16.如图,抛物线 $y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$ 经过$△ ABC$的三个顶点,点$A,B$在$x$轴上,点$C$在$y$轴上,抛物线的对称轴交$x$轴于点$D$,过点$A$作$AE// BC$交对称轴于点$E$,且$AC=\sqrt{13}$。
(1)求抛物线的表达式;
(2)求$DE$的长。

16.解:(1)$\because y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，
∴$OC=3$。
∵$AC=\sqrt{13}$，
∴$OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$。
∴$A(-2,0)$。
把$(-2,0)$代入$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，
得$0=4a-\frac{3}{2}+3$，
解得$a=-\frac{3}{8}$。
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$。
(2)
∵抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
∴$OD=1$。
∴$AD=2+1=3,DB=3$。
∴$OB=4$。
∵$AE// BC$，
∴$∠DAE=∠CBO$。
∵$∠ADE=∠COB$，
∴$△ADE∽△BOC$。
∴$\frac{DE}{OC}=\frac{AD}{OB}$。
∴$\frac{DE}{3}=\frac{3}{4}$，
∴$DE=\frac{9}{4}$。

【分析】
(1) 求抛物线表达式只需确定未知系数$a$，首先根据抛物线解析式的常数项可直接得到$y$轴交点$C$的纵坐标，即$OC=3$；再结合$AC=\sqrt{13}$，在直角$△ AOC$中用勾股定理求出$OA$的长度，得到$A$点坐标，将$A$点坐标代入解析式即可求解$a$。
(2) 求$DE$的长，首先根据二次函数对称轴公式求出对称轴，得到$D$点位置，计算出$AD$、$OB$的长度；由$AE// BC$可得到相等的角，证明$△ ADE$和$△ BOC$相似，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求出$DE$的长度。
【解析】
(1) 对于抛物线 $y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，令$x=0$，得$y=3$，因此点$C$坐标为$(0,3)$，即 $OC=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$AC=\sqrt{13}$，$OC=3$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$，
点$A$在$x$轴负半轴，故$A(-2,0)$。
将$A(-2,0)$代入抛物线解析式得：
$0=a× (-2)^2 + \frac{3}{4}× (-2) +3$，
即 $0=4a-\frac{3}{2}+3$，解得 $a=-\frac{3}{8}$。
因此抛物线的表达式为 $y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$。
(2) 二次函数$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{3}{4}}{2× (-\frac{3}{8})}=1$，因此$D(1,0)$，$OD=1$。
则$AD=OA+OD=2+1=3$，
由抛物线对称性可知，$A$、$B$关于对称轴$x=1$对称，故$B$点横坐标为$4$，即$OB=4$。
因为$AE// BC$，所以$∠ DAE=∠ CBO$，
又$∠ ADE=∠ COB=90°$，所以$△ ADE∽△ BOC$。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{DE}{OC}=\frac{AD}{OB}$，
代入$OC=3$，$AD=3$，$OB=4$，得$\frac{DE}{3}=\frac{3}{4}$，解得$DE=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为 $\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{8}x^2+\dfrac{3}{4}x+3}$；
(2) $DE$的长为 $\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与几何的基础综合题，解题核心是先利用抛物线的性质确定关键点坐标，再结合平行线构造相似三角形，通过比例关系求解线段长度，能够有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

17.阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”。例如,点$M(1,3)$的特征线有:直线$x=1,y=3,y=x+2,y=-x+4$。如图,在平面直角坐标系中有正方形$OABC$,点$B$在第一象限,点$A,C$分别在$x$轴和$y$轴上,抛物线$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$经过$B,C$两点,顶点$D$在正方形内部。
(1)写出点$N(2,3)$的任意两条特征线;
(2)若点$D$有一条特征线是直线$y=x+1$,求此抛物线的表达式。

17.解:(1)点$N(2,3)$的任意两条特征线为直线$y=3,y=x+1$。(答案不唯一)
(2)
∵抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$，
∴点D的坐标为$(a,b)$。
∵点D有一条特征线是$y=x+1$，
∴$b=a+1$。
∴$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+a+1$。
易得过点D且垂直于x轴的直线为正方形OABC的对称轴，
∴$B(2a,2a)$。
∴$\frac{1}{4}(2a-a)^2+a+1=2a$,解得$a=2$。
∴$b=3$。
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$。

【分析】
(1) 首先明确“特征线”的定义：过某点且平行于坐标轴，或平行于两坐标轴夹角平分线的直线。对于点$N(2,3)$，平行于x轴的特征线为$y=3$，平行于y轴的为$x=2$，平行于$y=x$的特征线代入点坐标可求得为$y=x+1$，平行于$y=-x$的为$y=-x+5$，任选两条即可。
(2) 首先根据抛物线顶点式写出顶点$D$的坐标为$(a,b)$，由$D$的特征线为$y=x+1$，可得$D$点坐标满足该直线解析式，即$b=a+1$；再结合抛物线对称轴为$x=a$，且抛物线过正方形的$B$、$C$两点，可知$B$、$C$关于对称轴$x=a$对称，因此正方形$OABC$的对称轴为$x=a$，可得正方形边长为$2a$，即$B$点坐标为$(2a,2a)$；最后将$B$点坐标代入抛物线表达式，解方程求出$a$的值，即可得到抛物线的解析式。
【解析】
(1) 根据特征线的定义，点$N(2,3)$的特征线可以为：直线$x=2$，$y=3$（答案不唯一，任选两条即可）。
(2)
∵ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$，
∴ 顶点$D$的坐标为$(a,b)$。
∵ 点$D$有一条特征线是直线$y=x+1$，
∴ 将$D(a,b)$代入直线解析式得：$b=a+1$，
则抛物线表达式可写为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+a+1$。
∵ 抛物线过$B$、$C$两点，且抛物线对称轴为直线$x=a$，
∴ 直线$x=a$是正方形$OABC$的对称轴，
∴ 正方形的边长为$2a$，即点$B$的坐标为$(2a,2a)$。
将$B(2a,2a)$代入抛物线表达式得：
$\frac{1}{4}(2a-a)^2+a+1=2a$
化简得：$\frac{1}{4}a^2 +a +1=2a$
整理得：$a^2 -4a +4=0$
解得：$a=2$。
则$b=a+1=3$，
∴ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$。
【答案】
(1) $x=2$，$y=3$（答案不唯一）；
(2) $y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$
【知识点】
新定义阅读理解，二次函数的顶点式，正方形的性质
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与几何图形的综合应用，解题的关键是准确理解“特征线”的定义，结合抛物线和正方形的对称性得到点的坐标关系，再代入解析式求解，能有效考查学生的知识迁移能力和几何分析能力。
【难度系数】
0.7