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7.已知二次函数$y=x^2 -4x -m$的最小值是1，则$m=$
$-5$
。答案
7.$-5$
解析
【分析】
这道题考查二次函数的最值求解，首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a＞0$）开口向上，顶点处取得最小值。解题时可以先将二次函数通过配方法转化为顶点式，直接得到最小值的表达式，或者利用顶点纵坐标公式列方程，再求解$m$的值即可。
【解析】
方法一：配方法
将二次函数解析式配方：
$y=x^2-4x-m$
$=(x^2-4x+4)-4-m$
$=(x-2)^2-(4+m)$
因为$(x-2)^2≥0$，所以函数的最小值为$-(4+m)$。
已知函数最小值为1，可得方程：
$-(4+m)=1$
解得：$m=-5$
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，当$a＞0$时，该值即为函数最小值。
本题中$a=1$，$b=-4$，$c=-m$，代入得：
$\frac{4×1×(-m)-(-4)^2}{4×1}=1$
化简得：$\frac{-4m-16}{4}=1$，即$-m-4=1$
解得：$m=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数最值性质、配方法、解一元一次方程
【点评】
本题是二次函数最值的基础应用题型，解题关键是掌握二次函数在顶点处取得最值的性质，配方法和顶点公式都是常用的求解方法，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次函数的最值求解，首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a＞0$）开口向上，顶点处取得最小值。解题时可以先将二次函数通过配方法转化为顶点式，直接得到最小值的表达式，或者利用顶点纵坐标公式列方程，再求解$m$的值即可。
【解析】
方法一：配方法
将二次函数解析式配方：
$y=x^2-4x-m$
$=(x^2-4x+4)-4-m$
$=(x-2)^2-(4+m)$
因为$(x-2)^2≥0$，所以函数的最小值为$-(4+m)$。
已知函数最小值为1，可得方程：
$-(4+m)=1$
解得：$m=-5$
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，当$a＞0$时，该值即为函数最小值。
本题中$a=1$，$b=-4$，$c=-m$，代入得：
$\frac{4×1×(-m)-(-4)^2}{4×1}=1$
化简得：$\frac{-4m-16}{4}=1$，即$-m-4=1$
解得：$m=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数最值性质、配方法、解一元一次方程
【点评】
本题是二次函数最值的基础应用题型，解题关键是掌握二次函数在顶点处取得最值的性质，配方法和顶点公式都是常用的求解方法，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
8.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，其顶点坐标为$(-1,-3.2)$，由图象可知关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别是$x_1=1.3$和$x_2=$
$-3.3$
。答案
8.$-3.3$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 明确对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标；2. 利用抛物线性质：抛物线是轴对称图形，其对称轴过顶点，本题顶点横坐标为-1，因此对称轴为直线$x=-1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴的横坐标；3. 代入已知根计算未知根即可。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-1,-3.2)$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
∵ 方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是抛物线与x轴两个交点的横坐标，两个交点关于直线$x=-1$对称，
∴ 两个根满足$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$。
将$x_1=1.3$代入得：$\frac{1.3+x_2}{2}=-1$，
解得$x_2=-2-1.3=-3.3$。
【答案】
$-3.3$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；抛物线对称轴
【点评】
本题考查二次函数图象的性质和二次函数与一元二次方程的关联，无需计算函数解析式，直接利用对称性即可快速求解，是对基础性质应用的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 明确对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标；2. 利用抛物线性质：抛物线是轴对称图形，其对称轴过顶点，本题顶点横坐标为-1，因此对称轴为直线$x=-1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴的横坐标；3. 代入已知根计算未知根即可。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-1,-3.2)$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
∵ 方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是抛物线与x轴两个交点的横坐标，两个交点关于直线$x=-1$对称，
∴ 两个根满足$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$。
将$x_1=1.3$代入得：$\frac{1.3+x_2}{2}=-1$，
解得$x_2=-2-1.3=-3.3$。
【答案】
$-3.3$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系；抛物线对称轴
【点评】
本题考查二次函数图象的性质和二次函数与一元二次方程的关联，无需计算函数解析式，直接利用对称性即可快速求解，是对基础性质应用的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
9.如图,在正方形ABCD中,点A,C的坐标分别是(-1,5),(2,0),点D在抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 +kx$的图象上,则k的值是(
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$\frac{4}{3}$
B
)。A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
9.B
解析
【分析】
要解决本题，需先求出点D的坐标再代入抛物线解析式求解k，解题思路为：首先利用正方形邻边垂直且相等的性质构造全等三角形，得到点D横、纵坐标的等量关系；然后联立方程求出点D的坐标；最后将D点坐标代入抛物线解析式计算k的值。
【解析】
过点A作水平线，过点D作竖直线，两线交于点N；过点D作水平线，过点C作竖直线，两线交于点M。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=DC$，$∠ ADC=90°$，
∴$∠ ADN + ∠ CDM = 90°$，
又
∵$∠ ADN + ∠ DAN = 90°$，
∴$∠ DAN=∠ CDM$，
又
∵$∠ AND=∠ DMC=90°$，
∴$△ AND≌△ DMC$（AAS），
∴$AN=DM$，$DN=CM$。
设$D(x,y)$，已知$A(-1,5)$，$C(2,0)$，
则$AN = x - (-1) = x+1$，$DM = y - 0 = y$，故$x+1 = y$ ①；
$DN = 5 - y$，$CM = x - 2$，故$5 - y = x - 2$ ②。
将①代入②得：$5 - (x+1) = x - 2$，
解得$x=3$，代入①得$y=3+1=4$，即$D(3,4)$。
将$D(3,4)$代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 +kx$得：
$4=\frac{1}{3}× 3^2 +3k$，
解得$4=3+3k$，$3k=1$，$k=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数解析式
【点评】
本题结合几何图形性质和函数解析式求解，核心是通过构造全等三角形建立点D坐标的等量关系，求出D点坐标后代入解析式即可得解，是几何与函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.65
要解决本题，需先求出点D的坐标再代入抛物线解析式求解k，解题思路为：首先利用正方形邻边垂直且相等的性质构造全等三角形，得到点D横、纵坐标的等量关系；然后联立方程求出点D的坐标；最后将D点坐标代入抛物线解析式计算k的值。
【解析】
过点A作水平线，过点D作竖直线，两线交于点N；过点D作水平线，过点C作竖直线，两线交于点M。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=DC$，$∠ ADC=90°$，
∴$∠ ADN + ∠ CDM = 90°$，
又
∵$∠ ADN + ∠ DAN = 90°$，
∴$∠ DAN=∠ CDM$，
又
∵$∠ AND=∠ DMC=90°$，
∴$△ AND≌△ DMC$（AAS），
∴$AN=DM$，$DN=CM$。
设$D(x,y)$，已知$A(-1,5)$，$C(2,0)$，
则$AN = x - (-1) = x+1$，$DM = y - 0 = y$，故$x+1 = y$ ①；
$DN = 5 - y$，$CM = x - 2$，故$5 - y = x - 2$ ②。
将①代入②得：$5 - (x+1) = x - 2$，
解得$x=3$，代入①得$y=3+1=4$，即$D(3,4)$。
将$D(3,4)$代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 +kx$得：
$4=\frac{1}{3}× 3^2 +3k$，
解得$4=3+3k$，$3k=1$，$k=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数解析式
【点评】
本题结合几何图形性质和函数解析式求解，核心是通过构造全等三角形建立点D坐标的等量关系，求出D点坐标后代入解析式即可得解，是几何与函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.65
10.在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y=x-\frac{3}{2}$与$y$轴交于点$A$，抛物线$y=ax^2+2ax+c$经过点$A$。
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$是由抛物线$y=ax^2+2ax+c$经过平移得到的，求抛物线$y=ax^2+2ax+c$的表达式；
(3)在(2)的条件下，已知点$(1,y_1),(-2,y_2),(4,y_3)$都在抛物线$y=ax^2+2ax+c$上，比较$y_1,y_2,y_3$的大小，并说明理由。
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$是由抛物线$y=ax^2+2ax+c$经过平移得到的，求抛物线$y=ax^2+2ax+c$的表达式；
(3)在(2)的条件下，已知点$(1,y_1),(-2,y_2),(4,y_3)$都在抛物线$y=ax^2+2ax+c$上，比较$y_1,y_2,y_3$的大小，并说明理由。
答案
10.解:(1)由题意可知$-\frac{2a}{2a}=-1$，
∴抛物线的对称轴是直线$x=-1$。
(2)
∵平移前后二次函数表达式中二次项的系数不变，
∴$a=-\frac{1}{2}$。
将$x=0$代入$y=x-\frac{3}{2}$,得$y=-\frac{3}{2}$，
∴点A的坐标为$(0,-\frac{3}{2})$。
将点A的坐标代入抛物线的表达式,得$c=-\frac{3}{2}$，
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -x-\frac{3}{2}$。
(3)$y_3＜y_1＜y_2$。
理由:
∵$1-(-1)=2,-1-(-2)=1$，
$4-(-1)=5,5＞2＞1$,且抛物线的开口向下，
∴抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越小，
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
∴抛物线的对称轴是直线$x=-1$。
(2)
∵平移前后二次函数表达式中二次项的系数不变，
∴$a=-\frac{1}{2}$。
将$x=0$代入$y=x-\frac{3}{2}$,得$y=-\frac{3}{2}$，
∴点A的坐标为$(0,-\frac{3}{2})$。
将点A的坐标代入抛物线的表达式,得$c=-\frac{3}{2}$，
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -x-\frac{3}{2}$。
(3)$y_3＜y_1＜y_2$。
理由:
∵$1-(-1)=2,-1-(-2)=1$，
$4-(-1)=5,5＞2＞1$,且抛物线的开口向下，
∴抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越小，
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线对称轴可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，本题抛物线表达式中一次项系数为$2a$，直接代入公式计算即可，无需额外求解参数。
(2) 二次函数平移只改变图像位置，二次项系数$a$保持不变，据此可先得到$a$的值；再求出直线与$y$轴交点$A$的坐标，将$A$点代入抛物线表达式求出$c$的值，即可得到完整的抛物线解析式。
(3) 开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。先计算三个点到对称轴$x=-1$的距离，比较距离大小后结合开口方向，就能判断三个函数值的大小关系。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+2ax+c$，二次项系数为$a$，一次项系数为$2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$
∴抛物线的对称轴是直线$x=-1$。
(2)
∵二次函数平移前后二次项系数不变，抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$由原抛物线平移得到，
∴$a=-\frac{1}{2}$。
直线$y=x-\frac{3}{2}$与$y$轴交于点$A$，将$x=0$代入直线方程得：
$y=0-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$，即$A(0,-\frac{3}{2})$。
将$A(0,-\frac{3}{2})$、$a=-\frac{1}{2}$代入抛物线表达式得：
$-\frac{3}{2}=0+0+c$，解得$c=-\frac{3}{2}$。
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -x-\frac{3}{2}$。
(3) $y_3＜y_1＜y_2$，理由如下：
由(2)可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，开口向下的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
分别计算三个点到对称轴的距离：
点$(1,y_1)$到$x=-1$的距离：$|1-(-1)|=2$；
点$(-2,y_2)$到$x=-1$的距离：$|-2-(-1)|=1$；
点$(4,y_3)$到$x=-1$的距离：$|4-(-1)|=5$。
∵$5＞2＞1$，
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 直线$x=-1$；
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2 -x-\frac{3}{2}$；
(3) $y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数对称轴，二次函数平移性质，二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考察的都是二次函数的核心基础知识点，解题关键是熟练掌握对称轴计算公式、平移规律，以及利用点到对称轴的距离比较函数值大小的方法。
【难度系数】
0.75
(1) 求抛物线对称轴可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，本题抛物线表达式中一次项系数为$2a$，直接代入公式计算即可，无需额外求解参数。
(2) 二次函数平移只改变图像位置，二次项系数$a$保持不变，据此可先得到$a$的值；再求出直线与$y$轴交点$A$的坐标，将$A$点代入抛物线表达式求出$c$的值，即可得到完整的抛物线解析式。
(3) 开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。先计算三个点到对称轴$x=-1$的距离，比较距离大小后结合开口方向，就能判断三个函数值的大小关系。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+2ax+c$，二次项系数为$a$，一次项系数为$2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$
∴抛物线的对称轴是直线$x=-1$。
(2)
∵二次函数平移前后二次项系数不变，抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$由原抛物线平移得到，
∴$a=-\frac{1}{2}$。
直线$y=x-\frac{3}{2}$与$y$轴交于点$A$，将$x=0$代入直线方程得：
$y=0-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$，即$A(0,-\frac{3}{2})$。
将$A(0,-\frac{3}{2})$、$a=-\frac{1}{2}$代入抛物线表达式得：
$-\frac{3}{2}=0+0+c$，解得$c=-\frac{3}{2}$。
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -x-\frac{3}{2}$。
(3) $y_3＜y_1＜y_2$，理由如下：
由(2)可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，开口向下的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
分别计算三个点到对称轴的距离：
点$(1,y_1)$到$x=-1$的距离：$|1-(-1)|=2$；
点$(-2,y_2)$到$x=-1$的距离：$|-2-(-1)|=1$；
点$(4,y_3)$到$x=-1$的距离：$|4-(-1)|=5$。
∵$5＞2＞1$，
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 直线$x=-1$；
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2 -x-\frac{3}{2}$；
(3) $y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数对称轴，二次函数平移性质，二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考察的都是二次函数的核心基础知识点，解题关键是熟练掌握对称轴计算公式、平移规律，以及利用点到对称轴的距离比较函数值大小的方法。
【难度系数】
0.75
11. 在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y=ax^2 - 2ax + 4(a＞0)$。
(1)抛物线的对称轴为直线$x=\_\_\_\_\_\_$,抛物线与$y$轴的交点坐标为________;
(2)若抛物线的顶点在$x$轴上,写出抛物线的顶点坐标,并求它的表达式;
(3)若$A(m-1,y_1),B(m,y_2),C(m+2,y_3)$为抛物线上的三点,且总有$y_1＞y_3＞y_2$,结合图象,求$m$的取值范围。
(1)抛物线的对称轴为直线$x=\_\_\_\_\_\_$,抛物线与$y$轴的交点坐标为________;
(2)若抛物线的顶点在$x$轴上,写出抛物线的顶点坐标,并求它的表达式;
(3)若$A(m-1,y_1),B(m,y_2),C(m+2,y_3)$为抛物线上的三点,且总有$y_1＞y_3＞y_2$,结合图象,求$m$的取值范围。
答案
11.(1)$1$ $(0,4)$
(2)解:
∵抛物线的顶点在$x$轴上，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
把$(1,0)$代入$y=ax^2-2ax+4$，
得$0=a×1^2-2a×1+4$，
解得$a=4$。
∴抛物线的表达式为$y=4x^2-8x+4$。
(3)解:
∵$A(m-1,y_1),B(m,y_2)$，$C(m+2,y_3)$为抛物线上的三点,且总有$y_1＞y_3＞y_2$,又$m-1＜m＜m+2$,抛物线的对称轴是直线$x=1$，
∴A,B两点位于对称轴左侧,点C位于对称轴右侧,且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离,点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴$1-(m-1)＞m+2-1＞1-m$，
解得$0＜m＜\frac{1}{2}$。
(2)解:
∵抛物线的顶点在$x$轴上，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
把$(1,0)$代入$y=ax^2-2ax+4$，
得$0=a×1^2-2a×1+4$，
解得$a=4$。
∴抛物线的表达式为$y=4x^2-8x+4$。
(3)解:
∵$A(m-1,y_1),B(m,y_2)$，$C(m+2,y_3)$为抛物线上的三点,且总有$y_1＞y_3＞y_2$,又$m-1＜m＜m+2$,抛物线的对称轴是直线$x=1$，
∴A,B两点位于对称轴左侧,点C位于对称轴右侧,且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离,点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴$1-(m-1)＞m+2-1＞1-m$，
解得$0＜m＜\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线对称轴可直接使用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数计算即可；求抛物线与$y$轴交点，只需令$x=0$代入解析式，求出对应的$y$值即可得到交点坐标。
(2) 顶点在$x$轴上说明顶点纵坐标为0，结合第一问求出的对称轴$x=1$，可直接确定顶点坐标；再将顶点坐标代入抛物线解析式，解出$a$的值即可得到抛物线表达式。
(3) 已知$a＞0$，抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。根据$y_1＞y_3＞y_2$的大小关系，可转化为三个点到对称轴$x=1$的距离的大小关系，列出不等式组求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2-2ax+4$，$b=-2a$，代入对称轴公式得$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，故对称轴为直线$x=1$；
令$x=0$，代入解析式得$y=4$，因此抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$。
(2)
∵抛物线的顶点在$x$轴上，且对称轴为直线$x=1$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
把$(1,0)$代入$y=ax^2-2ax+4$，
得$0=a×1^2-2a×1+4$，
解得$a=4$。
∴抛物线的表达式为$y=4x^2-8x+4$。
(3)
∵$a＞0$，抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越远，函数值越大。
已知$y_1＞y_3＞y_2$，因此三点到对称轴的距离满足：点$A$到对称轴的距离＞点$C$到对称轴的距离＞点$B$到对称轴的距离，即：
$1-(m-1)＞m+2-1＞1-m$
解不等式$m+2-1＞1-m$，得$m＞0$；
解不等式$1-(m-1)＞m+2-1$，得$m＜\frac{1}{2}$；
综上可得$0＜m＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $1$；$(0,4)$
(2) 顶点坐标为$(1,0)$，表达式为$y=4x^2-8x+4$
(3) $0＜m＜\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的基本性质；待定系数法求解析式；二次函数值大小比较
【点评】
本题难度分层设置，从基础的二次函数性质应用到综合的参数范围求解，既考查了对二次函数核心基础概念的掌握，也考查了结合函数性质转化问题、求解不等式的综合能力，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线对称轴可直接使用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数计算即可；求抛物线与$y$轴交点，只需令$x=0$代入解析式，求出对应的$y$值即可得到交点坐标。
(2) 顶点在$x$轴上说明顶点纵坐标为0，结合第一问求出的对称轴$x=1$，可直接确定顶点坐标；再将顶点坐标代入抛物线解析式，解出$a$的值即可得到抛物线表达式。
(3) 已知$a＞0$，抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。根据$y_1＞y_3＞y_2$的大小关系，可转化为三个点到对称轴$x=1$的距离的大小关系，列出不等式组求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2-2ax+4$，$b=-2a$，代入对称轴公式得$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，故对称轴为直线$x=1$；
令$x=0$，代入解析式得$y=4$，因此抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$。
(2)
∵抛物线的顶点在$x$轴上，且对称轴为直线$x=1$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
把$(1,0)$代入$y=ax^2-2ax+4$，
得$0=a×1^2-2a×1+4$，
解得$a=4$。
∴抛物线的表达式为$y=4x^2-8x+4$。
(3)
∵$a＞0$，抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越远，函数值越大。
已知$y_1＞y_3＞y_2$，因此三点到对称轴的距离满足：点$A$到对称轴的距离＞点$C$到对称轴的距离＞点$B$到对称轴的距离，即：
$1-(m-1)＞m+2-1＞1-m$
解不等式$m+2-1＞1-m$，得$m＞0$；
解不等式$1-(m-1)＞m+2-1$，得$m＜\frac{1}{2}$；
综上可得$0＜m＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $1$；$(0,4)$
(2) 顶点坐标为$(1,0)$，表达式为$y=4x^2-8x+4$
(3) $0＜m＜\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的基本性质；待定系数法求解析式；二次函数值大小比较
【点评】
本题难度分层设置，从基础的二次函数性质应用到综合的参数范围求解，既考查了对二次函数核心基础概念的掌握，也考查了结合函数性质转化问题、求解不等式的综合能力，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
