9.如图，$∠ AOD=120°$，$∠ 2=2∠ 1=60°$.(1)求$∠ DOC$的度数；(2)求$∠ BOD$的度数.

解：
(1) 已知$∠ AOD=120°$，$∠ 2=60°$，
由角的和差关系可得：
$∠ DOC = ∠ AOD - ∠ 2 = 120° - 60° = 60°$。
(2) 由$2∠ 1=60°$，可得$∠ 1=30°$，
由角的和差关系可得：
$∠ BOD = ∠ AOD + ∠ 1 = 120° + 30° = 150°$。

【分析】
本题考查角的和差运算，解题思路如下：(1)观察图形可知$∠ AOD$由$∠ DOC$和$∠ 2$两部分组成，已知$∠ AOD$和$∠ 2$的度数，根据角的和差关系，用$∠ AOD$减去$∠ 2$即可求出$∠ DOC$的度数；(2)先根据已知的$2∠ 1=60°$求出$∠ 1$的度数，再观察图形可知$∠ BOD$由$∠ AOD$和$∠ 1$两部分组成，用$∠ AOD$加上$∠ 1$的度数即可求出$∠ BOD$的度数。
【解析】
(1) 已知$∠ AOD=120°$，$∠ 2=60°$，
根据角的和差关系可得：
$∠ DOC = ∠ AOD - ∠ 2 = 120° - 60° = 60°$。
(2) 由$2∠ 1=60°$，计算得$∠ 1=60°÷2=30°$，
根据角的和差关系可得：
$∠ BOD = ∠ AOD + ∠ 1 = 120° + 30° = 150°$。
【答案】
(1) $∠ DOC=60°$；(2) $∠ BOD=150°$
【知识点】
角的和差运算；角度计算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，重点考查对图形中角的组成关系的识别能力，解题的关键是准确找到所求角与已知角之间的数量关系，整体计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8

10.已知$∠ AOB=90°$，$OC$是从$∠ AOB$的顶点$O$引出的一条射线，若$∠ AOB=2∠ BOC$，求$∠ AOC$的度数.

解：
∵ ∠AOB = 90°，∠AOB = 2∠BOC
∴ ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 45°
分两种情况计算：
① 当射线OC在∠AOB的内部时：
∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 90° - 45° = 45°
② 当射线OC在∠AOB的外部时：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 45° = 135°
综上，∠AOC的度数为45°或135°。

【分析】
解题时首先根据已知的∠AOB的度数以及∠AOB与∠BOC的倍数关系，先求出∠BOC的度数。由于题目仅说明OC是从O点引出的射线，未明确OC在∠AOB的内部还是外部，因此需要分两种情况讨论计算∠AOC的度数，避免漏解：当OC在∠AOB内部时，用∠AOB减去∠BOC得到∠AOC；当OC在∠AOB外部时，用∠AOB加上∠BOC得到∠AOC。
【解析】
解：
∵ ∠AOB = 90°，∠AOB = 2∠BOC
∴ ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×90° = 45°
分两种情况计算：
① 当射线OC在∠AOB的内部时：
∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 90° - 45° = 45°
② 当射线OC在∠AOB的外部时：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 45° = 135°
综上，∠AOC的度数为45°或135°。
【答案】
45°或135°
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，角的倍数运算
【点评】
本题的易错点是容易忽略射线OC位置的不确定性，仅考虑OC在∠AOB内部的情况导致漏解，解答未明确几何元素位置的题目时，要全面分析所有可能的情况，通过分类讨论完整求解。
【难度系数】
0.6

11. 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°。
(1)若∠AOC＝50°，求出∠BOD的度数；
(2)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由。

解：
(1) ∵ OD平分∠AOC，∠AOC=50°，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = 25°，
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 25° = 155°。
(2) OE平分∠BOC，理由如下：
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠AOD + ∠BOE = 180° - ∠DOE，
∵ ∠DOE=90°，
∴ ∠AOD + ∠BOE = 90°，
又∵ ∠COD + ∠COE = ∠DOE = 90°，
且OD平分∠AOC，得∠AOD = ∠COD，
∴ ∠COE = ∠BOE，
即OE平分∠BOC。

【分析】
(1) 求解∠BOD的思路：首先根据角平分线的定义，由OD平分∠AOC先求出∠AOD的度数；再结合O在直线AB上，可知∠AOB是180°的平角，用∠AOB减去∠AOD即可得到∠BOD的度数。
(2) 判断OE是否平分∠BOC，本质是证明∠COE=∠BOE：首先根据平角为180°、∠DOE=90°，可推出∠AOD与∠BOE的和为90°；再由∠DOE=90°，可得∠COD与∠COE的和也为90°；最后结合OD平分∠AOC得到∠AOD=∠COD，根据等角的余角相等即可推出∠COE=∠BOE，从而判断OE平分∠BOC。
【解析】
(1)
∵ OD平分∠AOC，∠AOC=50°，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°，
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 25° = 155°。
(2) OE平分∠BOC，理由如下：
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠AOD + ∠BOE = 180° - ∠DOE，
∵ ∠DOE=90°，
∴ ∠AOD + ∠BOE = 90°，
又
∵ ∠COD + ∠COE = ∠DOE = 90°，
且OD平分∠AOC，得∠AOD = ∠COD，
∴ ∠COE = ∠BOE，
即OE平分∠BOC。
【答案】
(1) $\boldsymbol{155°}$
(2) OE平分$\boldsymbol{∠ BOC}$，理由见解析
【知识点】
角平分线的定义、平角的定义、余角的性质
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题的核心是理清图中各角的和差关系，熟练运用角平分线、平角、余角的相关性质进行推导计算即可。
【难度系数】
0.8

12.如图，已知∠AOB的内部有OE，OC，OF三条射线，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.
(1)若∠AOC=30°，∠BOC=60°，则∠EOF=；
(2)若∠AOC=α，∠BOC=β，则∠EOF=；
(3)若∠AOB=θ，你能猜想出∠EOF与θ的关系吗？请说明理由.

(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}(α+β)}$
(3) $\boldsymbol{∠ EOF = \frac{1}{2}θ}$，理由如上。

【分析】
本题围绕角的运算展开，核心利用角平分线的性质解题。首先观察图形可得∠EOF由∠EOC和∠COF相加得到，解题时先根据角平分线的定义，分别表示出∠EOC、∠COF和对应原角的关系，再结合角的和差关系计算即可。第三问可在前两问的结论基础上，将∠BOC与∠AOC的和替换为∠AOB=θ推导关系。
【解析】
(1) 因为OE平分∠BOC，∠BOC=60°，根据角平分线的定义，得$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$；
又因为OF平分∠AOC，∠AOC=30°，同理得$∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×30°=15°$；
所以$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=30°+15°=45°$。
(2) 因为OE平分∠BOC，∠BOC=β，所以$∠ EOC=\frac{1}{2}β$；
OF平分∠AOC，∠AOC=α，所以$∠ COF=\frac{1}{2}α$；
因此$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}(α+β)$。
(3) 猜想：$∠ EOF=\frac{1}{2}θ$，理由如下：
因为OE平分∠BOC，所以$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC$；
因为OF平分∠AOC，所以$∠ COF=\frac{1}{2}∠ AOC$；
所以$∠ EOF=∠ EOC+∠ COF=\frac{1}{2}∠ BOC+\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ BOC+∠ AOC)$；
又因为$∠ BOC+∠ AOC=∠ AOB=θ$，所以$∠ EOF=\frac{1}{2}θ$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}(α+β)}$
(3) $\boldsymbol{∠ EOF = \frac{1}{2}θ}$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的典型题型，解题关键是结合图形找准角之间的和差关系，灵活运用角平分线的性质进行等量代换，掌握该类题的推导方法后可快速得出结论，也可记住对应的规律提高解题效率。
【难度系数】
0.7