11.如图所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线BC转动一周，求B点转动的角度。 第11题图

解：
由题意得，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°。
三角板沿直线BC转动一周的过程中：
第一次以点C为旋转中心转动，B点转过的角度为180° - 90° = 90°；
第二次以点A为旋转中心转动，B点转过的角度为180° - 60° = 120°；
第三次以点B所在的接触点为旋转中心转动，B点转过的角度为60°。
B点转动的总角度为 90° + 120° + 60° = 270°。
答：B点转动的角度为270°。

【分析】
解决本题首先需要明确直角三角板的各内角度数，先根据已知角度算出剩余内角的大小；再梳理三角板沿直线BC转动一周的三次旋转过程，每次旋转的中心不同，B点转过的角度等于平角减去旋转中心位置三角板的内角度数，最后将三次转动的角度相加就能得到B点转动的总角度。
【解析】
解：由题意得，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°。
三角板沿直线BC转动一周的过程中：
第一次以点C为旋转中心转动，B点转过的角度为180° - 90° = 90°；
第二次以点A为旋转中心转动，B点转过的角度为180° - 60° = 120°；
第三次以B点所在的接触点为旋转中心转动，B点转过的角度为60°。
B点转动的总角度为 90° + 120° + 60° = 270°。
【答案】
270°
【知识点】
三角形内角和，旋转角度计算，角度运算
【点评】
本题结合三角板旋转的实际场景考查角度计算，解题关键是理清每次旋转的旋转中心，准确对应每次的旋转角度，需要学生具备基础的空间想象能力，分步计算后求和即可得到结果。
【难度系数】
0.6

12.如果两个角的差的绝对值等于$90°$,就称这两个角互为垂角,例如,$∠ 1=120°$,$∠ 2=30°$,$|∠ 1 - ∠ 2|=90°$,则$∠ 1$和$∠ 2$互为垂角(本题中所有角都是指大于$0°$且小于$180°$的角).
(1)如图,O为直线AB上一点,OC平分$∠ AOB$,$∠ DOE=90°$,请直接写出图中所有互为垂角的角;
(2)若一个角的垂角等于这个角的补角的$\frac{2}{3}$,则这个角是多少度?

解：
(1) 互为垂角的角为：∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE，∠BOE与∠COE，∠BOE与∠BOD。
(2) 设这个角的度数为$ x $，根据互为垂角的定义，它的垂角为$ x+90° $或$ x-90° $，且满足$ 0°＜x＜180° $，$ 0°＜$垂角$＜180° $。
① 当垂角为$ x+90° $时：
$\begin{aligned}x + 90 &= \frac{2}{3}(180 - x) \\3x + 270 &= 360 - 2x \\5x &= 90 \\x &= 18\end{aligned}$
$ x=18° $符合取值要求。
② 当垂角为$ x-90° $时：
$\begin{aligned}x - 90 &= \frac{2}{3}(180 - x) \\3x - 270 &= 360 - 2x \\5x &= 630 \\x &= 126\end{aligned}$
$ x=126° $符合取值要求。
答：这个角是$ 18° $或$ 126° $。

【分析】
(1) 首先明确互为垂角的定义：两个角差的绝对值为90°则互为垂角。先根据已知条件推出∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，再逐一查找满足差的绝对值为90°的角对即可。
(2) 设这个角的度数为x，根据垂角定义，它的垂角有两种可能：x+90°或x-90°，再结合“垂角等于这个角补角的$\frac{2}{3}$”列方程求解，最后根据0°＜角＜180°的取值范围验证解是否符合要求。
【解析】
(1) 已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，因此∠AOC=∠BOC=90°，又∠DOE=90°：
$|∠ AOD - ∠ COD|=∠ AOC=90°$，故∠AOD与∠COD互为垂角；
$|∠ AOD - ∠ AOE|=∠ DOE=90°$，故∠AOD与∠AOE互为垂角；
$|∠ BOE - ∠ COE|=∠ BOC=90°$，故∠BOE与∠COE互为垂角；
$|∠ BOE - ∠ BOD|=∠ DOE=90°$，故∠BOE与∠BOD互为垂角。
(2) 设这个角的度数为$x$，根据垂角定义，它的垂角为$x+90°$或$x-90°$，且满足$0°＜x＜180°$，$0°＜$垂角$＜180°$。
① 当垂角为$x+90°$时：
$\begin{aligned}x + 90 &= \frac{2}{3}(180 - x) \\3x + 270 &= 360 - 2x \\5x &= 90 \\x &= 18\end{aligned}$
$x=18°$符合取值要求。
② 当垂角为$x-90°$时：
$\begin{aligned}x - 90 &= \frac{2}{3}(180 - x) \\3x - 270 &= 360 - 2x \\5x &= 630 \\x &= 126\end{aligned}$
$x=126°$符合取值要求。
【答案】
(1) $∠ AOD$与$∠ COD$，$∠ AOD$与$∠ AOE$，$∠ BOE$与$∠ COE$，$∠ BOE$与$∠ BOD$；
(2) $18°$或$126°$
【知识点】
1.垂角新定义
2.补角的计算
3.角的和差运算
【点评】
本题结合新定义考查角的相关计算，第一问需要结合图形准确识别角的和差关系，第二问解题时要注意分类讨论两种垂角的情况，避免漏解，同时要结合角的取值范围验证解的合理性。
【难度系数】
0.7

13. 如图①,将一副三角板的直角顶点C叠放在一起.
【观察分析】
(1)①若∠DCE=35°,则∠ACB=°;
②若∠ACB=150°,则∠DCE=°.
【猜想探究】
(2)请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系,并说明理由.
【拓展应用】
(3)如图②,若将两个同样的三角板的60°角的顶点A重合在一起,请你猜想∠DAB与∠EAC有何关系,并说明理由.
(4)如图③,如果把任意两个锐角∠AOB,∠COD的顶点O重合在一起,已知∠AOB=α,∠COD=β(α,β都是锐角),请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系.

解：
(1)① 145；② 30
(2) 猜想：$∠ ACB + ∠ DCE = 180°$，理由如下：
$\because ∠ ACD = ∠ BCE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 90° + ∠ BCD$，
又$\because ∠ BCD + ∠ DCE = ∠ BCE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ DCE = 90° + ∠ BCD + ∠ DCE = 90° + 90° = 180°$。
(3) 猜想：$∠ DAB + ∠ EAC = 120°$，理由如下：
$\because ∠ DAC = ∠ EAB = 60°$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ DAC + ∠ CAB = 60° + ∠ CAB$，
又$\because ∠ EAC + ∠ CAB = ∠ EAB = 60°$，
$\therefore ∠ DAB + ∠ EAC = 60° + ∠ CAB + ∠ EAC = 60° + 60° = 120°$。
(4) $∠ AOD + ∠ BOC = α + β$。

【分析】
这道题围绕顶点重合的角的数量关系展开，解题核心是利用角的和差关系拆分所求角，结合已知角的度数推导关系：
(1) 两个直角三角板直角顶点C重合，已知∠ACD=∠BCE=90°，∠ACB可拆为∠ACD+∠BCD，而∠BCD+∠DCE=∠BCE=90°，因此可通过已知角度直接计算未知角。
(2) 推导∠ACB与∠DCE的关系时，把两个角分别用已知直角和公共部分∠BCD表示，相加即可消去公共部分得到和的定值。
(3) 60°角重合的情况和直角叠放思路一致，将∠DAB拆为60°加公共部分∠CAB，再和∠EAC相加消去公共部分即可得到和的定值。
(4) 推广到任意两个锐角叠放时，沿用前面的拆分思路，把∠AOD拆为∠COD+∠AOC，再与∠BOC相加就能得到两个已知角的和。
【解析】
(1) ① 已知∠ACD=∠BCE=90°，∠DCE=35°，
$∠ BCD = ∠ BCE - ∠ DCE = 90° - 35° = 55°$，
所以$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 90° + 55° = 145°$。
② 已知∠ACB=150°，∠ACD=90°，
则$∠ BCD = ∠ ACB - ∠ ACD = 150° - 90° = 60°$，
所以$∠ DCE = ∠ BCE - ∠ BCD = 90° - 60° = 30°$。
(2) 猜想：$∠ ACB + ∠ DCE = 180°$，理由：
$\because ∠ ACD = ∠ BCE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 90° + ∠ BCD$，
又$\because ∠ BCD + ∠ DCE = ∠ BCE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ DCE = 90° + ∠ BCD + ∠ DCE = 90° + 90° = 180°$。
(3) 猜想：$∠ DAB + ∠ EAC = 120°$，理由：
$\because ∠ DAC = ∠ EAB = 60°$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ DAC + ∠ CAB = 60° + ∠ CAB$，
又$\because ∠ EAC + ∠ CAB = ∠ EAB = 60°$，
$\therefore ∠ DAB + ∠ EAC = 60° + ∠ CAB + ∠ EAC = 60° + 60° = 120°$。
(4) 已知$∠ AOB=α$，$∠ COD=β$，
$∠ AOD = ∠ COD + ∠ AOC = β + ∠ AOC$，
又$\because ∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB = α$，
$\therefore ∠ AOD + ∠ BOC = β + ∠ AOC + ∠ BOC = α + β$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{145}$；② $\boldsymbol{30}$
(2) $\boldsymbol{∠ ACB + ∠ DCE = 180°}$
(3) $\boldsymbol{∠ DAB + ∠ EAC = 120°}$
(4) $\boldsymbol{∠ AOD + ∠ BOC = α + β}$
【知识点】
角的和差运算；三角板的角度特征；公共角的应用
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，先以三角板叠放为情境探究角的关系，再推广到任意两个角叠放的通用结论，解题核心是通过角的和差拆分，消去公共重叠部分得到数量关系，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7