1. 如图,在$△ ABC$中,$DE // BC,\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$,则下列结论正确的是 ()

A.$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{△ ADE的周长}{△ ABC的周长}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{△ ADE的面积}{△ ABC的面积}=\frac{1}{3}$

C

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点G是$△ ABC$的重心，$AB=12$，则CG的长为（）

A.8
B.6
C.4
D.2

C

3. 如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连结DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为。

$\frac{10}{3}$

4. 如图，在边长为10的正方形ABCD中放入矩形EFGH和正方形GMCN，点E，F，H分别在AB，BC，AD边上，且$EF=2EH$，则阴影部分的面积为。

因为四边形ABCD是边长为10的正方形,所以$AD=AB=BC=10,∠A=∠B=90°$,所以$∠AEH+∠AHE=90°,∠BFE+∠BEF=90°$。
因为四边形EFGH为矩形,所以$EH=FG,∠HEF=∠EFG=90°$,所以$∠AEH+∠BEF=90°,∠BFE+∠GFM = 90°$,所以$∠AHE = ∠BEF = ∠GFM$,所以$△AEH∽△BFE$,所以$\frac{EF}{EH}=\frac{BF}{AE}=\frac{BE}{AH}$。
因为$EF=2EH$,所以$\frac{EF}{EH}=\frac{BF}{AE}=\frac{BE}{AH}=2$。设$AE=a$,则$BE=AB-AE=10-a$,所以$BF=2AE=2a,AH=5-\frac{a}{2}$。
因为四边形GMCN是正方形,所以$∠GMF=90°, GM = CM$, 在 $△AEH$ 和 $△MGF$ 中,$\begin{cases}∠AHE=∠GFM,\\∠A=∠GMF,\\EH=FG,\end{cases}$ 所以$△AEH≌△MGF(AAS)$,所以$GM=AE=a,FM=AH=5-\frac{a}{2}$,所以$GM=CM=a$,所以$BC=BF+FM+CM=2a+5-\frac{a}{2}+a=10$,解得$a=2$,所以$GM=CM=2$,所以$S_{阴影}=S_{正方形GMCN}=2×2=4$。故答案为4。

5. 如图,在四边形ABCD中,点E在边BC上,DE交AC于点F,∠AED=∠B,AE²=AF·AC。
(1)求证:△ABE∽△ECF。
(2)如果$\frac{AD}{EF}=\frac{AC}{EC}$,求证:$DE·AC=AE·BC$。

(1)因为$AE^2=AF·AC$,所以$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AE}$,因为$∠EAF = ∠CAE$,所以$△EAF ∽ △CAE$,所以$∠AEF=∠ACE$;因为$∠AED=∠B$,所以$∠ACE=∠B$,因为$∠AEC=∠AED+∠CEF=∠B+∠BAE$,所以$∠BAE=∠CEF$,所以$△ABE∽△ECF$。
(2)由(1)得$△EAF∽△CAE,∠B=∠ACB$,所以$\frac{AE}{EF}=\frac{AC}{EC},AB=AC$;因为$\frac{AD}{EF}=\frac{AC}{EC}$,所以$AD=AE$,所以$∠B=∠ACE=∠AED=∠ADE$,所以$△ABC∽△AED$,所以$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$,因为$AB=AC$,所以$DE·AC=AE·BC$。

6. 如图,已知AD,CF为$\odot O$的直径,连结AF,AC,E是$\odot O$上一点,连结CE并延长交AF延长线于点B,AC=EC。
(1)求证:$∠ ACF=∠ ECF$。
(2)若$BE=4,OG=\frac{5}{6}DG$,求AC。

(1)如图1,连结EF,因为CF为$\odot O$的直径,所以$∠FAC=∠FEC=90°$,在Rt△AFC和Rt△EFC中,因为$\begin{cases}AC=EC,\\FC=FC,\end{cases}$所以$Rt△AFC≌Rt△EFC(HL)$,所以$∠ACF=∠ECF$。

(2)因为$OG=\frac{5}{6}DG$,所以设$DG=6k$,则$OG=5k,OD=OG+DG=11k$,所以$AD=CF=2OD=22k$,所以$OC=\frac{1}{2}AD=11k,AG=AD-DG=16k$,如图2,连结ED,AE,因为$AC=EC,∠ACF=∠ECF$,所以$CF⊥AE$,因为AD为$\odot O$的直径,所以$∠AED=90°$,即$ED⊥AE$,所以$CF//ED$,所以$△OCG∽△DEG$,所以$\frac{OC}{ED}=\frac{CG}{EG}=\frac{OG}{DG}$,即$\frac{11k}{ED}=\frac{CG}{EG}=\frac{5k}{6k}=\frac{5}{6}$,所以$ED=\frac{66}{5}k,CG=\frac{5}{6}EG$,所以$CE=EG+CG=EG+\frac{5}{6}EG=\frac{11}{6}EG$,因为$∠ACG=∠EDG,∠AGC=∠EGD$,所以$△ACG∽△EDG$,所以$\frac{AC}{ED}=\frac{CG}{DG}=\frac{AG}{EG}$,即$\frac{AC}{\frac{66}{5}k}=\frac{\frac{5}{6}EG}{6k}=\frac{16k}{EG}$,所以$EG=\frac{24\sqrt{5}}{5}k$,所以$AC=CE=\frac{11}{6}EG=\frac{11}{6}×\frac{24\sqrt{5}}{5}k=\frac{44\sqrt{5}}{5}k$,所以$EF=\sqrt{CF^2-CE^2}=\sqrt{(22k)^2-(\frac{44\sqrt{5}}{5}k)^2}=\frac{22\sqrt{5}}{5}k$,因为$∠EBF=∠ABC,∠BEF=∠BAC$,所以$△EBF∽△ABC$,所以$\frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AC}$,即$\frac{4}{AB}=\frac{\frac{22\sqrt{5}}{5}k}{\frac{44\sqrt{5}}{5}k}=\frac{1}{2}$,所以$AB=8$,因为$AC^2+AB^2=BC^2$,所以$AC^2+8^2=(4+AC)^2$,解得$AC=6$。