例5 如图,平行于BC的直线DE把$△ ABC$分成面积相等的两部分,则$\frac{BD}{AD}$的值为 ()

A.1
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$\sqrt{2}+1$

反思:对应角相等,对应边成比例是相似三角形的本质属性。相似三角形的对应高之比,对应中线之比,对应角平分线之比,周长之比都等于相似比。相似三角形面积之比等于相似比的平方。

C

例6 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC$，点$D$在$\overset{\frown}{BC}$上，点$E$在弦$AD$上，$∠ BED=∠ BAC$，连结$BD$，$CD$。
(1)求证：$\frac{AE}{BE}=\frac{CD}{BD}$。
(2)连结$CE$，若$∠ BED=2∠ DEC$，求$\frac{AE}{BE}$的值。

(1)证明:因为$∠BAC+∠BDC=180°,∠BED+∠BEA = 180°,∠BED = ∠BAC$,所以$∠BEA = ∠BDC$,因为$∠BAE=∠BCD$,所以$△ABE∽△CBD$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{CD}{BD}$。
(2)如图,作$EF⊥BD$交BD于点F,因为$∠BED=∠BAC,∠BDE=∠BCA$,所以$△ABC∽△EBD$,所以$\frac{AB}{EB}=\frac{AC}{ED}$,因为$AB=AC$,所以$EB=ED$,所以$∠BEF = ∠DEF,BD = 2DF$。因为$∠BED = 2∠DEC$,所以$∠DEC = ∠DEF$,因为$AB = AC$,所以$∠CDE = ∠EDF$,因为$DE=DE$,所以$△DCE≌△DFE(ASA)$,所以$DC=DF$,所以$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$,所以$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}$。

例7 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因。图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示。已知AC与BD交于点O，AB//CD。若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2.4cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是cm。

3.6

例8 如图,在$△ ABC$中放置5个大小相等的正方形,若$BC=12$,则每个小正方形的边长为。

反思:三角形中内接小正方形的问题,主要考查相似三角形高之比等于相似比的性质,只要找到相似三角形,画出高线,列出高之比=底边之比的等量关系,就能顺利解决问题。

过点A作$AF⊥BC$,交BC于点F,交DE于点G,交MN于点P,如图。
由题可知$DE//MN//BC$,所以$△ADE∽△ABC,△AMN∽△ABC$,所以$\frac{AG}{AF}=\frac{DE}{BC},\frac{AP}{AF}=\frac{MN}{BC}$,设正方形的边长为x,则$DE=2x,GF=2x,MN=3x,GP=PF=x$,所以$\frac{AG}{AG+2x}=\frac{2x}{12},\frac{AG+x}{AG+2x}=\frac{3x}{12}$,所以$\frac{AG}{AG+2x} ÷ \frac{AG+x}{AG+2x} = \frac{2x}{12} ÷ \frac{3x}{12}$, 所以$\frac{AG}{AG+2x} · \frac{AG+2x}{AG+x} = \frac{2x}{12} · \frac{12}{3x}$,化简得$AG=2x$,将$AG=2x$代入$\frac{AG}{AG+2x}=\frac{2x}{12}$,得$\frac{2x}{4x}=\frac{2x}{12}$,解得$x=3$。所以正方形的边长为3。

例9 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=6\mathrm{cm},BC=8\mathrm{cm},I$为三角形的重心,$HI⊥ BC$于点$H$,则$HI=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。

反思:三角形的重心是三条中线的交点,它到中点的距离与到对角顶点的距离之比为$1:2$。

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