例4 如图,已知$\odot O$的直径$AB=10$,弦$AC=6$,$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点D,过点D作$DE⊥ AC$交AC的延长线于点E。
(1)求证:DE是$\odot O$的切线。
(2)求DE的长。

反思:证明某直线为圆的切线时,若已知直线与圆有公共点,即可作出过该点的半径,证明直线垂直于该半径,即“作半径,证垂直”;若不能确定某直线与已知圆有公共点,则过圆心作直线的垂线段,证明直线到圆心的距离等于半径,即“作垂直,证半径”。在证明垂直时,常用到直径所对的圆周角是直角。

(1)证明:如图,连结OD,因为AD平分∠BAC,所以∠DAE=∠DAB。因为OA=OD,所以∠ODA=∠DAO,所以∠ODA=∠DAE,所以OD//AE。因为DE⊥AC,所以OD⊥DE,所以DE是⊙O切线。
(2)如图,过点O作OF⊥AC于点F,则AF=CF=3,OF=√(AO²−AF²)=√(5²−3²)=4。因为∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,所以四边形OFED是矩形,所以DE=OF=4。

例5 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=8,BC=6,∠ C=90°$。$\odot I$分别切$AC,BC,AB$于点$D,E,F$。则$△ ABC$内切圆半径为,$BE=BF=$,$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心$I$与外心$O$之间的距离为。

反思:作出辅助线,利用直角三角形的内切圆的半径$r$和三边的关系,可求出$r$,再运用勾股定理求外心与内心之间的距离即可。

2 4 $\sqrt{5}$

例6 如图，AB是$\odot O$的直径，过$\odot O$外一点P作$\odot O$的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连结OP，CD。
(1)求证:$OP⊥ CD$。
(2)连结AD，BC，若$∠ DAB=50°$，$∠ CBA=70°$，$OA=2$，求OP的长。

反思:根据切线的性质，连半径，得垂直;据切线长定理，过圆外一点引圆的两切线长相等，且与圆心的连线平分两切线的夹角。

(1)证明:连结OC,OD,因为PD,PC是⊙O的切线,所以∠ODP=∠OCP=90°。在Rt△ODP和Rt△OCP中,$\begin{cases} OD=OC, \\ OP=OP, \end{cases}$所以Rt△ODP≌Rt△OCP,所以∠DOP=∠COP。因为OD=OC,所以OP⊥CD。
(2)因为OA=OD=OC=OB=2,所以∠ADO=∠DAO=50°,∠BCO=∠CBO=70°,所以∠AOD=80°,∠BOC=40°,所以∠COD=60°。因为OD=OC,所以由(1)知,∠DOP=∠COP=30°。在Rt△ODP中,$OP=\frac{OD}{\cos30°}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。