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8. 已知方程组$\begin{cases}\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{10},\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}=\dfrac{11}{10}\end{cases}$中的$a$，$b$满足$\begin{cases}ax + by =12,\\ax - by = -8.\end{cases}$求出$x$，$y$的值.
答案
$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
解析
【分析】
我们可以分两步解题：第一步先求解含a、b的方程组，观察发现方程组中两个方程都含有$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$，可以用加减消元法先消去$\frac{1}{a}$，求出$\frac{1}{b}$的值进而得到b，再代入求出a；第二步把得到的a、b代入含x、y的方程组，再次用加减消元法即可求出x、y的值。
【解析】
1. 先解关于a、b的方程组：
$\begin{cases}\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{10}&①\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}=\dfrac{11}{10}&②\end{cases}$
用②-①得：
$(\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b})-(\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{b})=\dfrac{11}{10}-\dfrac{1}{10}$
化简得：$\dfrac{5}{b}=1$，解得$b=5$。
把$b=5$代入①得：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{10}$，解得$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}$，即$a=2$。
2. 把$a=2$，$b=5$代入含x、y的方程组得：
$\begin{cases}2x + 5y =12&③\\2x - 5y = -8&④\end{cases}$
用③+④得：
$4x=4$，解得$x=1$。
把$x=1$代入③得：
$2×1 +5y=12$，解得$y=2$。
【答案】
$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，代入求值
【点评】
本题重点考察二元一次方程组消元解法的应用，需要先求解参数a、b的值，再代入求解目标未知数，计算难度较低，解题时注意消元的方向选择，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.7
我们可以分两步解题：第一步先求解含a、b的方程组，观察发现方程组中两个方程都含有$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$，可以用加减消元法先消去$\frac{1}{a}$，求出$\frac{1}{b}$的值进而得到b，再代入求出a；第二步把得到的a、b代入含x、y的方程组，再次用加减消元法即可求出x、y的值。
【解析】
1. 先解关于a、b的方程组：
$\begin{cases}\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{10}&①\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}=\dfrac{11}{10}&②\end{cases}$
用②-①得：
$(\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b})-(\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{b})=\dfrac{11}{10}-\dfrac{1}{10}$
化简得：$\dfrac{5}{b}=1$，解得$b=5$。
把$b=5$代入①得：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{10}$，解得$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}$，即$a=2$。
2. 把$a=2$，$b=5$代入含x、y的方程组得：
$\begin{cases}2x + 5y =12&③\\2x - 5y = -8&④\end{cases}$
用③+④得：
$4x=4$，解得$x=1$。
把$x=1$代入③得：
$2×1 +5y=12$，解得$y=2$。
【答案】
$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，代入求值
【点评】
本题重点考察二元一次方程组消元解法的应用，需要先求解参数a、b的值，再代入求解目标未知数，计算难度较低，解题时注意消元的方向选择，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.7
9. 如何解方程组$\begin{cases}3(m+5)-2(n+3)=-1, \\3(m+5)+2(n+3)=7\end{cases}$呢？我们可以把$m+5,n+3$分别看成一个整体，设$m+5=x,n+3=y$，把原方程组转化为关于$x,y$的二元一次方程组，再解这个方程组，求出$x,y$的值，进而可以很快求出原方程组的解，这种解方程组的方法叫作换元法。
请用换元法解方程组
请用换元法解方程组
答案
$\begin{cases} x = 11, \\ y = 1 \end{cases}$
解析
【分析】
观察待解方程组的结构，发现两个方程中都重复出现$\frac{x+y}{6}$和$\frac{x-y}{10}$两个代数式，因此可以利用换元法，将这两个代数式分别设为新的未知数，把原方程组转化为形式更简单的二元一次方程组，先求解新方程组得到新未知数的值，再代回换元的式子中求解原方程组的未知数$x、y$即可。
【解析】
解：设$m=\frac{x+y}{6}$，$n=\frac{x-y}{10}$，则原方程组可转化为：
$\begin{cases} m + n = 3 \quad \mathrm{①} \\ m - n = 1 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
①+②得：$2m=4$，解得$m=2$。
将$m=2$代入①得：$2 + n = 3$，解得$n=1$。
因此可得：
$\begin{cases} \frac{x+y}{6}=2 \\ \frac{x-y}{10}=1 \end{cases}$，整理得：
$\begin{cases} x + y = 12 \quad \mathrm{③} \\ x - y = 10 \quad \mathrm{④} \end{cases}$
③+④得：$2x=22$，解得$x=11$。
将$x=11$代入③得：$11 + y =12$，解得$y=1$。
【答案】
$\begin{cases} x = 11 \\ y = 1 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；二元一次方程组的解法；整体思想
【点评】
本题考查换元法在解二元一次方程组中的应用，通过将重复出现的代数式看作整体换元，能够简化方程组形式，降低计算难度，解题的关键是准确观察方程组的结构特征，合理设元，同时注意换元后要还原求出原未知数的值。
【难度系数】
0.7
观察待解方程组的结构，发现两个方程中都重复出现$\frac{x+y}{6}$和$\frac{x-y}{10}$两个代数式，因此可以利用换元法，将这两个代数式分别设为新的未知数，把原方程组转化为形式更简单的二元一次方程组，先求解新方程组得到新未知数的值，再代回换元的式子中求解原方程组的未知数$x、y$即可。
【解析】
解：设$m=\frac{x+y}{6}$，$n=\frac{x-y}{10}$，则原方程组可转化为：
$\begin{cases} m + n = 3 \quad \mathrm{①} \\ m - n = 1 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
①+②得：$2m=4$，解得$m=2$。
将$m=2$代入①得：$2 + n = 3$，解得$n=1$。
因此可得：
$\begin{cases} \frac{x+y}{6}=2 \\ \frac{x-y}{10}=1 \end{cases}$，整理得：
$\begin{cases} x + y = 12 \quad \mathrm{③} \\ x - y = 10 \quad \mathrm{④} \end{cases}$
③+④得：$2x=22$，解得$x=11$。
将$x=11$代入③得：$11 + y =12$，解得$y=1$。
【答案】
$\begin{cases} x = 11 \\ y = 1 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组；二元一次方程组的解法；整体思想
【点评】
本题考查换元法在解二元一次方程组中的应用，通过将重复出现的代数式看作整体换元，能够简化方程组形式，降低计算难度，解题的关键是准确观察方程组的结构特征，合理设元，同时注意换元后要还原求出原未知数的值。
【难度系数】
0.7
