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8. 关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 7, \\ax + y = b\end{cases}$与$\begin{cases}x + by = a, \\3x + y = 8\end{cases}$的解相同，求$a$，$b$的值.
答案
8. a=1, b=2
解析
【分析】
首先明确“两个方程组的解相同”的含义：这个公共解同时满足四个方程，所以我们可以先把不含参数a、b的两个方程联立，求出x和y的值，再将x、y代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组就能求出a、b的值。
【解析】
∵ 两个方程组的解相同，
∴ 该解同时满足方程$2x - y = 7$和$3x + y = 8$，联立这两个方程得：
$\begin{cases}2x - y = 7 \quad ①\\3x + y = 8 \quad ②\end{cases}$
①+②得：$5x = 15$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入①得：$2×3 - y = 7$，解得$y = -1$。
将$x = 3$，$y = -1$代入剩余的两个含a、b的方程，得：
$\begin{cases}3a - 1 = b \quad ③\\3 - b = a \quad ④\end{cases}$
把③代入④得：$3 - (3a - 1) = a$，
整理得：$4 - 3a = a$，即$4a = 4$，解得$a = 1$。
把$a = 1$代入③得：$b = 3×1 - 1 = 2$。
【答案】
$a=1$，$b=2$
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，同解方程组的性质
【点评】
本题是方程组同解问题的典型考法，解题核心是利用同解的性质先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含参数的方程构建新的方程组求解参数，掌握该思路就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
首先明确“两个方程组的解相同”的含义：这个公共解同时满足四个方程，所以我们可以先把不含参数a、b的两个方程联立，求出x和y的值，再将x、y代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组就能求出a、b的值。
【解析】
∵ 两个方程组的解相同，
∴ 该解同时满足方程$2x - y = 7$和$3x + y = 8$，联立这两个方程得：
$\begin{cases}2x - y = 7 \quad ①\\3x + y = 8 \quad ②\end{cases}$
①+②得：$5x = 15$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入①得：$2×3 - y = 7$，解得$y = -1$。
将$x = 3$，$y = -1$代入剩余的两个含a、b的方程，得：
$\begin{cases}3a - 1 = b \quad ③\\3 - b = a \quad ④\end{cases}$
把③代入④得：$3 - (3a - 1) = a$，
整理得：$4 - 3a = a$，即$4a = 4$，解得$a = 1$。
把$a = 1$代入③得：$b = 3×1 - 1 = 2$。
【答案】
$a=1$，$b=2$
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，同解方程组的性质
【点评】
本题是方程组同解问题的典型考法，解题核心是利用同解的性质先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含参数的方程构建新的方程组求解参数，掌握该思路就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
9. 阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3, & ① \\4x + 11y = 5 & ②\end{cases}$时，采用了如下解法：
解：将方程②变形为$4x + 10y + y = 5$，即$2(2x + 5y) + y = 5$ ③.
把方程①代入③得$2×3 + y = 5$，即$y = -1$.
把$y = -1$代入方程①，得$x = 4$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4, \\y = -1.\end{cases}$
请你解决以下问题：
（1）模仿小强同学的方法解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 16, \\6x + 9y = 25;\end{cases}$
（2）已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}x^2 + xy + 3y^2 = 11, \\3x^2 - 5xy + 9y^2 = 49,\end{cases}$求$xy$的值.
解：将方程②变形为$4x + 10y + y = 5$，即$2(2x + 5y) + y = 5$ ③.
把方程①代入③得$2×3 + y = 5$，即$y = -1$.
把$y = -1$代入方程①，得$x = 4$.
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4, \\y = -1.\end{cases}$
请你解决以下问题：
（1）模仿小强同学的方法解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 16, \\6x + 9y = 25;\end{cases}$
（2）已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}x^2 + xy + 3y^2 = 11, \\3x^2 - 5xy + 9y^2 = 49,\end{cases}$求$xy$的值.
答案
(1) $\begin{cases}x = \dfrac{44}{3}, \\ y = -7\end{cases}$
(2) $xy = -2$
(2) $xy = -2$
解析
【分析】
本题运用整体代入思想求解，解题思路如下：
（1）观察方程组系数，第二个方程x的系数是第一个方程x系数的2倍，可将第二个方程变形为含“3x+4y”的结构，再把第一个方程整体代入，先求出y的值，再回代求x即可；
（2）观察方程组二次项系数，第二个方程中x²、y²的系数是第一个方程对应系数的3倍，将第二个方程变形为含“x²+3y²”的结构，再从第一个方程得到x²+3y²的表达式整体代入，消去x²和y²项即可直接求出xy的值。
【解析】
（1）解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 16, & ① \\6x + 9y = 25; & ②\end{cases}$
将方程②变形：$6x + 8y + y = 25$，即$2(3x + 4y) + y = 25$ ③，
把①代入③得：$2×16 + y = 25$，
解得$y = -7$，
把$y = -7$代入①得：$3x + 4×(-7) = 16$，
整理得$3x = 44$，解得$x = \dfrac{44}{3}$。
（2）已知方程组$\begin{cases}x^2 + xy + 3y^2 = 11, & ① \\3x^2 - 5xy + 9y^2 = 49, & ②\end{cases}$
将方程②变形：$3x^2 + 9y^2 - 5xy = 49$，即$3(x^2 + 3y^2) - 5xy = 49$ ③，
由①得：$x^2 + 3y^2 = 11 - xy$ ④，
把④代入③得：$3(11 - xy) - 5xy = 49$，
展开整理得：$-8xy = 16$，
解得$xy = -2$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = \dfrac{44}{3}, \\ y = -7\end{cases}$
(2) $xy = -2$
【知识点】
整体代入消元法，代数式恒等变形，方程组求解
【点评】
本题考查整体思想在方程组求解中的应用，相比常规消元法，整体代入能简化运算步骤。解题核心是观察方程同类项的系数关系，合理拆分构造出可代入的整体结构，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题运用整体代入思想求解，解题思路如下：
（1）观察方程组系数，第二个方程x的系数是第一个方程x系数的2倍，可将第二个方程变形为含“3x+4y”的结构，再把第一个方程整体代入，先求出y的值，再回代求x即可；
（2）观察方程组二次项系数，第二个方程中x²、y²的系数是第一个方程对应系数的3倍，将第二个方程变形为含“x²+3y²”的结构，再从第一个方程得到x²+3y²的表达式整体代入，消去x²和y²项即可直接求出xy的值。
【解析】
（1）解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 16, & ① \\6x + 9y = 25; & ②\end{cases}$
将方程②变形：$6x + 8y + y = 25$，即$2(3x + 4y) + y = 25$ ③，
把①代入③得：$2×16 + y = 25$，
解得$y = -7$，
把$y = -7$代入①得：$3x + 4×(-7) = 16$，
整理得$3x = 44$，解得$x = \dfrac{44}{3}$。
（2）已知方程组$\begin{cases}x^2 + xy + 3y^2 = 11, & ① \\3x^2 - 5xy + 9y^2 = 49, & ②\end{cases}$
将方程②变形：$3x^2 + 9y^2 - 5xy = 49$，即$3(x^2 + 3y^2) - 5xy = 49$ ③，
由①得：$x^2 + 3y^2 = 11 - xy$ ④，
把④代入③得：$3(11 - xy) - 5xy = 49$，
展开整理得：$-8xy = 16$，
解得$xy = -2$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = \dfrac{44}{3}, \\ y = -7\end{cases}$
(2) $xy = -2$
【知识点】
整体代入消元法，代数式恒等变形，方程组求解
【点评】
本题考查整体思想在方程组求解中的应用，相比常规消元法，整体代入能简化运算步骤。解题核心是观察方程同类项的系数关系，合理拆分构造出可代入的整体结构，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
