例1 如图，$∠ O=30°$，$C$为$OB$上一点，且$OC=6$，以$C$为圆心，半径为3的圆与$OA$的位置关系是（）

A.相离
B.相交
C.相切
D.以上三种情况均有可能

反思:判断直线与圆的位置关系，常根据圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小确定:(1)若$d＜r$，则直线与圆相交。(2)若$d=r$，则直线与圆相切。(3)若$d＞r$，则直线与圆相离。

【解析】如图，过点C作CD⊥AO于点D，因为∠O=30°,OC=6,所以DC=3,所以以点C为圆心,半径为3的圆与OA的位置关系是相切。故选C。

例2 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C$是直角,以$BC$为直径的$\odot O$交$AB$于点$D$,切线$DE$交$AC$于点$E$。
(1)求证:$∠ A=∠ ADE$。
(2)若$AD=16,DE=10$,求$BC$的长。

反思:见到切点,连结圆心和切点是常见辅助线。

(1)证明:连结OD,因为DE是切线,所以∠ODE=90°,所以∠ADE+∠BDO=90°。因为∠ACB=90°,所以∠A+∠B=90°。因为OD=OB,所以∠B=∠BDO,所以∠ADE=∠A。
(2)连结CD。因为∠ADE=∠A,所以AE=DE。因为BC是⊙O的直径,∠ACB=90°,所以EC是⊙O的切线,ED=EC,所以AE=EC。因为DE=10,所以AC=2DE=20。在Rt△ADC中,DC=√(20²−16²)=12,设BD=x,在Rt△BDC中,BC²=x²+12²,在Rt△ABC中,BC²=(x+16)²−20²,则x²+12²=(x+16)²−20²,解得x=9,则BC=√(12²+9²)=15。

例3 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AC是$\odot O$的直径，BF平分$∠ ABC$，交$\odot O$于点F，交AC于点E，过点F作$\odot O$的切线FM，交BC的延长线于点M，连结CF。
(1)求证:$AC// FM$。
(2)若$BE=2\sqrt{5},EF=3\sqrt{5}$,求$\odot O$的半径。

(1)证明:连结OF,因为AC是⊙O的直径,所以∠ABC=90°。因为BF平分∠ABC,所以∠ABF=∠FBC=45°。所以∠AOF=2∠ABF=2×45°=90°。因为FM是⊙O的切线,所以∠OFM=90°。所以∠OFM=∠AOF=90°,所以AC//FM。
(2)因为$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AF}$,所以∠ACF=∠ABF=45°。所以∠ACF=∠FBC=45°。因为∠BFC=∠CFE,所以△CEF∽△BCF,所以$\frac{EF}{CF}=\frac{CF}{BF}$。因为BE=2√5,EF=3√5,所以BF=2√5+3√5=5√5。所以$\frac{3\sqrt{5}}{CF}=\frac{CF}{5\sqrt{5}}$。所以CF=5√3。因为∠AOF=90°,所以∠COF=180°−90°=90°。在Rt△COF中,由勾股定理,得OC²+OF²=CF²,所以OC=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$。即⊙O的半径为$\frac{5\sqrt{6}}{2}$。