例7 如图,已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,$BC$为$\odot O$的直径,弦$AD⊥ BC$交$BC$于点$E$,点$P$在$CB$延长线上,$AB$平分$∠ PAD$,连结$BD$。
(1)在不添加辅助线的条件下,写出图中一个与$∠ C$相等的角:________,线段$AB$与线段$DB$的数量关系是________。
(2)求证:$PA$是$\odot O$的切线。
(3)若$\tan∠ PAB=\frac{1}{2}$,$\odot O$的半径为10,求$PA$的长。

反思:注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用。

(1)∠D(答案不唯一) AB=DB
【解析】因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,所以∠D=∠C,因为BC为⊙O的直径,AD⊥BC,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$,所以∠BAD=∠D=∠C,AB=BD,因为AB平分∠PAD,所以∠PAB=∠BAD=∠C。
(2)证明:如图,连结OA,易得∠DAB=∠ADB=∠C,因为AB平分∠PAD,∠AOB=2∠C,所以∠PAD=2∠DAB=2∠C,所以∠OAP=∠PAD+∠OAD=∠AOB+∠OAD=90°,即PA⊥OA,因为OA是⊙O的半径,所以PA是⊙O的切线。
(3)因为∠BAC=90°,∠PAB=∠DAB=∠C,所以$\frac{AB}{CA}=\tan∠C=\tan∠PAB=\frac{1}{2}$,因为∠PAB=∠C,∠P=∠P,所以△PAB∽△PCA,所以$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}=\frac{1}{2}$,所以PC=2PA,PA=2PB,所以PC=4PB,因为⊙O的半径为10,所以BC=2×10=20,所以PB+20=4PB,所以PB=$\frac{20}{3}$,所以PA=2PB=$\frac{40}{3}$。

1. 如图，AC是$\odot O$的切线，切点为C，BC是$\odot O$的直径，AB交$\odot O$于点D，连结OD，若$∠ BAC=55°$，则$∠ COD$的度数为 （）

A.$70°$
B.$60°$
C.$55°$
D.$35°$

A

2.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个
圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了 （）

A.4圈
B.3圈
C.5圈
D.3.5圈

A

3.如图,点P在⊙O外,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∠P=50°,则∠AOB等于。

130°

4.如图，$\odot O$内切于正方形$ABCD$，$O$为圆心，作$∠ MON=90°$，其两边分别交$BC$，$CD$于点$N$，$M$，若$CM+CN=10$，则$\odot O$的面积为________。

25π

5. 如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，P是BA延长线上的一点，连结AC，$∠ PCA=∠ B$。
(1)求证：PC是$\odot O$的切线。
(2)若$\sin∠ B=\frac{1}{2}$，求证：$AC=AP$。
(3)若$CD⊥ AB$于点D，$PA=4$，$BD=6$，求AD的长。

(1)证明:如图,连结OC,因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°,所以∠BCO+∠OCA=90°。因为OB=OC,所以∠B=∠BCO。因为∠PCA=∠B,所以∠PCA=∠BCO,所以∠PCA+∠OCA=90°,所以OC⊥PC,所以PC是⊙O的切线。
(2)证明:因为$\sin∠B=\frac{1}{2}$,所以∠B=30°,所以∠PCA=∠B=30°,由(1)知∠ACB=90°,所以∠CAB=60°,所以∠P=∠CAB−∠PCA=30°,所以∠PCA=∠P,所以AC=AP。
(3)设AD=x,在Rt△ACB中,CD⊥AB,所以CD²=AD×BD=6x,因为∠P=∠P,∠PCA=∠B,所以△PAC∽△PCB,所以$\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$,所以PC²=PA·PB=4(6+4+x)=4(10+x)。在Rt△PCD中,由勾股定理得PD²+CD²=PC²,即(4+x)²+6x=4(10+x),整理得x²+10x−24=0,解得x₁=2,x₂=−12(舍去),故AD=2。第5题图