1. (1) $∠α = 42°, ∠β = 48°$. 则 $α$ 是 $β$ 的 角；
(2)若$∠\gamma=100°,∠\gamma$与$∠θ$互为补角,则$∠θ$=.

(1) 余；(2) $80°$

【分析】
本题考查余角和补角的基本定义应用，解题思路如下：
(1) 首先回忆余角定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。先计算∠α和∠β的度数和，再对照定义判断关系即可。
(2) 回忆补角定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角。已知互为补角的两个角中一个角的度数，用180°减去已知角的度数，即可求出另一个角的度数。
【解析】
(1) 计算∠α与∠β的和：$∠α + ∠β = 42° + 48° = 90°$，根据余角的定义，两个角的和为90°时互为余角，因此$α$是$β$的余角。
(2) 因为$∠\gamma$与$∠θ$互为补角，根据补角定义可得$∠\gamma + ∠θ = 180°$，所以$∠θ = 180° - ∠\gamma = 180° - 100° = 80°$。
【答案】
(1) 余；(2) $80°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对余角、补角定义的理解与简单运算，牢记相关定义即可快速准确解答。
【难度系数】
0.9

2.一个锐角是$38°$,则它的余角是

$\boldsymbol{52°}$

【分析】
解题时首先回忆余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就称这两个角互为余角。因此求一个角的余角，只需用90°减去这个角的度数即可。本题已知锐角为38°，直接代入计算就能得到结果。
【解析】
解：根据余角的定义，互为余角的两个角之和为90°，
因此这个38°锐角的余角为：$90° - 38° = 52°$。
【答案】
$\boldsymbol{52°}$
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查对余角概念的掌握程度，结合简单的角度减法运算即可解题，易错点是容易混淆余角和补角的定义导致计算错误。
【难度系数】
0.9

3. 如图，OA 的方向是，OB 的方向是。

解：
OA的方向是北偏西50°，OB的方向是南偏西45°（西南方向）。

【分析】
首先明确方向坐标的基本规则：上北下南，左西右东。描述方向角时，通常以正北或正南为基准方向，再说明偏向东还是西，夹角为射线与基准方向的夹角。先观察OA：它和正北方向的夹角是50°，向西偏，即可确定OA的方向；再观察OB：它和正南方向的夹角是45°，向西偏，45°的特殊偏角也可直接用西南方向表述，进而确定OB的方向。
【解析】
根据方向标“上北下南、左西右东”的规定：
1. 射线OA与正北方向的夹角为50°，朝向西侧偏移，因此OA的方向是北偏西50°；
2. 射线OB与正南方向的夹角为45°，朝向西侧偏移，45°的偏角属于特殊方位，也可称为西南方向，因此OB的方向是南偏西45°（西南方向）。
【答案】
北偏西50°；南偏西45°（西南方向）
【知识点】
方向角的表示，方位识别
【点评】
本题是方向角的基础考查题，解题核心是掌握方向角的表述规范，注意优先以正北、正南为基准描述，避免将基准方向错记为正东、正西，特殊45°方位可直接用复合方位词表述，降低出错概率。
【难度系数】
0.9

4.某路公交车的始发站是绿苑小区，终点站是学校，其行驶路线如图所示.

(1)超市在学校的方向；
(2)商场在超市的方向；
(3)工厂在绿苑小区的方向.

解：
(1) 北偏西60°（或西偏北30°）
(2) 正西
(3) 北偏东45°（或东偏北45°、东北）

【分析】
解决这类方位判断题，首先要牢记“上北下南，左西右东”的方位判断规则，核心是找准每一问的观测点，再以观测点为中心，判断目标点的相对方向，存在夹角的要结合已知夹角换算不同表述方式下的角度值。
首先看第(1)问，观测点是学校，先找到学校处代表向东方向的水平虚线，已知超市与学校的连线和该虚线夹角为30°，据此推导方向；第(2)问观测点是超市，看商场和超市的位置关系，两点在同一条水平线上，直接判断方向；第(3)问观测点是绿苑小区，已知工厂与绿苑小区的连线和向东的虚线夹角为45°，推导对应的方向表述。
【解析】
首先明确方位规则：地图中遵循“上北下南，左西右东”的方位判断原则。
(1) 以学校为观测点：超市位于学校的左上方，已知超市和学校的连线与学校向东的水平虚线夹角为30°，所以可表述为西偏北30°；若以正北方向为基准，夹角为90°-30°=60°，也可表述为北偏西60°。
(2) 以超市为观测点：商场和超市在同一条水平直线上，商场位于超市的左侧，因此是正西方向。
(3) 以绿苑小区为观测点：工厂位于绿苑小区的右上方，已知工厂与绿苑小区的连线和绿苑小区向东的水平虚线夹角为45°，可表述为东偏北45°，也可表述为北偏东45°，即东北方向。
【答案】
(1) 北偏西60°（或西偏北30°）
(2) 正西
(3) 北偏东45°（或东偏北45°、东北）
【知识点】
方向角表示，方位判断，位置相对性
【点评】
本题是方位判断的基础题型，解题的关键是找准每一问的观测点，结合基础方位规则和已知夹角判断方向，注意同一方位可以有不同的表述方式，难度较低。
【难度系数】
0.8

5. 已知∠α=32°,则∠α的补角为()

A.58°
B.68°
C.148°
D.168°

C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆补角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。要求∠α的补角，只需用180°减去已知角∠α的度数即可，计算后对应选项选出答案就行。
【解析】
根据补角的定义可知，互为补角的两个角度数之和为180°，因此∠α的补角 = 180° - ∠α。
已知∠α=32°，代入得：180° - 32° = 148°。
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义、角度的计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是熟记补角的定义，解题时注意区分补角和余角的定义（余角是两角和为90°），避免混淆概念导致计算错误。
【难度系数】
0.9

6.已知$∠ 1$的补角是$130°$，$∠ 2$的余角是$40°$，则$∠ 1$与$∠ 2$的大小关系是()

A.$∠ 1＞∠ 2$
B.$∠ 1＜∠ 2$
C.$∠ 1=∠ 2$
D.不能确定

C

【分析】
要判断∠1和∠2的大小关系，需先分别求出两个角的度数：首先回忆余角和补角的定义，互为补角的两个角度数之和为180°，互为余角的两个角度数之和为90°，因此可以根据已知的补角、余角度数分别计算∠1和∠2的度数，最后比较二者大小即可得到答案。
【解析】
1. 计算∠1的度数：
互为补角的两个角之和为180°，已知∠1的补角是130°，因此
$∠ 1 = 180° - 130° = 50°$
2. 计算∠2的度数：
互为余角的两个角之和为90°，已知∠2的余角是40°，因此
$∠ 2 = 90° - 40° = 50°$
3. 比较大小：$∠ 1 = ∠ 2 = 50°$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义，余角的定义，角的大小比较
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是牢记余角、补角的定义，根据定义准确计算角度后即可快速判断大小关系。
【难度系数】
0.9

7. 如图,在直角△ABC中,∠C = 90°, ∠ADC = ∠BDC=90°,则图中互余的角有()

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

D

【分析】
要解决这道题，首先要明确互余的定义：若两个角的和等于90°，则这两个角互余。解题时我们可以结合图中的直角，按顺序逐一寻找互余的角：先看公共顶点C处的直角，拆分出的两个角和为90°，同时大直角三角形的两个锐角和为90°；再看CD与AB垂直形成的两个小直角三角形，每个小直角三角形的两个锐角也互余，这样就能不重不漏的数出所有互余的角。
【解析】
根据互余的定义：两个角的和为90°时，这两个角互余，结合已知条件分析：
1. 因为∠ACB=90°，所以∠A + ∠B = 90°，∠1 + ∠2 = ∠ACB=90°，得到2对互余的角；
2. 因为∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠A + ∠1 = 90°，得到第3对互余的角；
3. 因为∠BDC=90°，在Rt△BDC中，∠B + ∠2 = 90°，得到第4对互余的角。
综上，图中共有4对互余的角。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义、直角三角形两锐角互余、角的和差运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查余角的识别，解题时要结合图形特征按顺序查找，避免出现漏数或重复计数的情况。
【难度系数】
0.8

8.将一副三角尺按下列位置摆放，则∠α和∠β互余的摆放方式是()

解：
根据余角的定义：若两个角的和等于90°，则这两个角互余，逐一分析选项：
选项A：由平角的定义可得 $∠α + 90° + ∠β = 180°$，因此 $∠α + ∠β = 90°$，$∠α$ 和 $∠β$ 互余；
选项B：$∠α$ 和 $∠β$ 都等于$90°$减去同一个公共角，可得$∠α=∠β$，两角之和大于$90°$，不互余；
选项C：$∠α$ 和 $∠β$ 都等于$180°$减去三角尺的同一个锐角，可得$∠α=∠β$，两角之和大于$90°$，不互余；
选项D：由图可得$∠α + ∠β = 180°$，两角互补，不互余。
综上，答案是$\boldsymbol{A}$。

【分析】
解题首先要明确互余的定义：若两个角的和等于90°，则这两个角互余。接下来我们逐一分析每个选项中∠α与∠β的数量关系，结合平角为180°、三角尺的直角为90°的性质，推导两个角的和，判断是否满足互余的条件即可。
【解析】
根据余角的定义逐一分析选项：
选项A：由平角的度数为180°可得，$∠α + 90° + ∠β = 180°$，整理得$∠α + ∠β = 90°$，符合互余的定义，故$∠α$和$∠β$互余；
选项B：$∠α$和$∠β$都等于$90°$减去二者的公共角，因此$∠α=∠β$，两角之和大于$90°$，不满足互余条件；
选项C：$∠α$和$∠β$都等于$180°$减去三角尺的同一个锐角，因此$∠α=∠β$，两角之和大于$90°$，不满足互余条件；
选项D：由图可得$∠α + ∠β = 180°$，两角互补，不满足互余条件。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 余角的定义
2. 平角的性质
3. 补角的定义
【点评】
本题是基础的角的关系判定题，结合三角尺的常见摆放方式考查余角、补角的概念，解题关键是结合图形特征，利用角的和差关系计算两个角的和，再对应定义判断即可，掌握基础概念是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8

9. 已知$∠α$和$∠β$互补，且$∠α＞∠β$，有下列式子：①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$；⑤$\frac{1}{2}(∠α - 90°)$。其中表示$∠β$的余角的式子有()

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

B

【分析】
解题第一步先回忆余角、补角的定义：两个角和为90°则互为余角，和为180°则互为补角。已知∠α和∠β互补，可得∠α+∠β=180°，而∠β的余角的基本形式是90°-∠β，接下来只需将每个式子结合∠α+∠β=180°化简，判断是否等于90°-∠β，即可确定是否为∠β的余角。
【解析】
∵∠α和∠β互补，
∴∠α + ∠β = 180°，∠β的余角为90° - ∠β，逐个判断式子：
①90° - ∠β：符合余角的定义，是∠β的余角；
②∠α - 90°：将∠α=180°-∠β代入，得∠α - 90°=180°-∠β-90°=90°-∠β，是∠β的余角；
③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$：代入∠α+∠β=180°，得$\frac{1}{2}×180°=90°$，不是∠β的余角；
④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$：将∠α=180°-∠β代入，得$\frac{1}{2}(180°-∠β - ∠β)=\frac{1}{2}(180°-2∠β)=90°-∠β$，是∠β的余角；
⑤$\frac{1}{2}(∠α - 90°)$：将∠α=180°-∠β代入，得$\frac{1}{2}(180°-∠β - 90°)=\frac{1}{2}(90°-∠β)$，不等于90°-∠β，不是∠β的余角。
综上，①②④共3个式子表示∠β的余角，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角的运算
【点评】
本题核心是利用余角、补角的定义进行角的转化和化简，解题时要熟练掌握互补的两个角的数量关系，通过代入变形的方式验证式子是否符合余角的形式，避免直接凭直观判断出错。
【难度系数】
0.7

10.如图所示，O为直线AB上一点，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC。
(1)求∠DOE的度数；
(2)指出图中互余的角、互补的角。

解：
(1) 因为O为直线AB上一点，
所以∠AOC + ∠BOC = 180°。
因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC。
所以∠DOE = ∠COD + ∠COE
= $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC)
= $\frac{1}{2}$ × 180°
= 90°。
(2) 互余的角：∠AOD与∠BOE，∠AOD与∠COE，∠COD与∠BOE，∠COD与∠COE；
互补的角：∠AOD与∠BOD，∠COD与∠BOD，∠AOC与∠BOC，∠BOE与∠AOE，∠COE与∠AOE。

【分析】
(1) 求解∠DOE的度数时，首先根据O在直线AB上得到平角∠AOB=180°，即∠AOC与∠BOC的和为180°；再结合OD、OE是对应角的角平分线，将∠DOE拆分为∠COD与∠COE的和，代入角平分线的性质可发现∠DOE是∠AOC与∠BOC之和的一半，代入计算即可得到结果。
(2) 找互余、互补的角时，先明确互余是两角和为90°、互补是两角和为180°；结合第一问得到的∠DOE=90°，以及角平分线得到的∠AOD=∠COD、∠COE=∠BOE，有序筛选符合条件的角即可，注意不要遗漏、重复。
【解析】
(1) 因为O为直线AB上一点，
所以$∠ AOC + ∠ BOC = 180°$。
因为OD平分$∠ AOC$，OE平分$∠ BOC$，
所以$∠ COD = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$。
所以$∠ DOE = ∠ COD + ∠ COE$
$= \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC)$
$= \frac{1}{2} × 180°$
$= 90°$。
(2) 互余的角：根据互余定义，结合$∠ DOE=90°$和等角关系可得：$∠ AOD$与$∠ BOE$，$∠ AOD$与$∠ COE$，$∠ COD$与$∠ BOE$，$∠ COD$与$∠ COE$；
互补的角：根据互补定义，结合平角性质和等角关系可得：$∠ AOD$与$∠ BOD$，$∠ COD$与$∠ BOD$，$∠ AOC$与$∠ BOC$，$∠ BOE$与$∠ AOE$，$∠ COE$与$∠ AOE$。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$
(2) 互余的角：$∠ AOD$和$∠ BOE$，$∠ AOD$和$∠ COE$，$∠ COD$和$∠ BOE$，$∠ COD$和$∠ COE$；
互补的角：$∠ AOD$和$∠ BOD$，$∠ COD$和$∠ BOD$，$∠ AOC$和$∠ BOC$，$∠ BOE$和$∠ AOE$，$∠ COE$和$∠ AOE$。
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，余角补角的定义
【点评】
本题是基础几何运算题，解题核心是先通过平角和角平分线性质推导出∠DOE为直角，再结合等角关系有序列举互余、互补的角，列举过程中要注意梳理逻辑，避免漏写或重复。
【难度系数】
0.8