12.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的顶点坐标为$(-2,3)$，且过$(-1,5)$，则二次函数的表达式为。

12.$y=2x^2+8x+11$

【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式求解可简化计算。首先根据顶点坐标写出二次函数的顶点式，此时仅含未知参数a，再将已知的函数图象经过的点代入顶点式，求出a的值，最后将顶点式展开为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 二次函数图象的顶点坐标为$(-2,3)$
∴ 设该二次函数的顶点式为$y=a(x+2)^2+3$（$a≠0$）
∵ 函数图象过点$(-1,5)$，将$x=-1$，$y=5$代入顶点式得：
$5=a(-1+2)^2+3$
$5=a×1^2+3$
解得$a=2$
将$a=2$代入顶点式并展开为一般式：
$y=2(x+2)^2+3=2(x^2+4x+4)+3=2x^2+8x+8+3=2x^2+8x+11$
【答案】
$y=2x^2+8x+11$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常规题型，当已知顶点坐标时选用顶点式求解，相比一般式求解更加简便，能有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8

13.已知$P(m,n)$为抛物线$y=ax^2 - 4ax + b$上一动点。当$1≤ m≤4$时，$n$的取值范围是$1≤ n≤4$，则抛物线的表达式为。

13.$y=\frac{3}{4}x^2-3x+4$ 或 $y=-\frac{3}{4}x^2+3x+1$

【分析】
首先可通过配方或对称轴公式求出抛物线的对称轴，判断对称轴落在给定的自变量取值范围$1≤m≤4$内；再根据二次函数开口方向分两种情况讨论：开口向上时顶点为区间内最小值点，离对称轴更远的端点为最大值点；开口向下时顶点为区间内最大值点，离对称轴更远的端点为最小值点，分别代入对应取值列方程求解参数$a、b$即可得到解析式。
【解析】
先将抛物线解析式配方变形：
$y = ax^2 - 4ax + b = a(x^2 - 4x) + b = a(x-2)^2 + (b - 4a)$
可得抛物线对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2, b-4a)$，对称轴在$1≤m≤4$范围内，分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
顶点为区间内最小值点，即$b - 4a = 1$；
离对称轴更远的点为$x=4$，为区间内最大值点，将$x=4$代入解析式得$y = b = 4$；
将$b=4$代入$b-4a=1$，解得$a=\frac{3}{4}$，此时解析式为$y=\frac{3}{4}x^2 - 3x + 4$。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
顶点为区间内最大值点，即$b - 4a = 4$；
离对称轴更远的点为$x=4$，为区间内最小值点，将$x=4$代入解析式得$y = b = 1$；
将$b=1$代入$b-4a=4$，解得$a=-\frac{3}{4}$，此时解析式为$y=-\frac{3}{4}x^2 + 3x + 1$。
【答案】
$y=\frac{3}{4}x^2-3x+4$ 或 $y=-\frac{3}{4}x^2+3x+1$
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查二次函数在闭区间内的最值求解，解题关键是结合对称轴位置和开口方向确定最值对应的自变量取值，易错点是容易遗漏其中一种开口方向的情况。
【难度系数】
0.6

14.已知二次函数$y=x^2+bx+c$。
(1)当$b=2,c=-5$时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$y≥-2$时，求$x$的取值范围。
(2)当$x＜0$时，$y$的最小值为$-2$；当$x≥0$时，$y$的最小值为$3$，求二次函数的表达式。

14.解:(1)①当$b=2,c=-5$时,函数的表达式为$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$，
∴该函数图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
②当$y=-2$时,$x^2+2x-5=-2$,解得$x_1=-3,x_2=1$。易得二次函数$y=x^2+2x-5$的图象开口向上,对称轴为直线$x=-1$,画出其大致图象,结合图象可知当$y≥-2$时,$x≥1$ 或 $x≤-3$。
(2)易得二次函数$y=x^2+bx+c$的图象开口向上,$y$有最小值$-2$。
∵当$x≥0$时,$y$的最小值为$3$，
∴当$x=0$时,$c=3$。
∵当$x＜0$时,$y$的最小值为$-2$，
∴当$x=-\frac{b}{2}$时,$y_{最小}=-2$。
将$x=-\frac{b}{2},y=-2$代入$y=x^2+bx+3$，
得$\frac{b^2}{4}+b·(-\frac{b}{2})+3=-2$，
∴$b=2\sqrt{5}$或$b=-2\sqrt{5}$。
易得对称轴在$y$轴左侧，
∴$b=2\sqrt{5}$。
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2\sqrt{5}x+3$。

【分析】
第(1)问解题思路
① 已知b、c的具体取值，先将数值代入二次函数一般式，再通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到顶点坐标$(h,k)$。
② 要求$y≥-2$时x的取值范围，先令$y=-2$，解对应的一元二次方程得到两个根，结合二次函数开口向上的性质，$y≥$某一函数值的解集为两根外侧的区域，即可得到x的范围。
第(2)问解题思路
二次函数开口向上，最小值在顶点处取得。已知$x＜0$时y的最小值为$-2$，$x≥0$时y的最小值为$3$，说明顶点在$x＜0$的区域（因为$-2＜3$，更小的最小值出现在$x＜0$段），因此$x≥0$时函数随x增大而增大，最小值在$x=0$处取得，代入得$c=3$；再将顶点横坐标$x=-\frac{b}{2}$代入解析式，结合对称轴在y轴左侧（即$-\frac{b}{2}＜0$，可得$b＞0$）求解b的值，即可确定函数解析式。
【解析】
(1)①当$b=2,c=-5$时，函数的表达式为：
$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$
∴该函数图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
②当$y=-2$时，$x^2+2x-5=-2$，整理得$x^2+2x-3=0$，解得$x_1=-3,x_2=1$。
二次函数$y=x^2+2x-5$的图象开口向上，对称轴为直线$x=-1$，结合图象可知当$y≥-2$时，$x≥1$或$x≤-3$。
(2)二次函数$y=x^2+bx+c$的图象开口向上，函数存在最小值。
∵当$x≥0$时，$y$的最小值为$3$，说明$x≥0$段函数单调递增，
∴当$x=0$时，$y=c=3$。
∵当$x＜0$时，$y$的最小值为$-2$，说明顶点在$x＜0$区域，
∴当$x=-\frac{b}{2}$时，$y_{最小}=-2$。
将$x=-\frac{b}{2},y=-2$、$c=3$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\frac{b^2}{4}+b·(-\frac{b}{2})+3=-2$
整理得$-\frac{b^2}{4}=-5$，解得$b=2\sqrt{5}$或$b=-2\sqrt{5}$。
∵对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2}＜0$，得$b＞0$，
∴$b=2\sqrt{5}$。
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2\sqrt{5}x+3$。
【答案】
(1)①顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-6)}$；②x的取值范围是$\boldsymbol{x≥1}$或$\boldsymbol{x≤-3}$
(2)$\boldsymbol{y=x^2+2\sqrt{5}x+3}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与不等式
【点评】
本题围绕二次函数基础性质考查，既涉及顶点坐标求解、不等式解集判断等基础考点，也需要结合自变量取值范围分析最值的取值位置，解题时可结合函数图象辅助分析，避免漏判对称轴位置的限制条件。
【难度系数】
0.7

15.如图,在$2×2$的网格(每个小正方形的边长为1)中,有A,O,B,C,D,E,F,H,G九个格点。
(1)对于抛物线$L:y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$。
①若抛物线L经过点$O(0,0)$和$B(1,0)$,则$b=$, $c=$;
②若抛物线L经过点$H(-1,1)$和$G(0,1)$,则该抛物线的表达式为。
(2)若抛物线经过这九个格点中的三个,且顶点在格点上,求出所有满足条件的抛物线的表达式。

15.(1)①$-\frac{1}{2}$ $0$
②$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$
(2)解:①将顶点是O,经过点H和点C的抛物线的表达式设为$y=ax^2$,把$(-1,1)$代入,得$a=1$,则抛物线的表达式为$y=x^2$。
②把抛物线$y=x^2$向上平移1个单位长度,可得到顶点是G,经过点F和点D的抛物线的表达式$y=x^2+1$。
③将顶点是O,经过点F和点D的抛物线的表达式设为$y=bx^2$,把$(-1,2)$代入,得$b=2$,则抛物线的表达式为$y=2x^2$。
④将顶点是E,且经过点H和点C的抛物线的表达式设为$y=cx^2+2$,把$(-1,1)$代入,得$c=-1$,则抛物线的表达式为$y=-x^2+2$。
⑤把抛物线$y=-x^2+2$向下平移1个单位长度,可得到顶点是G,经过点A和点B的抛物线的表达式$y=-x^2+1$。
⑥将顶点是E,且经过点A和点B的抛物线的表达式设为$y=dx^2+2$,把$(1,0)$代入,得$d=-2$,则抛物线的表达式为$y=-2x^2+2$。
综上所述,满足条件的抛物线有6条：
$y=x^2,y=x^2+1,y=2x^2,y=-x^2+2$，$y=-x^2+1,y=-2x^2+2$。

【分析】
(1)①小题使用待定系数法，将O、B两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的方程组，解方程组即可求出b、c的值；②小题同样采用待定系数法，把H、G两点坐标代入解析式求解b、c，即可得到抛物线表达式。
(2)先明确9个格点的坐标，观察格点分布可知满足条件的抛物线对称轴均为y轴，顶点都在y轴的格点O(0,0)、G(0,1)、E(0,2)上，分顶点在这三个点的情况，结合开口向上、向下两种方向，设顶点式$y=ax^2+k$，代入经过的格点求出a的值，验证是否经过三个格点，也可结合平移规律得到平移后的抛物线，最后汇总所有符合条件的表达式即可。
【解析】
(1)①将$O(0,0)$、$B(1,0)$代入$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$：
把$x=0,y=0$代入，得$0=0+0+c$，解得$c=0$；
把$x=1,y=0,c=0$代入，得$0=\frac{1}{2}×1^2 +b×1 +0$，解得$b=-\frac{1}{2}$。
②将$H(-1,1)$、$G(0,1)$代入$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$：
把$x=0,y=1$代入，得$1=0+0+c$，解得$c=1$；
把$x=-1,y=1,c=1$代入，得$1=\frac{1}{2}×(-1)^2 +b×(-1) +1$，
化简得$1=\frac{1}{2}-b+1$，解得$b=\frac{1}{2}$，
因此抛物线表达式为$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$。
(2)九个格点坐标为：$A(-1,0)$、$O(0,0)$、$B(1,0)$、$H(-1,1)$、$G(0,1)$、$C(1,1)$、$F(-1,2)$、$E(0,2)$、$D(1,2)$，设对称轴为y轴的抛物线解析式为$y=ax^2+k$，分情况讨论：
①顶点为$O(0,0)$，即$k=0$：
代入$H(-1,1)$得$1=a×(-1)^2$，解得$a=1$，解析式为$y=x^2$，过O、H、C三点，符合条件；
代入$F(-1,2)$得$2=a×(-1)^2$，解得$a=2$，解析式为$y=2x^2$，过O、F、D三点，符合条件。
②顶点为$G(0,1)$，即$k=1$：
将$y=x^2$向上平移1个单位得$y=x^2+1$，过G、F、D三点，符合条件；
代入$A(-1,0)$得$0=a×(-1)^2+1$，解得$a=-1$，解析式为$y=-x^2+1$，过G、A、B三点，符合条件。
③顶点为$E(0,2)$，即$k=2$：
代入$H(-1,1)$得$1=a×(-1)^2+2$，解得$a=-1$，解析式为$y=-x^2+2$，过E、H、C三点，符合条件；
代入$A(-1,0)$得$0=a×(-1)^2+2$，解得$a=-2$，解析式为$y=-2x^2+2$，过E、A、B三点，符合条件。
【答案】
(1)①$-\frac{1}{2}$；$0$ ②$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$
(2)$y=x^2$，$y=x^2+1$，$y=2x^2$，$y=-x^2+2$，$y=-x^2+1$，$y=-2x^2+2$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数平移；二次函数图象与性质
【点评】
本题结合网格格点考查二次函数相关知识，前两小问侧重基础的待定系数法应用，第三小问需要结合格点对称性分类讨论顶点位置，避免漏解，能有效考查分类讨论思想和对二次函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6