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例 阅读:已知$a-b=-4,ab=3$,求$a^2+b^2$的值.小明的解法如下:
解:因为$a-b=-4,ab=3$,
所以$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=(-4)^2+2×3=22$.
请你根据上述解题思路解答下列问题:
(1)已知$a-b=-5,ab=2$,求$a^2+b^2-ab$的值;
(2)已知$(2026-x)(2025-x)=20$,求$(2026-x)^2+(2025-x)^2$的值.
解:(1)$\because a-b=-5,ab=2$,
$\therefore a^2+b^2-ab=(a-b)^2+ab$
$=(-5)^2+2=27$.
(2)$\because (2026-x)(2025-x)=20$,
$\therefore (2026-x)^2+(2025-x)^2$
$=[(2026-x)-(2025-x)]^2+2(2026-x)(2025-x)$
$=41$.
解:因为$a-b=-4,ab=3$,
所以$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=(-4)^2+2×3=22$.
请你根据上述解题思路解答下列问题:
(1)已知$a-b=-5,ab=2$,求$a^2+b^2-ab$的值;
(2)已知$(2026-x)(2025-x)=20$,求$(2026-x)^2+(2025-x)^2$的值.
解:(1)$\because a-b=-5,ab=2$,
$\therefore a^2+b^2-ab=(a-b)^2+ab$
$=(-5)^2+2=27$.
(2)$\because (2026-x)(2025-x)=20$,
$\therefore (2026-x)^2+(2025-x)^2$
$=[(2026-x)-(2025-x)]^2+2(2026-x)(2025-x)$
$=41$.
答案
解：
(1) ∵ $a - b = -5$，$ab = 2$，
$\therefore a^2 + b^2 - ab$
$=(a - b)^2 + 2ab - ab$
$=(a - b)^2 + ab$
$=(-5)^2 + 2$
$=25 + 2$
$=27$。
(2) $\because (2026 - x) - (2025 - x) = 2026 - x - 2025 + x = 1$，且$(2026 - x)(2025 - x) = 20$，
$\therefore (2026 - x)^2 + (2025 - x)^2$
$=[(2026 - x) - (2025 - x)]^2 + 2(2026 - x)(2025 - x)$
$=1^2 + 2×20$
$=1 + 40$
$=41$。
(1) ∵ $a - b = -5$，$ab = 2$，
$\therefore a^2 + b^2 - ab$
$=(a - b)^2 + 2ab - ab$
$=(a - b)^2 + ab$
$=(-5)^2 + 2$
$=25 + 2$
$=27$。
(2) $\because (2026 - x) - (2025 - x) = 2026 - x - 2025 + x = 1$，且$(2026 - x)(2025 - x) = 20$，
$\therefore (2026 - x)^2 + (2025 - x)^2$
$=[(2026 - x) - (2025 - x)]^2 + 2(2026 - x)(2025 - x)$
$=1^2 + 2×20$
$=1 + 40$
$=41$。
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
（1）首先回忆完全平方公式的变形：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，将其代入所求代数式$a^2+b^2-ab$中，化简后可得到仅含$a-b$和$ab$的式子，再代入已知数值计算即可。
（2）运用整体思想，把$2026-x$和$2025-x$看作两个独立的整体，先计算两个整体的差为定值1，再利用完全平方公式的变形$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn$（其中$m=2026-x$，$n=2025-x$），代入已知的乘积值即可算出结果。
【解析】
(1)
∵ $a - b = -5$，$ab = 2$，
$\therefore a^2 + b^2 - ab$
$=(a - b)^2 + 2ab - ab$
$=(a - b)^2 + ab$
$=(-5)^2 + 2$
$=25 + 2$
$=27$。
(2) $\because (2026 - x) - (2025 - x) = 2026 - x - 2025 + x = 1$，且$(2026 - x)(2025 - x) = 20$，
$\therefore (2026 - x)^2 + (2025 - x)^2$
$=[(2026 - x) - (2025 - x)]^2 + 2(2026 - x)(2025 - x)$
$=1^2 + 2×20$
$=1 + 40$
$=41$。
【答案】
(1) $27$；(2) $41$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题核心是灵活运用完全平方公式的变形，解题时不需要求出单个字母的值，尤其是第二问通过整体代换的思想可大幅简化运算，熟练掌握乘法公式的常用变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：
（1）首先回忆完全平方公式的变形：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，将其代入所求代数式$a^2+b^2-ab$中，化简后可得到仅含$a-b$和$ab$的式子，再代入已知数值计算即可。
（2）运用整体思想，把$2026-x$和$2025-x$看作两个独立的整体，先计算两个整体的差为定值1，再利用完全平方公式的变形$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn$（其中$m=2026-x$，$n=2025-x$），代入已知的乘积值即可算出结果。
【解析】
(1)
∵ $a - b = -5$，$ab = 2$，
$\therefore a^2 + b^2 - ab$
$=(a - b)^2 + 2ab - ab$
$=(a - b)^2 + ab$
$=(-5)^2 + 2$
$=25 + 2$
$=27$。
(2) $\because (2026 - x) - (2025 - x) = 2026 - x - 2025 + x = 1$，且$(2026 - x)(2025 - x) = 20$，
$\therefore (2026 - x)^2 + (2025 - x)^2$
$=[(2026 - x) - (2025 - x)]^2 + 2(2026 - x)(2025 - x)$
$=1^2 + 2×20$
$=1 + 40$
$=41$。
【答案】
(1) $27$；(2) $41$
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题核心是灵活运用完全平方公式的变形，解题时不需要求出单个字母的值，尤其是第二问通过整体代换的思想可大幅简化运算，熟练掌握乘法公式的常用变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
1. 已知$(a-2030)^2 + (2031 - a)^2 = 100$，求$(a-2030)(a-2031)$的值.
2.(1)从图1至图3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于$a,b$的等量关系是.
(2)尝试解决：
①若$m+n=3,m^2+n^2=8$，则$mn=$.
②若$a-3b=3,ab=2$，求$(a+3b)^2$的值.
③若$(7-x)(8-x)=6$，求$(7-x)^2 + (8-x)^2$的值.
(3)填数游戏：如图4，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于17，将每边四个数字的平方和分别记为$A,B,C$，已知$A+B+C=299$.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x,y,x+y$，求$xy$的值.
2.(1)从图1至图3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于$a,b$的等量关系是.
(2)尝试解决：
①若$m+n=3,m^2+n^2=8$，则$mn=$.
②若$a-3b=3,ab=2$，求$(a+3b)^2$的值.
③若$(7-x)(8-x)=6$，求$(7-x)^2 + (8-x)^2$的值.
(3)填数游戏：如图4，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于17，将每边四个数字的平方和分别记为$A,B,C$，已知$A+B+C=299$.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x,y,x+y$，求$xy$的值.
答案
第1题
解：由完全平方公式可得：
$[(a-2030)+(2031-a)]^2 = 1^2 = 1$
展开左边得：
$(a-2030)^2 + 2(a-2030)(2031-a) + (2031-a)^2 = 1$
将$(a-2030)^2 + (2031-a)^2 = 100$代入上式：
$100 + 2(a-2030)(2031-a) = 1$
解得：$(a-2030)(2031-a) = -\frac{99}{2}$
又$(a-2030)(a-2031) = (a-2030)·[(a-2030)-1] = -(a-2030)(2031-a)$
因此：
$(a-2030)(a-2031) = \frac{99}{2}$
---
第2题
(1) 选择图2计算，阴影部分面积为$(a-b)^2$，也可表示为$a^2-2ab+b^2$，得到等量关系：
$\boldsymbol{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$
（注：选择图1可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，选择图3可得$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，均正确）
(2) ① 由$m+n=3$，两边平方得：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 9$
代入$m^2+n^2=8$，得$8 + 2mn =9$，解得$mn=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
② 解：将$a-3b=3$两边平方：
$(a-3b)^2 = a^2 -6ab +9b^2 =9$
代入$ab=2$，得$a^2 +9b^2 = 9 +6×2 = 21$
因此：
$(a+3b)^2 = a^2 +6ab +9b^2 = 21 + 6×2 = 33$
③ 解：设$p=7-x$，$q=8-x$，则$q-p=1$，$pq=6$。
由完全平方公式：
$(q-p)^2 = q^2 -2pq +p^2 =1$
代入$pq=6$，得：
$p^2 + q^2 = 1 + 2pq = 1 + 12 =13$
即$(7-x)^2 + (8-x)^2 =13$。
(3) 解：1~9所有数字的和为$1+2+\dots+9=45$，所有数字的平方和为$1^2+2^2+\dots+9^2=285$。
已知三边数字和均为17，三边总和为$17×3=51$，三个顶点的数字各被计算2次，其余数字各计算1次，因此：
$x + y + (x+y) = 51 - 45 =6$
化简得$x+y=3$。
又$A+B+C=299$，三边平方和中三个顶点的平方各被计算2次，其余数字平方各计算1次，因此：
$285 + x^2 + y^2 + (x+y)^2 = 299$
代入$x+y=3$，得$x^2 + y^2 + 9 =14$，即$x^2 + y^2=5$。
由完全平方公式$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，代入得：
$3^2 = 5 + 2xy$
解得$2xy=4$，即$xy=2$。
解：由完全平方公式可得：
$[(a-2030)+(2031-a)]^2 = 1^2 = 1$
展开左边得：
$(a-2030)^2 + 2(a-2030)(2031-a) + (2031-a)^2 = 1$
将$(a-2030)^2 + (2031-a)^2 = 100$代入上式：
$100 + 2(a-2030)(2031-a) = 1$
解得：$(a-2030)(2031-a) = -\frac{99}{2}$
又$(a-2030)(a-2031) = (a-2030)·[(a-2030)-1] = -(a-2030)(2031-a)$
因此：
$(a-2030)(a-2031) = \frac{99}{2}$
---
第2题
(1) 选择图2计算，阴影部分面积为$(a-b)^2$，也可表示为$a^2-2ab+b^2$，得到等量关系：
$\boldsymbol{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$
（注：选择图1可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，选择图3可得$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，均正确）
(2) ① 由$m+n=3$，两边平方得：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 9$
代入$m^2+n^2=8$，得$8 + 2mn =9$，解得$mn=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
② 解：将$a-3b=3$两边平方：
$(a-3b)^2 = a^2 -6ab +9b^2 =9$
代入$ab=2$，得$a^2 +9b^2 = 9 +6×2 = 21$
因此：
$(a+3b)^2 = a^2 +6ab +9b^2 = 21 + 6×2 = 33$
③ 解：设$p=7-x$，$q=8-x$，则$q-p=1$，$pq=6$。
由完全平方公式：
$(q-p)^2 = q^2 -2pq +p^2 =1$
代入$pq=6$，得：
$p^2 + q^2 = 1 + 2pq = 1 + 12 =13$
即$(7-x)^2 + (8-x)^2 =13$。
(3) 解：1~9所有数字的和为$1+2+\dots+9=45$，所有数字的平方和为$1^2+2^2+\dots+9^2=285$。
已知三边数字和均为17，三边总和为$17×3=51$，三个顶点的数字各被计算2次，其余数字各计算1次，因此：
$x + y + (x+y) = 51 - 45 =6$
化简得$x+y=3$。
又$A+B+C=299$，三边平方和中三个顶点的平方各被计算2次，其余数字平方各计算1次，因此：
$285 + x^2 + y^2 + (x+y)^2 = 299$
代入$x+y=3$，得$x^2 + y^2 + 9 =14$，即$x^2 + y^2=5$。
由完全平方公式$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，代入得：
$3^2 = 5 + 2xy$
解得$2xy=4$，即$xy=2$。
解析
【分析】
本组题目均围绕完全平方公式的变形应用设计，解题思路清晰可寻：
1. 第1题及2(2)类代数求值题，核心是利用完全平方公式“$(m±n)^2=m²±2mn+n²$”，已知其中两个量即可推导第三个量，遇到结构复杂的式子可通过换元法简化，注意符号转换避免出错；
2. 2(1)的几何题，通过“直接算阴影面积”和“大图形面积减空白面积”两种方法表示同一阴影面积，即可得到对应的乘法公式等量关系；
3. 2(3)的填数题，先利用三边和与1~9总数字和的差，算出重复计算的顶点数字之和，再利用三边平方和与1~9总平方和的差，得到顶点数字的平方和，最后代入完全平方公式即可求出$xy$。
【解析】
第1题
由完全平方公式可得：
$[(a-2030)+(2031-a)]^2 = 1^2 = 1$
展开左边得：
$(a-2030)^2 + 2(a-2030)(2031-a) + (2031-a)^2 = 1$
将$(a-2030)^2 + (2031-a)^2 = 100$代入上式：
$100 + 2(a-2030)(2031-a) = 1$
解得：$(a-2030)(2031-a) = -\frac{99}{2}$
又$(a-2030)(a-2031) = (a-2030)·[(a-2030)-1] = -(a-2030)(2031-a)$
因此：
$(a-2030)(a-2031) = \frac{99}{2}$
---
第2题
(1) 选择图2计算，阴影部分面积为$(a-b)^2$，也可表示为$a^2-2ab+b^2$，得到等量关系：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
（注：选择图1可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，选择图3可得$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，均正确）
(2) ① 由$m+n=3$，两边平方得：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 9$
代入$m^2+n^2=8$，得$8 + 2mn =9$，解得$mn=\frac{1}{2}$。
② 解：将$a-3b=3$两边平方：
$(a-3b)^2 = a^2 -6ab +9b^2 =9$
代入$ab=2$，得$a^2 +9b^2 = 9 +6×2 = 21$
因此：
$(a+3b)^2 = a^2 +6ab +9b^2 = 21 + 6×2 = 33$
③ 解：设$p=7-x$，$q=8-x$，则$q-p=1$，$pq=6$。
由完全平方公式：
$(q-p)^2 = q^2 -2pq +p^2 =1$
代入$pq=6$，得：
$p^2 + q^2 = 1 + 2pq = 1 + 12 =13$
即$(7-x)^2 + (8-x)^2 =13$。
(3) 解：1~9所有数字的和为$1+2+\dots+9=45$，所有数字的平方和为$1^2+2^2+\dots+9^2=285$。
已知三边数字和均为17，三边总和为$17×3=51$，三个顶点的数字各被计算2次，其余数字各计算1次，因此：
$x + y + (x+y) = 51 - 45 =6$
化简得$x+y=3$。
又$A+B+C=299$，三边平方和中三个顶点的平方各被计算2次，其余数字平方各计算1次，因此：
$285 + x^2 + y^2 + (x+y)^2 = 299$
代入$x+y=3$，得$x^2 + y^2 + 9 =14$，即$x^2 + y^2=5$。
由完全平方公式$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，代入得：
$3^2 = 5 + 2xy$
解得$2xy=4$，即$xy=2$。
【答案】
第1题：$\frac{99}{2}$
第2题(1)：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（或$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，对应所选图形即可）
(2) ①$\frac{1}{2}$；②$33$；③$13$
(3) $2$
【知识点】
1. 完全平方公式变形应用
2. 数形结合验证乘法公式
3. 整式化简求值
【点评】
本套题侧重考查完全平方公式的灵活运用，换元法可有效简化复杂算式的计算，几何题体现了数形结合的思想，填数题需要先梳理出重复计算的部分，再结合代数公式推导，能较好地锻炼学生的逻辑推导与知识迁移能力。
【难度系数】
0.65
本组题目均围绕完全平方公式的变形应用设计，解题思路清晰可寻：
1. 第1题及2(2)类代数求值题，核心是利用完全平方公式“$(m±n)^2=m²±2mn+n²$”，已知其中两个量即可推导第三个量，遇到结构复杂的式子可通过换元法简化，注意符号转换避免出错；
2. 2(1)的几何题，通过“直接算阴影面积”和“大图形面积减空白面积”两种方法表示同一阴影面积，即可得到对应的乘法公式等量关系；
3. 2(3)的填数题，先利用三边和与1~9总数字和的差，算出重复计算的顶点数字之和，再利用三边平方和与1~9总平方和的差，得到顶点数字的平方和，最后代入完全平方公式即可求出$xy$。
【解析】
第1题
由完全平方公式可得：
$[(a-2030)+(2031-a)]^2 = 1^2 = 1$
展开左边得：
$(a-2030)^2 + 2(a-2030)(2031-a) + (2031-a)^2 = 1$
将$(a-2030)^2 + (2031-a)^2 = 100$代入上式：
$100 + 2(a-2030)(2031-a) = 1$
解得：$(a-2030)(2031-a) = -\frac{99}{2}$
又$(a-2030)(a-2031) = (a-2030)·[(a-2030)-1] = -(a-2030)(2031-a)$
因此：
$(a-2030)(a-2031) = \frac{99}{2}$
---
第2题
(1) 选择图2计算，阴影部分面积为$(a-b)^2$，也可表示为$a^2-2ab+b^2$，得到等量关系：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
（注：选择图1可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，选择图3可得$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，均正确）
(2) ① 由$m+n=3$，两边平方得：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 9$
代入$m^2+n^2=8$，得$8 + 2mn =9$，解得$mn=\frac{1}{2}$。
② 解：将$a-3b=3$两边平方：
$(a-3b)^2 = a^2 -6ab +9b^2 =9$
代入$ab=2$，得$a^2 +9b^2 = 9 +6×2 = 21$
因此：
$(a+3b)^2 = a^2 +6ab +9b^2 = 21 + 6×2 = 33$
③ 解：设$p=7-x$，$q=8-x$，则$q-p=1$，$pq=6$。
由完全平方公式：
$(q-p)^2 = q^2 -2pq +p^2 =1$
代入$pq=6$，得：
$p^2 + q^2 = 1 + 2pq = 1 + 12 =13$
即$(7-x)^2 + (8-x)^2 =13$。
(3) 解：1~9所有数字的和为$1+2+\dots+9=45$，所有数字的平方和为$1^2+2^2+\dots+9^2=285$。
已知三边数字和均为17，三边总和为$17×3=51$，三个顶点的数字各被计算2次，其余数字各计算1次，因此：
$x + y + (x+y) = 51 - 45 =6$
化简得$x+y=3$。
又$A+B+C=299$，三边平方和中三个顶点的平方各被计算2次，其余数字平方各计算1次，因此：
$285 + x^2 + y^2 + (x+y)^2 = 299$
代入$x+y=3$，得$x^2 + y^2 + 9 =14$，即$x^2 + y^2=5$。
由完全平方公式$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，代入得：
$3^2 = 5 + 2xy$
解得$2xy=4$，即$xy=2$。
【答案】
第1题：$\frac{99}{2}$
第2题(1)：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（或$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，对应所选图形即可）
(2) ①$\frac{1}{2}$；②$33$；③$13$
(3) $2$
【知识点】
1. 完全平方公式变形应用
2. 数形结合验证乘法公式
3. 整式化简求值
【点评】
本套题侧重考查完全平方公式的灵活运用，换元法可有效简化复杂算式的计算，几何题体现了数形结合的思想，填数题需要先梳理出重复计算的部分，再结合代数公式推导，能较好地锻炼学生的逻辑推导与知识迁移能力。
【难度系数】
0.65
例 我们已学习了完全平方公式：
$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，观察下列式子：
$x^2+4x+2=(x+2)^2-2≥-2$；$-x^2+2x-3=-(x-1)^2-2≤-2$，并回答下列问题.
(1)$-2x^2-4x+1=-2(x+m)^2+n≤ n$，
则$m=$，$n=$；
(2)解决实际问题:如图,在紧靠围墙的空地上,利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块长方形花圃,为了设计一个面积尽可能大的花圃,按图设长方形一边长度为$x$米,回答下列问题:
①列式:用含$x$的式子表示花圃的面积:；
②请说明当$x$取何值时,花圃的最大面积是多少平方米?
解:(1)$-2x^2-4x+1$
$=-2(x^2+2x+1-1)+1$
$=-2(x+1)^2+3$，
$\because -2x^2-4x+1=-2(x+m)^2+n≤ n$，
$\therefore m=1,n=3$；故答案为$1,3$；
(2)①花圃的面积:$x(60-2x)$；
故答案为$x(60-2x)$；
②由①可知:$x(60-2x)=-2(x-15)^2+450$，
当$x=15$时,花圃的最大面积为450平方米.
$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，观察下列式子：
$x^2+4x+2=(x+2)^2-2≥-2$；$-x^2+2x-3=-(x-1)^2-2≤-2$，并回答下列问题.
(1)$-2x^2-4x+1=-2(x+m)^2+n≤ n$，
则$m=$，$n=$；
(2)解决实际问题:如图,在紧靠围墙的空地上,利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块长方形花圃,为了设计一个面积尽可能大的花圃,按图设长方形一边长度为$x$米,回答下列问题:
①列式:用含$x$的式子表示花圃的面积:；
②请说明当$x$取何值时,花圃的最大面积是多少平方米?
解:(1)$-2x^2-4x+1$
$=-2(x^2+2x+1-1)+1$
$=-2(x+1)^2+3$，
$\because -2x^2-4x+1=-2(x+m)^2+n≤ n$，
$\therefore m=1,n=3$；故答案为$1,3$；
(2)①花圃的面积:$x(60-2x)$；
故答案为$x(60-2x)$；
②由①可知:$x(60-2x)=-2(x-15)^2+450$，
当$x=15$时,花圃的最大面积为450平方米.
答案
解：
(1)
$-2x^2 -4x +1$
$=-2(x^2 + 2x) +1$
$=-2(x^2 + 2x +1 -1) +1$
$=-2(x+1)^2 + 2 +1$
$=-2(x+1)^2 +3$
$\because -2x^2 -4x +1 = -2(x+m)^2 +n$
$\therefore m=1,\ n=3$
(2) ① 花圃的面积为$x(60-2x)$平方米。
②
$x(60-2x) = -2x^2 +60x$
$=-2(x^2 -30x)$
$=-2(x^2 -30x +15^2 -15^2)$
$=-2(x-15)^2 + 450$
$\because (x-15)^2 \ge 0$
$\therefore -2(x-15)^2 \le 0$
$\therefore -2(x-15)^2 +450 \le 450$
当$x=15$时，花圃的面积取得最大值。
答：当$x=15$时，花圃的最大面积是450平方米。
(1)
$-2x^2 -4x +1$
$=-2(x^2 + 2x) +1$
$=-2(x^2 + 2x +1 -1) +1$
$=-2(x+1)^2 + 2 +1$
$=-2(x+1)^2 +3$
$\because -2x^2 -4x +1 = -2(x+m)^2 +n$
$\therefore m=1,\ n=3$
(2) ① 花圃的面积为$x(60-2x)$平方米。
②
$x(60-2x) = -2x^2 +60x$
$=-2(x^2 -30x)$
$=-2(x^2 -30x +15^2 -15^2)$
$=-2(x-15)^2 + 450$
$\because (x-15)^2 \ge 0$
$\therefore -2(x-15)^2 \le 0$
$\therefore -2(x-15)^2 +450 \le 450$
当$x=15$时，花圃的面积取得最大值。
答：当$x=15$时，花圃的最大面积是450平方米。
解析
【分析】
(1) 本小问利用配方法将二次三项式变形为指定的顶点式，解题思路为：先提取二次项系数，再对括号内的式子凑完全平方（加一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变），整理后对比题干给出的形式即可求出m、n的值。
(2) ① 先分析长方形边长：垂直于围墙的边长为x米，木栅栏总长60米，因此平行于围墙的边长为(60-2x)米，根据长方形面积=长×宽即可列出面积表达式。
② 求面积最大值时，将①得到的面积代数式用配方法变形为顶点式，结合平方的非负性，即可求出面积的最大值及对应的x取值。
【解析】
(1) 对$-2x^2 -4x +1$配方：
$\begin{aligned}-2x^2 -4x +1&=-2(x^2 + 2x) +1\\&=-2(x^2 + 2x +1 -1) +1\\&=-2(x+1)^2 + 2 +1\\&=-2(x+1)^2 +3\end{aligned}$
对比$-2(x+m)^2 +n$的形式，可得$m=1,\ n=3$。
(2) ① 已知垂直围墙的边长为x米，平行围墙的边长为$(60-2x)$米，因此花圃面积为长乘宽，即$x(60-2x)$平方米。
② 对面积表达式配方求最值：
$\begin{aligned}x(60-2x) &= -2x^2 +60x\\&=-2(x^2 -30x)\\&=-2(x^2 -30x +15^2 -15^2)\\&=-2(x-15)^2 + 450\end{aligned}$
根据平方的非负性可得$(x-15)^2 \ge 0$，因此$-2(x-15)^2 \le 0$，进一步可得$-2(x-15)^2 +450 \le 450$，当且仅当$(x-15)^2=0$即$x=15$时，等号成立，此时面积取得最大值450平方米。
【答案】
(1) $1$，$3$；
(2) ① $x(60-2x)$；
② 当$x=15$时，花圃的最大面积是450平方米。
【知识点】
配方法，列代数式，二次式最值
【点评】
本题将配方法的应用和实际面积最值问题结合，既考查了完全平方公式的变形能力，也考查了数学知识的实际应用能力，解题核心是熟练掌握配方法的步骤，同时要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 本小问利用配方法将二次三项式变形为指定的顶点式，解题思路为：先提取二次项系数，再对括号内的式子凑完全平方（加一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变），整理后对比题干给出的形式即可求出m、n的值。
(2) ① 先分析长方形边长：垂直于围墙的边长为x米，木栅栏总长60米，因此平行于围墙的边长为(60-2x)米，根据长方形面积=长×宽即可列出面积表达式。
② 求面积最大值时，将①得到的面积代数式用配方法变形为顶点式，结合平方的非负性，即可求出面积的最大值及对应的x取值。
【解析】
(1) 对$-2x^2 -4x +1$配方：
$\begin{aligned}-2x^2 -4x +1&=-2(x^2 + 2x) +1\\&=-2(x^2 + 2x +1 -1) +1\\&=-2(x+1)^2 + 2 +1\\&=-2(x+1)^2 +3\end{aligned}$
对比$-2(x+m)^2 +n$的形式，可得$m=1,\ n=3$。
(2) ① 已知垂直围墙的边长为x米，平行围墙的边长为$(60-2x)$米，因此花圃面积为长乘宽，即$x(60-2x)$平方米。
② 对面积表达式配方求最值：
$\begin{aligned}x(60-2x) &= -2x^2 +60x\\&=-2(x^2 -30x)\\&=-2(x^2 -30x +15^2 -15^2)\\&=-2(x-15)^2 + 450\end{aligned}$
根据平方的非负性可得$(x-15)^2 \ge 0$，因此$-2(x-15)^2 \le 0$，进一步可得$-2(x-15)^2 +450 \le 450$，当且仅当$(x-15)^2=0$即$x=15$时，等号成立，此时面积取得最大值450平方米。
【答案】
(1) $1$，$3$；
(2) ① $x(60-2x)$；
② 当$x=15$时，花圃的最大面积是450平方米。
【知识点】
配方法，列代数式，二次式最值
【点评】
本题将配方法的应用和实际面积最值问题结合，既考查了完全平方公式的变形能力，也考查了数学知识的实际应用能力，解题核心是熟练掌握配方法的步骤，同时要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
