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例1 (1)$∠ 1=29°$，$∠ 2=61°$，则$∠ 1$是$∠ 2$的角；
(2)如图，O是直线AB上一点，则$∠ AOC$与$∠ BOC$互为角.
【思路导析】两角的和为$90°$，这两个角互为余角；两角的和为$180°$，这两个角互为补角.
【请你解答】
(2)如图，O是直线AB上一点，则$∠ AOC$与$∠ BOC$互为角.
【思路导析】两角的和为$90°$，这两个角互为余角；两角的和为$180°$，这两个角互为补角.
【请你解答】
答案
(1) 余；(2) 补。
解析
【分析】
解答本题需先明确余角和补角的判定规则：两个角度数之和为90°则互为余角，两个角度数之和为180°则互为补角。第(1)问先计算两个角的度数和，对照规则判断即可；第(2)问先根据直线特征确定平角的度数，得到两个角的和之后再对照规则判断。
【解析】
(1) 计算∠1和∠2的度数和：$∠1+∠2=29°+61°=90°$，符合余角的定义，因此∠1是∠2的余角。
(2) 因为O在直线AB上，所以$∠ AOB$是平角，即$∠ AOB=180°$，可得$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=180°$，符合补角的定义，因此∠AOC与∠BOC互为补角。
【答案】
(1) 余；(2) 补
【知识点】
余角的定义，补角的定义，平角的特征
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对余角、补角定义的掌握程度，牢记两角和的度数判定标准即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解答本题需先明确余角和补角的判定规则：两个角度数之和为90°则互为余角，两个角度数之和为180°则互为补角。第(1)问先计算两个角的度数和，对照规则判断即可；第(2)问先根据直线特征确定平角的度数，得到两个角的和之后再对照规则判断。
【解析】
(1) 计算∠1和∠2的度数和：$∠1+∠2=29°+61°=90°$，符合余角的定义，因此∠1是∠2的余角。
(2) 因为O在直线AB上，所以$∠ AOB$是平角，即$∠ AOB=180°$，可得$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=180°$，符合补角的定义，因此∠AOC与∠BOC互为补角。
【答案】
(1) 余；(2) 补
【知识点】
余角的定义，补角的定义，平角的特征
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对余角、补角定义的掌握程度，牢记两角和的度数判定标准即可快速解题。
【难度系数】
0.9
例2 如图，$∠ AOB = 90°$，$∠ COD = 90°$，那么$∠ AOC$与$∠ BOD$有什么关系呢？
【思路导析】分析$∠ AOC$和$∠ BOD$与$∠ BOC$的关系.
【请你解答】
【思路导析】分析$∠ AOC$和$∠ BOD$与$∠ BOC$的关系.
【请你解答】
答案
解：
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 90°，即∠AOC是∠BOC的余角。
∵ ∠COD = 90°，
∴ ∠BOD + ∠BOC = 90°，即∠BOD是∠BOC的余角。
根据同角的余角相等，可得∠AOC = ∠BOD。
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 90°，即∠AOC是∠BOC的余角。
∵ ∠COD = 90°，
∴ ∠BOD + ∠BOC = 90°，即∠BOD是∠BOC的余角。
根据同角的余角相等，可得∠AOC = ∠BOD。
解析
【分析】
要判断∠AOC和∠BOD的关系，我们可以先找这两个角和公共角∠BOC的联系。已知∠AOB和∠COD都是90°，首先从∠AOB=90°可以得到∠AOC与∠BOC的和是90°，说明∠AOC是∠BOC的余角；再从∠COD=90°可以得到∠BOD与∠BOC的和也是90°，说明∠BOD也是∠BOC的余角。最后根据“同角的余角相等”这一性质，就能推出两个角的关系了。
【解析】
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 90°，即∠AOC是∠BOC的余角。
∵ ∠COD = 90°，
∴ ∠BOD + ∠BOC = 90°，即∠BOD是∠BOC的余角。
根据同角的余角相等，可得∠AOC = ∠BOD。
【答案】
∠AOC=∠BOD
【知识点】
余角的定义；同角的余角相等
【点评】
本题是余角性质的基础应用，解题关键是找到两个角共同的余角，利用同角的余角相等推导两角关系，熟练掌握余角的相关性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.9
要判断∠AOC和∠BOD的关系，我们可以先找这两个角和公共角∠BOC的联系。已知∠AOB和∠COD都是90°，首先从∠AOB=90°可以得到∠AOC与∠BOC的和是90°，说明∠AOC是∠BOC的余角；再从∠COD=90°可以得到∠BOD与∠BOC的和也是90°，说明∠BOD也是∠BOC的余角。最后根据“同角的余角相等”这一性质，就能推出两个角的关系了。
【解析】
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 90°，即∠AOC是∠BOC的余角。
∵ ∠COD = 90°，
∴ ∠BOD + ∠BOC = 90°，即∠BOD是∠BOC的余角。
根据同角的余角相等，可得∠AOC = ∠BOD。
【答案】
∠AOC=∠BOD
【知识点】
余角的定义；同角的余角相等
【点评】
本题是余角性质的基础应用，解题关键是找到两个角共同的余角，利用同角的余角相等推导两角关系，熟练掌握余角的相关性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.9
例3 如图,从O点观测到A点在北偏东$30°$方向上,同时观测到B点在东南方向上.
画出表示A点和B点方向的方位角.
【思路导析】“北偏东”以正北为基准向东偏转.“东南方向”是正东与正南的平分线.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 与余角和补角有关的计算
画出表示A点和B点方向的方位角.
【思路导析】“北偏东”以正北为基准向东偏转.“东南方向”是正东与正南的平分线.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 与余角和补角有关的计算
答案
解：
1. 以点O为顶点，正北方向的射线为角的一边，向东作30°的角，角的终边为射线OA，标注出该30°角，射线OA即为表示A点北偏东30°方向的方位角。
2. 以点O为顶点，作正东方向射线与正南方向射线所成直角的角平分线，得到射线OB，射线OB与正东方向、正南方向的夹角均为45°，该射线即为表示B点东南方向的方位角。
1. 以点O为顶点，正北方向的射线为角的一边，向东作30°的角，角的终边为射线OA，标注出该30°角，射线OA即为表示A点北偏东30°方向的方位角。
2. 以点O为顶点，作正东方向射线与正南方向射线所成直角的角平分线，得到射线OB，射线OB与正东方向、正南方向的夹角均为45°，该射线即为表示B点东南方向的方位角。
解析
【分析】
解题时首先要明确方位角的表述规则：“北偏东30°”是以正北方向为起始边，向东偏转30°得到的方向；“东南方向”是正东与正南方向所成直角的角平分线，对应偏转角度为45°。我们先分别确定两个点方位角的作图方法，再按步骤作图即可。
【解析】
1. 绘制A点的方位角：将量角器中心与点O重合，0刻度线对齐正北方向的射线，向东（右侧）量取30°的角，沿该角度方向过O点作射线OA，在正北射线与OA之间标注30°的角，射线OA就是A点的方向射线。
2. 绘制B点的方位角：正东和正南方向的夹角为90°，作该直角的角平分线，过O点沿角平分线方向作射线OB，OB与正东、正南方向的夹角均为45°，射线OB就是B点的方向射线。
【答案】
1. 以点O为顶点，正北方向的射线为角的一边，向东作30°的角，角的终边为射线OA，标注出该30°角，射线OA即为表示A点北偏东30°方向的方位角。
2. 以点O为顶点，作正东方向射线与正南方向射线所成直角的角平分线，得到射线OB，射线OB与正东方向、正南方向的夹角均为45°，该射线即为表示B点东南方向的方位角。
【知识点】
方位角的概念，画指定度数的角
【点评】
本题是方位角应用的基础题型，核心是准确理解方位描述的含义，注意东南、东北这类特殊方位对应的偏转角度固定为45°，明确基准方向后即可顺利完成作图。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确方位角的表述规则：“北偏东30°”是以正北方向为起始边，向东偏转30°得到的方向；“东南方向”是正东与正南方向所成直角的角平分线，对应偏转角度为45°。我们先分别确定两个点方位角的作图方法，再按步骤作图即可。
【解析】
1. 绘制A点的方位角：将量角器中心与点O重合，0刻度线对齐正北方向的射线，向东（右侧）量取30°的角，沿该角度方向过O点作射线OA，在正北射线与OA之间标注30°的角，射线OA就是A点的方向射线。
2. 绘制B点的方位角：正东和正南方向的夹角为90°，作该直角的角平分线，过O点沿角平分线方向作射线OB，OB与正东、正南方向的夹角均为45°，射线OB就是B点的方向射线。
【答案】
1. 以点O为顶点，正北方向的射线为角的一边，向东作30°的角，角的终边为射线OA，标注出该30°角，射线OA即为表示A点北偏东30°方向的方位角。
2. 以点O为顶点，作正东方向射线与正南方向射线所成直角的角平分线，得到射线OB，射线OB与正东方向、正南方向的夹角均为45°，该射线即为表示B点东南方向的方位角。
【知识点】
方位角的概念，画指定度数的角
【点评】
本题是方位角应用的基础题型，核心是准确理解方位描述的含义，注意东南、东北这类特殊方位对应的偏转角度固定为45°，明确基准方向后即可顺利完成作图。
【难度系数】
0.85
例4 一个角的余角等于这个角的补角的$\frac{1}{5}$，求这个角的度数.
【思路导析】设这个角为$α$，列方程求解.
【规范解答】设这个角为$α$.
依题意，得 $90° - α = \frac{1}{5}(180° - α)$
$450° -5α =180° -α$
$4α =270°$
$α =67.5°$
答：这个角为$67.5°$.
变式探究
已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大$10°$，求这个角的度数.
【思路导析】设这个角为$α$，列方程求解.
【规范解答】设这个角为$α$.
依题意，得 $90° - α = \frac{1}{5}(180° - α)$
$450° -5α =180° -α$
$4α =270°$
$α =67.5°$
答：这个角为$67.5°$.
变式探究
已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大$10°$，求这个角的度数.
答案
解：设这个角的度数为$x$。
依题意，得 $180° - x = 3(90° - x) + 10°$
$180° - x = 270° - 3x + 10°$
$-x + 3x = 280° - 180°$
$2x = 100°$
$x = 50°$
答：这个角的度数为$50°$。
依题意，得 $180° - x = 3(90° - x) + 10°$
$180° - x = 270° - 3x + 10°$
$-x + 3x = 280° - 180°$
$2x = 100°$
$x = 50°$
答：这个角的度数为$50°$。
解析
【分析】
解题时首先回忆余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以设这个角的度数为x，分别用含x的式子表示出它的余角和补角，再根据题干给出的“补角比余角的3倍大10°”的等量关系列一元一次方程，最后解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$。
依题意，该角的补角为$180°-x$，余角为$90°-x$，可列方程：
$180° - x = 3(90° - x) + 10°$
去括号得：$180° - x = 270° - 3x + 10°$
移项得：$-x + 3x = 270° + 10° - 180°$
合并同类项得：$2x = 100°$
系数化为1得：$x = 50°$
答：这个角的度数为$50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于余角补角相关的基础应用题，解题核心是准确理解余角、补角的定义，能用未知数正确表示出对应角的度数，再结合题干给出的等量关系列方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的保障。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。我们可以设这个角的度数为x，分别用含x的式子表示出它的余角和补角，再根据题干给出的“补角比余角的3倍大10°”的等量关系列一元一次方程，最后解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$。
依题意，该角的补角为$180°-x$，余角为$90°-x$，可列方程：
$180° - x = 3(90° - x) + 10°$
去括号得：$180° - x = 270° - 3x + 10°$
移项得：$-x + 3x = 270° + 10° - 180°$
合并同类项得：$2x = 100°$
系数化为1得：$x = 50°$
答：这个角的度数为$50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于余角补角相关的基础应用题，解题核心是准确理解余角、补角的定义，能用未知数正确表示出对应角的度数，再结合题干给出的等量关系列方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的保障。
【难度系数】
0.8
