - 3 = m$，可得$m = y - 3$；
2. 将$m = y - 3$代入方程$x + m = 4$中，得到：
$x + (y - 3) = 4$
3. 整理等式：去括号得$x + y - 3 = 4$，移项合并常数项得$x + y = 4 + 3 = 7$。
【答案】
C
【知识点】
1. 代入消元法
2. 等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考察消元思想的简单应用，解题关键是找准中间参数m，通过代入消去参数后对等式进行简单变形即可得到结果，掌握基本的消元方法和等式变形规则就能快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x + 4y = 2k + 2, \\2x + 3y = k.\end{cases}$ 若$x$与$y$的值之和等于1，则$k$的值为（ ）。
A.1
B.$-1$
C.4
D.$-4$
A.1
B.$-1$
C.4
D.$-4$
答案
B
解析
【分析】
解题时可以先观察方程组中两个方程的系数特点，我们发现用第一个方程减去第二个方程，等号左边化简后刚好能得到x+y的表达式，正好对应题目给出的“x与y的值之和等于1”的条件，不用分别求出x、y的值就能直接建立关于k的一元一次方程，快速求出k的值；也可以先解方程组，用含k的代数式表示x和y，再根据x+y=1列方程求解。
【解析】
记方程组中$3x + 4y = 2k + 2$为①式，$2x + 3y = k$为②式。
用①式减去②式，等号左右两边分别相减：
左边：$3x+4y-(2x+3y)=x+y$
右边：$2k+2 - k = k+2$
因此可得：$x+y = k+2$
根据题意，$x$与$y$的值之和等于1，即$x+y=1$，代入上式得：
$k+2=1$
解这个一元一次方程：$k=1-2=-1$
【答案】
B
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题重点考察二元一次方程组的消元思想，通过观察方程系数的特征直接消元得到目标式x+y，能简化计算过程，熟练掌握消元技巧可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时可以先观察方程组中两个方程的系数特点，我们发现用第一个方程减去第二个方程，等号左边化简后刚好能得到x+y的表达式，正好对应题目给出的“x与y的值之和等于1”的条件，不用分别求出x、y的值就能直接建立关于k的一元一次方程，快速求出k的值；也可以先解方程组，用含k的代数式表示x和y，再根据x+y=1列方程求解。
【解析】
记方程组中$3x + 4y = 2k + 2$为①式，$2x + 3y = k$为②式。
用①式减去②式，等号左右两边分别相减：
左边：$3x+4y-(2x+3y)=x+y$
右边：$2k+2 - k = k+2$
因此可得：$x+y = k+2$
根据题意，$x$与$y$的值之和等于1，即$x+y=1$，代入上式得：
$k+2=1$
解这个一元一次方程：$k=1-2=-1$
【答案】
B
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题重点考察二元一次方程组的消元思想，通过观察方程系数的特征直接消元得到目标式x+y，能简化计算过程，熟练掌握消元技巧可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 方程组$\begin{cases}3x + y = 30, \\ y - 2x = 5\end{cases}$的解为 ______ .
4. 方程组$\begin{cases}3x + y = 30, \\ y - 2x = 5\end{cases}$的解为 ______ .
答案
4. $\begin{cases}x = 5, \\ y = 15\end{cases}$
解析
【分析】
本题是二元一次方程组求解问题，可采用代入消元法解决：第一步先对第二个方程变形，将y用含x的代数式表示；第二步把表示y的式子代入第一个方程，消去y得到关于x的一元一次方程，求解得到x的值；第三步将x的值代回之前的式子求出y的值；最后可以代入原方程组验证解是否正确。
【解析】
先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}3x + y = 30 \ \ \ ①, \\ y - 2x = 5 \ \ \ \ \ \ ②\end{cases}$
由方程②移项可得：$y = 2x + 5$ ③
将③代入①，得：$3x + (2x + 5) = 30$
合并同类项：$5x + 5 = 30$
移项计算：$5x = 25$，解得$x = 5$
把$x = 5$代入③，得：$y = 2×5 + 5 = 15$
将$\begin{cases}x=5\\y=15\end{cases}$代入原方程组验证，两个方程左右两边均相等，是原方程组的解。
【答案】
$\begin{cases}x = 5, \\ y = 15\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解，一元一次方程求解
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，核心考察消元思想的应用，熟练掌握代入消元法的操作步骤即可快速解题，这类基础计算是后续用方程组解决实际应用问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题是二元一次方程组求解问题，可采用代入消元法解决：第一步先对第二个方程变形，将y用含x的代数式表示；第二步把表示y的式子代入第一个方程，消去y得到关于x的一元一次方程，求解得到x的值；第三步将x的值代回之前的式子求出y的值；最后可以代入原方程组验证解是否正确。
【解析】
先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}3x + y = 30 \ \ \ ①, \\ y - 2x = 5 \ \ \ \ \ \ ②\end{cases}$
由方程②移项可得：$y = 2x + 5$ ③
将③代入①，得：$3x + (2x + 5) = 30$
合并同类项：$5x + 5 = 30$
移项计算：$5x = 25$，解得$x = 5$
把$x = 5$代入③，得：$y = 2×5 + 5 = 15$
将$\begin{cases}x=5\\y=15\end{cases}$代入原方程组验证，两个方程左右两边均相等，是原方程组的解。
【答案】
$\begin{cases}x = 5, \\ y = 15\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解，一元一次方程求解
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，核心考察消元思想的应用，熟练掌握代入消元法的操作步骤即可快速解题，这类基础计算是后续用方程组解决实际应用问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
5. 定义一种新运算“※”：规定$x※y=ax+by^2$，其中$a$，$b$为常数。若$-1※1=0$，$2※1=3$，则$2※5=$
27
。答案
5. 27
解析
【分析】
解决这道题分三步思考：第一步，先搞清楚新运算“※”的规则，x※y的计算结果就是a乘x加上b乘y的平方；第二步，把题目给出的两组已知运算结果代入新运算公式，就能得到两个关于a、b的方程，组成二元一次方程组，解出a、b的数值，就能确定新运算的完整计算规则；第三步，把x=2、y=5代入确定好的新运算公式，计算出结果即可。
【解析】
根据新运算规定$x※y=ax+by^2$：
1. 代入$-1※1=0$：将$x=-1$，$y=1$代入公式，可得
$-a + b×1^2 = 0$，整理得：$-a + b = 0$ ①
2. 代入$2※1=3$：将$x=2$，$y=1$代入公式，可得
$2a + b×1^2 = 3$，整理得：$2a + b = 3$ ②
3. 解二元一次方程组：
用②式减去①式消去b，得：$(2a + b) - (-a + b) = 3 - 0$
化简计算得：$3a = 3$，解得$a=1$
把$a=1$代入①式，得：$-1 + b = 0$，解得$b=1$
因此新运算的完整公式为$x※y = x + y^2$
4. 计算$2※5$：将$x=2$，$y=5$代入公式，得
$2※5 = 2 + 5^2 = 2 + 25 = 27$
【答案】
27
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是新定义类基础题型，重点考察对新规则的转化能力，只要能把陌生的新运算转化为熟悉的代数方程，结合二元一次方程组的解法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题分三步思考：第一步，先搞清楚新运算“※”的规则，x※y的计算结果就是a乘x加上b乘y的平方；第二步，把题目给出的两组已知运算结果代入新运算公式，就能得到两个关于a、b的方程，组成二元一次方程组，解出a、b的数值，就能确定新运算的完整计算规则；第三步，把x=2、y=5代入确定好的新运算公式，计算出结果即可。
【解析】
根据新运算规定$x※y=ax+by^2$：
1. 代入$-1※1=0$：将$x=-1$，$y=1$代入公式，可得
$-a + b×1^2 = 0$，整理得：$-a + b = 0$ ①
2. 代入$2※1=3$：将$x=2$，$y=1$代入公式，可得
$2a + b×1^2 = 3$，整理得：$2a + b = 3$ ②
3. 解二元一次方程组：
用②式减去①式消去b，得：$(2a + b) - (-a + b) = 3 - 0$
化简计算得：$3a = 3$，解得$a=1$
把$a=1$代入①式，得：$-1 + b = 0$，解得$b=1$
因此新运算的完整公式为$x※y = x + y^2$
4. 计算$2※5$：将$x=2$，$y=5$代入公式，得
$2※5 = 2 + 5^2 = 2 + 25 = 27$
【答案】
27
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是新定义类基础题型，重点考察对新规则的转化能力，只要能把陌生的新运算转化为熟悉的代数方程，结合二元一次方程组的解法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
6. 已知方程组 $\begin{cases}3x + 4y = 12.5, \\ 2x + 5y = 13\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 1.5, \\ y = 2,\end{cases}$ 求方程组 $\begin{cases}3(m - 5) + 4(n + 3) = 12.5, \\ 2(m - 5) + 5(n + 3) = 13\end{cases}$ 中 $m, n$ 的值，$m =$ ______ ，$n =$ ______ 。
答案
6. m=6.5，n=-1
解析
【分析】
观察两个方程组的结构可以发现，它们的未知数系数、等号右侧的常数完全一致，仅第一个方程组的未知数为x、y，第二个方程组的对应位置是(m-5)和(n+3)。我们可以运用整体思想，把m-5看作x，n+3看作y，直接利用已知的第一个方程组的解，列出关于m、n的一元一次方程求解即可，无需重新解二元一次方程组。
【解析】
设 $ m-5 = x $，$ n+3 = y $，
则待求解的方程组可转化为：
$\begin{cases}3x + 4y = 12.5 \\ 2x + 5y = 13\end{cases}$
根据题意，该方程组的解为 $\begin{cases}x = 1.5 \\ y = 2\end{cases}$，因此可得：
1. 求m的值：
$m - 5 = 1.5$
$m = 1.5 + 5 = 6.5$
2. 求n的值：
$n + 3 = 2$
$n = 2 - 3 = -1$
【答案】
6.5，-1
【知识点】
二元一次方程组的解，换元法，整体代入思想
【点评】
本题重点考查对式子结构的观察能力和整体换元的思想，通过对应替换可以大幅简化计算，避免重复解二元一次方程组的繁琐，解题的核心是准确找到两个方程组中对应部分的等量关系。
【难度系数】
0.7
观察两个方程组的结构可以发现，它们的未知数系数、等号右侧的常数完全一致，仅第一个方程组的未知数为x、y，第二个方程组的对应位置是(m-5)和(n+3)。我们可以运用整体思想，把m-5看作x，n+3看作y，直接利用已知的第一个方程组的解，列出关于m、n的一元一次方程求解即可，无需重新解二元一次方程组。
【解析】
设 $ m-5 = x $，$ n+3 = y $，
则待求解的方程组可转化为：
$\begin{cases}3x + 4y = 12.5 \\ 2x + 5y = 13\end{cases}$
根据题意，该方程组的解为 $\begin{cases}x = 1.5 \\ y = 2\end{cases}$，因此可得：
1. 求m的值：
$m - 5 = 1.5$
$m = 1.5 + 5 = 6.5$
2. 求n的值：
$n + 3 = 2$
$n = 2 - 3 = -1$
【答案】
6.5，-1
【知识点】
二元一次方程组的解，换元法，整体代入思想
【点评】
本题重点考查对式子结构的观察能力和整体换元的思想，通过对应替换可以大幅简化计算，避免重复解二元一次方程组的繁琐，解题的核心是准确找到两个方程组中对应部分的等量关系。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}3(2x -5)-4(3y +4)=5, \\x +1=5(y +2);\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=2, \\2x +3y=13;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x + y=420, \\30\%x +40\%y=160×80\%;\end{cases}$
(4)
7. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}3(2x -5)-4(3y +4)=5, \\x +1=5(y +2);\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=2, \\2x +3y=13;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x + y=420, \\30\%x +40\%y=160×80\%;\end{cases}$
(4)
答案
7. (1) $\begin{cases}x = 4, \\ y = -1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x = 400, \\ y = 20\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x = -7, \\ y = 6\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x = 400, \\ y = 20\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x = -7, \\ y = 6\end{cases}$
解析
【分析】
这是一道含有分母和括号的二元一次方程组求解题目，解题思路如下：首先对两个方程分别进行化简，通过去分母、去括号、移项、合并同类项，将原方程组转化为不含分母、括号的标准二元一次方程组形式，再选择代入消元法（或加减消元法）求解未知数，最后验证解是否符合原方程即可。
【解析】
将原方程组标记为：
$\begin{cases}\dfrac{y}{3}-\dfrac{x+1}{6}=3 \quad \mathrm{①}\\2(x-\dfrac{y}{2})=3(x+\dfrac{y}{18}) \quad \mathrm{②}\end{cases}$
1. 化简方程①：
等式两边同时乘6消去分母，得：
$2y - (x+1) = 18$
去括号、移项、合并同类项后整理得：
$x = 2y -19 \quad \mathrm{③}$
2. 化简方程②：
先去括号：
$2x - y = 3x + \dfrac{y}{6}$
移项、合并同类项：
$-x -\dfrac{7y}{6}=0$
等式两边同时乘6消去分母，得：
$-6x -7y = 0 \quad \mathrm{④}$
3. 代入消元求解：
将③代入④，得：
$-6(2y -19) -7y = 0$
去括号计算：
$-12y + 114 -7y = 0$
合并同类项得：
$-19y = -114$
解得：$y=6$
把$y=6$代入③，得：
$x=2×6 -19 = -7$
4. 检验：将$\begin{cases}x=-7\\y=6\end{cases}$代入原方程组，两个方程左右两边均相等，解成立。
【答案】
$\begin{cases}x = -7, \\ y = 6\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、等式的性质、代入消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的常规计算题型，解题核心是先将形式复杂的原方程组化简为标准形式，再用常规消元法求解，计算时要注意去分母、去括号时的符号变化，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道含有分母和括号的二元一次方程组求解题目，解题思路如下：首先对两个方程分别进行化简，通过去分母、去括号、移项、合并同类项，将原方程组转化为不含分母、括号的标准二元一次方程组形式，再选择代入消元法（或加减消元法）求解未知数，最后验证解是否符合原方程即可。
【解析】
将原方程组标记为：
$\begin{cases}\dfrac{y}{3}-\dfrac{x+1}{6}=3 \quad \mathrm{①}\\2(x-\dfrac{y}{2})=3(x+\dfrac{y}{18}) \quad \mathrm{②}\end{cases}$
1. 化简方程①：
等式两边同时乘6消去分母，得：
$2y - (x+1) = 18$
去括号、移项、合并同类项后整理得：
$x = 2y -19 \quad \mathrm{③}$
2. 化简方程②：
先去括号：
$2x - y = 3x + \dfrac{y}{6}$
移项、合并同类项：
$-x -\dfrac{7y}{6}=0$
等式两边同时乘6消去分母，得：
$-6x -7y = 0 \quad \mathrm{④}$
3. 代入消元求解：
将③代入④，得：
$-6(2y -19) -7y = 0$
去括号计算：
$-12y + 114 -7y = 0$
合并同类项得：
$-19y = -114$
解得：$y=6$
把$y=6$代入③，得：
$x=2×6 -19 = -7$
4. 检验：将$\begin{cases}x=-7\\y=6\end{cases}$代入原方程组，两个方程左右两边均相等，解成立。
【答案】
$\begin{cases}x = -7, \\ y = 6\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、等式的性质、代入消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的常规计算题型，解题核心是先将形式复杂的原方程组化简为标准形式，再用常规消元法求解，计算时要注意去分母、去括号时的符号变化，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
