1. 在下列方程组中，只有一个解的是().

A.$\begin{cases} x + y = 1, \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 0, \\ 2x + 2y = 1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 1, \\ 2x - 2y = 8 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 14, \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$

1. C

【分析】
要判断哪个方程组只有一个解，我们可以用学过的代入消元法，把第一个方程变形后代入第二个方程，看得到的结果判断解的情况：如果代入后等式恒成立，说明有无数个解；如果代入后出现矛盾等式（如2=8这类不成立的等式），说明无解；如果代入后能求出唯一的x值，再求出唯一的y值，说明方程组只有一个解，我们逐个对四个选项验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\begin{cases} x + y = 1① \\ 2x + 2y = 8② \end{cases}$
由①得$y=1-x$，代入②得：
$2x + 2(1-x)=8$，化简得$2=8$，矛盾，方程组无解，不符合要求。
B选项：$\begin{cases} x + y = 0① \\ 2x + 2y = 1② \end{cases}$
由①得$y=-x$，代入②得：
$2x + 2(-x)=1$，化简得$0=1$，矛盾，方程组无解，不符合要求。
C选项：$\begin{cases} x + y = 1① \\ 2x - 2y = 8② \end{cases}$
由①得$y=1-x$，代入②得：
$2x - 2(1-x)=8$，展开得$2x -2 +2x=8$，整理得$4x=10$，解得$x=2.5$
把$x=2.5$代入①得$y=1-2.5=-1.5$，方程组有唯一解$\begin{cases}x=2.5 \\ y=-1.5\end{cases}$，符合要求。
D选项：$\begin{cases} x + y =14① \\ 2x + 2y =8② \end{cases}$
由①得$y=14-x$，代入②得：
$2x + 2(14-x)=8$，化简得$28=8$，矛盾，方程组无解，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组解的判定；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组解的情况判断，既可以通过代入消元计算验证，也可以通过对比两个方程的系数比快速得出结论，是二元一次方程组章节的基础常考题型，熟练掌握消元法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2. 已知$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x + ny = 8, \\ mx - y = 2\end{cases}$的解，则$m + 2n$的值为（ ）。

A.$-\dfrac{5}{2}$
B.$1$
C.$7$
D.$11$

C

【分析】
解题的核心是利用二元一次方程组解的定义：方程组的解能让方程组中每一个方程的左右两边都相等。我们可以把已知的x、y的值分别代入两个方程，得到只含m和只含n的一元一次方程，分别求出m的值和2n的值，再代入代数式m+2n计算就能得到结果。
【解析】
解：因为$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$是方程组$\begin{cases}3x + ny = 8, \\ mx - y = 2\end{cases}$的解，将x=-1，y=2分别代入两个方程：
1. 代入$mx - y = 2$可得：
$-m - 2 = 2$
移项计算得：$-m = 4$，即$m = -4$
2. 代入$3x + ny = 8$可得：
$3×(-1) + 2n = 8$
移项计算得：$2n = 11$
3. 计算$m + 2n$：
把$m=-4$、$2n=11$代入得：$m + 2n = -4 + 11 = 7$
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解，解一元一次方程，代数式求值
【点评】本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义，通过代入法将含未知系数的方程转化为一元一次方程求解，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】0.8

3. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x - 2y = 1 - k, \\ 2x + y = 2k\end{cases}$的解也是二元一次方程$x - y = 1$的解，则$k$的值是（ ）.

A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$

A

【分析】
题目说明已知二元一次方程组的解同时满足方程$x-y=1$，即三个方程有公共解。解题时可以先将$k$看作常数，用加减消元法或代入消元法解关于$x$、$y$的方程组，用含$k$的代数式表示出$x$和$y$，再将$x$、$y$代入$x-y=1$中，得到只含$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
先解方程组$\begin{cases}x - 2y = 1 - k \quad ① \\ 2x + y = 2k \quad ②\end{cases}$：
将②式两边同乘2，得：$4x + 2y = 4k \quad ③$
①+③消去$y$：$x - 2y + 4x + 2y = 1 - k + 4k$
化简得：$5x = 1 + 3k$，解得$x = \frac{1+3k}{5}$
将$x = \frac{1+3k}{5}$代入②式：$2×\frac{1+3k}{5} + y = 2k$
移项计算得：$y = 2k - \frac{2+6k}{5} = \frac{10k - 2 - 6k}{5} = \frac{4k - 2}{5}$
因为方程组的解满足$x - y = 1$，将$x$、$y$代入得：
$\frac{1+3k}{5} - \frac{4k - 2}{5} = 1$
左边合并化简：$\frac{1+3k - 4k + 2}{5} = \frac{3 - k}{5} = 1$
两边同乘5得：$3 - k = 5$
解得：$k = -2$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；一元一次方程的解法
【点评】
本题是二元一次方程组公共解类的常考题型，核心是理解公共解同时满足所有相关方程的性质，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的消元解法，将含参数的方程组转化为参数的一元一次方程求解。
【难度系数】
0.7

二、填空题
4. 某地搭建了一批可容纳6人和4人的两种帐篷，正好共容纳100人，则搭建方案共有种.

4. 8

【分析】
这是一道实际应用类的整数解问题，解题思路如下：首先设两种帐篷的数量为未知数，结合帐篷是实物，数量应为正整数（题目明确搭建两种帐篷，所以两种都需存在）；再根据总容纳人数列出二元一次方程；接着化简方程，用一个未知数表示另一个未知数，结合“结果为正整数”的限制条件分析未知数的取值范围和奇偶性，最后统计符合要求的解的个数即可。
【解析】
解：设搭建容纳6人的帐篷$x$顶，容纳4人的帐篷$y$顶，由题意可知$x$、$y$均为正整数（两种帐篷都存在，故$x＞0$，$y＞0$）。
根据总容纳100人可列方程：
$6x + 4y = 100$
化简得：$3x + 2y = 50$
变形用$x$表示$y$：$y = \frac{50 - 3x}{2}$
因为$y$是正整数，因此：
1. $50 - 3x ＞ 0$，即$3x ＜ 50$，解得$x ＜ \frac{50}{3} \approx 16.67$；
2. $50 - 3x$必须是偶数，因为50是偶数，所以$3x$为偶数，又因为3是奇数，所以$x$必须是偶数。
结合$x$是正偶数且$x≤16$，可得$x$的取值为：2、4、6、8、10、12、14、16，共8个取值，对应8组解，即8种搭建方案。
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程的整数解、实际问题取值限制
【点评】
本题解题核心是结合实际场景的限制条件明确未知数的取值范围，利用奇偶性可快速筛选符合要求的取值，避免逐一试算浪费时间，易错点是容易忽略“两种帐篷”的前提，多算$x=0$的情况。
【难度系数】
0.6

5. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文. 已知某种加密规则为：明文$a$，$b$对应的密文为$a-2b$，$2a+b$，例如1，2对应的密文是－3，4，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是.

5. 3, 1

【分析】
本题属于新定义类的实际应用问题，解题核心是读懂加密规则，找到明文和密文的对应关系。我们可以设解密得到的明文为a、b，根据题目给出的加密规则“明文a，b对应密文a-2b、2a+b”，结合收到的密文是1和7，就能列出关于a、b的二元一次方程组，解出方程组即可得到明文。
【解析】
设解密得到的明文为$a$、$b$，根据加密规则可得：
$\begin{cases}a - 2b = 1 ① \\2a + b = 7 ②\end{cases}$
用加减消元法求解：
将②×2得：$4a + 2b = 14$ ③
①+③得：$5a = 15$，解得$a = 3$
把$a = 3$代入①得：$3 - 2b = 1$，解得$b = 1$
所以解密得到的明文是3，1。
【答案】
3，1
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题以信息加密为背景，贴近生活实际，主要考查学生提取信息、建立数学模型的能力，解题关键是准确根据规则列出方程组，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8

6. 若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 3m - 1, \\ x - y = 5\end{cases}$的解满足$2x + y = 1$，则$m$的值为 ______ 。

6. -1

【分析】
解题时首先观察已知条件，发现方程$x-y=5$和$2x+y=1$都不含参数$m$，且两个方程共有两个未知数$x$、$y$，因此可以先联立这两个方程求出$x$和$y$的具体值，再将$x$、$y$代入含$m$的方程$x+2y=3m-1$，即可得到关于$m$的一元一次方程，求解就能得到$m$的值。
【解析】
第一步：联立不含参数$m$的两个方程，求解$x$、$y$：
联立$\begin{cases}x - y = 5 \\ 2x + y = 1\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，消去$y$：
$x - y + 2x + y = 5 + 1$
化简得$3x = 6$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$x - y = 5$，得：
$2 - y = 5$，解得$y = -3$。
第二步：将$x=2$，$y=-3$代入$x + 2y = 3m - 1$，求解$m$：
$2 + 2×(-3) = 3m - 1$
计算左边得$2 - 6 = -4$，因此：
$-4 = 3m - 1$
移项得$3m = -4 + 1 = -3$，解得$m = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
解二元一次方程组；二元一次方程的解；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于方程解的应用类常考题，解题核心是优先联立无参数的方程求出未知数的值，再代入含参数的方程计算参数，思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.7

三、解答题
7. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程$(2a - 1)x + (a - 1)y + 5 - 7a = 0$，当$a$每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一组公共解. 求出这个方程的公共解.

7. $\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$

【分析】
题目中说无论a取何值，方程都有一组固定的公共解，说明这组解的取值和a没有关系。我们可以先将原方程中含a的项合并，不含a的项放在一起，要使等式对任意a都成立，只需让a的系数为0，同时剩下的不含a的部分也等于0，这样就能得到关于x、y的二元一次方程组，解出方程组的解就是所求的公共解。也可以代入2个不同的a值，得到两个关于x、y的方程，联立求解后验证即可。
【解析】
先将原方程整理，把含a的项合并：
$\begin{aligned}(2a - 1)x + (a - 1)y + 5 - 7a &= 0\\2ax - x + ay - y + 5 - 7a &= 0\\(2x + y - 7)a + (-x - y + 5) &= 0\end{aligned}$
因为方程的公共解和a的取值无关，所以无论a取何值，上述等式恒成立，因此满足：
$\begin{cases}2x + y - 7 = 0&(1)\\-x - y + 5 = 0&(2)\end{cases}$
将(1)+(2)，得：$x - 2 = 0$，解得$x=2$。
把$x=2$代入(2)，得：$-2 - y + 5 = 0$，解得$y=3$。
验证：将$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$代入原方程，左边$=(2a-1)×2 + (a-1)×3 +5 -7a=4a-2+3a-3+5-7a=0$，等于右边，符合题意。
【答案】
$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程的解，解二元一次方程组，参数无关问题求解
【点评】
本题是含参数的二元一次方程公共解的典型问题，解题关键是抓住“公共解不受参数a影响”的核心特征，将原方程转化为关于参数的恒等式，再通过系数为0建立方程组求解，也可通过取特殊参数值简化计算，能有效培养学生的转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6