登录
1.将二次三项式$m^2 -4m +3$进行配方，正确的结果是（）
A.$(m+2)^2 -1$
B.$(m-2)^2 -1$
C.$(m+2)^2 +3$
D.$(m-2)^2 +3$
A.$(m+2)^2 -1$
B.$(m-2)^2 -1$
C.$(m+2)^2 +3$
D.$(m-2)^2 +3$
答案
B
解析
【分析】
要对二次三项式进行配方，首先明确配方的核心思路：对于二次项系数为1的二次三项式，先提取前两项，加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，再减去这个新增的数保证原式的值不变，最后整理即可得到配方结果。本题中二次项系数为1，只需按上述步骤处理$m^2 -4m +3$即可。
【解析】
对$m^2 -4m +3$进行配方：
1. 计算一次项系数一半的平方：一次项系数为$-4$，一半是$-2$，平方为$(-2)^2=4$；
2. 凑完全平方式并保持式子值不变：
$\begin{aligned}m^2 -4m +3&=(m^2 -4m +4) -4 +3\\&=(m-2)^2 -1\end{aligned}$
对比选项，B选项符合结果。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征，尤其要注意一次项系数的符号，避免符号混淆导致错误。
【难度系数】
0.85
要对二次三项式进行配方，首先明确配方的核心思路：对于二次项系数为1的二次三项式，先提取前两项，加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，再减去这个新增的数保证原式的值不变，最后整理即可得到配方结果。本题中二次项系数为1，只需按上述步骤处理$m^2 -4m +3$即可。
【解析】
对$m^2 -4m +3$进行配方：
1. 计算一次项系数一半的平方：一次项系数为$-4$，一半是$-2$，平方为$(-2)^2=4$；
2. 凑完全平方式并保持式子值不变：
$\begin{aligned}m^2 -4m +3&=(m^2 -4m +4) -4 +3\\&=(m-2)^2 -1\end{aligned}$
对比选项，B选项符合结果。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征，尤其要注意一次项系数的符号，避免符号混淆导致错误。
【难度系数】
0.85
2. $x,y$为实数,整式$x^2 + y^2 -4x +6y$的最小值是()
A.$-13$
B.$-4$
C.$-9$
D.$-5$
A.$-13$
B.$-4$
C.$-9$
D.$-5$
答案
A
解析
【分析】
本题是求含两个变量的二次整式的最小值，可利用配方法求解：首先将原式中含x的项、含y的项分别分组，再根据完全平方公式对两组分别配方，将原式转化为“几个完全平方式+常数”的形式，最后结合平方的非负性（任意实数的平方大于等于0），即可求出整式的最小值。
【解析】
先对原式分组、配方：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 -4x +6y&=(x^2 -4x)+(y^2 +6y)\\&=(x^2 -4x +4 -4)+(y^2 +6y +9 -9)\\&=(x-2)^2 -4 + (y+3)^2 -9\\&=(x-2)^2 + (y+3)^2 -13\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，因此$(x-2)^2 + (y+3)^2$的最小值为0。
当$(x-2)^2 + (y+3)^2=0$时，原式取得最小值：$0-13=-13$。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是将原式拆分配凑为完全平方的形式，再结合平方的非负性求最值，需要注意配方时要保证原式的值不变，多加的常数要对应减去。
【难度系数】
0.7
本题是求含两个变量的二次整式的最小值，可利用配方法求解：首先将原式中含x的项、含y的项分别分组，再根据完全平方公式对两组分别配方，将原式转化为“几个完全平方式+常数”的形式，最后结合平方的非负性（任意实数的平方大于等于0），即可求出整式的最小值。
【解析】
先对原式分组、配方：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 -4x +6y&=(x^2 -4x)+(y^2 +6y)\\&=(x^2 -4x +4 -4)+(y^2 +6y +9 -9)\\&=(x-2)^2 -4 + (y+3)^2 -9\\&=(x-2)^2 + (y+3)^2 -13\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，因此$(x-2)^2 + (y+3)^2$的最小值为0。
当$(x-2)^2 + (y+3)^2=0$时，原式取得最小值：$0-13=-13$。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是将原式拆分配凑为完全平方的形式，再结合平方的非负性求最值，需要注意配方时要保证原式的值不变，多加的常数要对应减去。
【难度系数】
0.7
3. 关于x的二次三项式$x^2 + 10x + n$有最小值$-10$，则常数$n=$。
答案
解：对二次三项式配方，得
$x^2 + 10x + n = x^2 + 10x + 25 + n - 25 = (x+5)^2 + (n-25)$
$\because (x+5)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 该二次三项式的最小值为 $n-25$，
由题意得 $n - 25 = -10$，
解得 $n = 15$。
$x^2 + 10x + n = x^2 + 10x + 25 + n - 25 = (x+5)^2 + (n-25)$
$\because (x+5)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 该二次三项式的最小值为 $n-25$，
由题意得 $n - 25 = -10$，
解得 $n = 15$。
解析
【分析】
这是一道二次三项式求最值的问题，解题思路如下：首先，该二次三项式的二次项系数为正数，对应的抛物线开口向上，存在最小值；我们可以通过配方法把原式转化为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0），就能得到这个二次三项式的最小值表达式，再结合题目给出的最小值为-10，列方程即可求出n的值。
【解析】
对二次三项式配方，得
$x^2 + 10x + n = x^2 + 10x + 25 + n - 25 = (x+5)^2 + (n-25)$
$\because (x+5)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 该二次三项式的最小值为 $n-25$，
由题意得 $n - 25 = -10$，
解得 $n = 15$。
【答案】
15
【知识点】
配方法的应用；平方的非负性；二次式最值求解
【点评】
本题是二次式最值的基础常考题，核心考查配方法的操作以及完全平方非负性的应用，只要熟练掌握配方法的步骤，就能快速找到最值对应的常数项，进而求解未知参数。
【难度系数】
0.8
这是一道二次三项式求最值的问题，解题思路如下：首先，该二次三项式的二次项系数为正数，对应的抛物线开口向上，存在最小值；我们可以通过配方法把原式转化为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0），就能得到这个二次三项式的最小值表达式，再结合题目给出的最小值为-10，列方程即可求出n的值。
【解析】
对二次三项式配方，得
$x^2 + 10x + n = x^2 + 10x + 25 + n - 25 = (x+5)^2 + (n-25)$
$\because (x+5)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 该二次三项式的最小值为 $n-25$，
由题意得 $n - 25 = -10$，
解得 $n = 15$。
【答案】
15
【知识点】
配方法的应用；平方的非负性；二次式最值求解
【点评】
本题是二次式最值的基础常考题，核心考查配方法的操作以及完全平方非负性的应用，只要熟练掌握配方法的步骤，就能快速找到最值对应的常数项，进而求解未知参数。
【难度系数】
0.8
4.已知$a^2 + b^2 + c^2 - 2a + 4b - 6c + 14 = 0$，则$a + b + c =$。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
观察已知等式的结构，包含a、b、c的平方项、一次项及常数项，可通过配方法将式子转化为几个完全平方的和的形式。解题时先把常数14拆分为1、4、9三个数，分别与对应的二次项、一次项组合成完全平方公式，再利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质，分别求出a、b、c的值，最后计算a+b+c的结果即可。
【解析】
对已知等式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + c^2 - 2a + 4b - 6c + 14 &= 0\\(a^2 -2a +1) + (b^2 +4b +4) + (c^2 -6c +9) &= 0\\(a-1)^2 + (b+2)^2 + (c-3)^2 &= 0\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(a-1)^2≥0$，$(b+2)^2≥0$，$(c-3)^2≥0$，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$a-1=0$，解得$a=1$；
$b+2=0$，解得$b=-2$；
$c-3=0$，解得$c=3$。
代入计算得：$a+b+c=1+(-2)+3=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是代数基础题型，核心考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是合理拆分常数项，凑出完全平方式，熟练掌握配方法的技巧可以快速解决此类多字母平方和类的求值问题。
【难度系数】
0.7
观察已知等式的结构，包含a、b、c的平方项、一次项及常数项，可通过配方法将式子转化为几个完全平方的和的形式。解题时先把常数14拆分为1、4、9三个数，分别与对应的二次项、一次项组合成完全平方公式，再利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质，分别求出a、b、c的值，最后计算a+b+c的结果即可。
【解析】
对已知等式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + c^2 - 2a + 4b - 6c + 14 &= 0\\(a^2 -2a +1) + (b^2 +4b +4) + (c^2 -6c +9) &= 0\\(a-1)^2 + (b+2)^2 + (c-3)^2 &= 0\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(a-1)^2≥0$，$(b+2)^2≥0$，$(c-3)^2≥0$，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$a-1=0$，解得$a=1$；
$b+2=0$，解得$b=-2$；
$c-3=0$，解得$c=3$。
代入计算得：$a+b+c=1+(-2)+3=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是代数基础题型，核心考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是合理拆分常数项，凑出完全平方式，熟练掌握配方法的技巧可以快速解决此类多字母平方和类的求值问题。
【难度系数】
0.7
5.(1)已知$x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0$，求$x^2 + y^2$的值；
(2)已知等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足$a^2 + b^2 + 45 = 12a + 6b$，求$△ ABC$的周长。
(2)已知等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足$a^2 + b^2 + 45 = 12a + 6b$，求$△ ABC$的周长。
答案
解：(1)
将已知等式整理变形：
$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 + 4y + 4 = 0$
由完全平方公式得：
$(x-y)^2 + (y+2)^2 = 0$
∵ $(x-y)^2 ≥ 0$，$(y+2)^2 ≥ 0$
∴ $x-y=0$，$y+2=0$
解得 $x=-2$，$y=-2$
∴ $x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 8$
(2)
将已知等式移项整理变形：
$a^2 - 12a + 36 + b^2 - 6b + 9 = 0$
由完全平方公式得：
$(a-6)^2 + (b-3)^2 = 0$
∵ $(a-6)^2 ≥ 0$，$(b-3)^2 ≥ 0$
∴ $a-6=0$，$b-3=0$
解得 $a=6$，$b=3$
∵ △ABC是等腰三角形：
若腰长为3，三边长为3,3,6，$3+3=6$，不满足三角形三边关系，舍去；
若腰长为6，三边长为3,6,6，满足三角形三边关系，
∴ △ABC的周长为$3+6+6=15$
将已知等式整理变形：
$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 + 4y + 4 = 0$
由完全平方公式得：
$(x-y)^2 + (y+2)^2 = 0$
∵ $(x-y)^2 ≥ 0$，$(y+2)^2 ≥ 0$
∴ $x-y=0$，$y+2=0$
解得 $x=-2$，$y=-2$
∴ $x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 8$
(2)
将已知等式移项整理变形：
$a^2 - 12a + 36 + b^2 - 6b + 9 = 0$
由完全平方公式得：
$(a-6)^2 + (b-3)^2 = 0$
∵ $(a-6)^2 ≥ 0$，$(b-3)^2 ≥ 0$
∴ $a-6=0$，$b-3=0$
解得 $a=6$，$b=3$
∵ △ABC是等腰三角形：
若腰长为3，三边长为3,3,6，$3+3=6$，不满足三角形三边关系，舍去；
若腰长为6，三边长为3,6,6，满足三角形三边关系，
∴ △ABC的周长为$3+6+6=15$
解析
【分析】
两小问均采用配方法解题，先将已知等式拆分为完全平方式相加的形式，再利用“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质求解未知量。(1)求出x、y的值后代入代数式直接计算即可；(2)求出a、b的值后，结合等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论三边长，再根据三角形三边关系验证边长组合是否合法，舍去不符合条件的情况后计算周长。
【解析】
(1) 对已知等式变形拆分：
$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 + 4y + 4 = 0$
由完全平方公式整理得：
$(x-y)^2 + (y+2)^2 = 0$
∵ 平方具有非负性，即$(x-y)^2 ≥ 0$，$(y+2)^2 ≥ 0$
∴ $x-y=0$，$y+2=0$
解得 $x=-2$，$y=-2$
代入得$x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 8$
(2) 将已知等式移项后配方：
$a^2 - 12a + 36 + b^2 - 6b + 9 = 0$
由完全平方公式整理得：
$(a-6)^2 + (b-3)^2 = 0$
∵ 平方具有非负性，即$(a-6)^2 ≥ 0$，$(b-3)^2 ≥ 0$
∴ $a-6=0$，$b-3=0$
解得 $a=6$，$b=3$
∵ △ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：
① 若腰长为3，三边长为3、3、6，$3+3=6$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 若腰长为6，三边长为3、6、6，满足三角形三边关系，
此时周长为$3+6+6=15$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{15}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查配方法的灵活运用和非负性的应用，第二问需要注意分类讨论后必须验证三边是否符合三角形构成条件，避免出现多解错误，对解题思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.7
两小问均采用配方法解题，先将已知等式拆分为完全平方式相加的形式，再利用“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质求解未知量。(1)求出x、y的值后代入代数式直接计算即可；(2)求出a、b的值后，结合等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论三边长，再根据三角形三边关系验证边长组合是否合法，舍去不符合条件的情况后计算周长。
【解析】
(1) 对已知等式变形拆分：
$x^2 - 2xy + y^2 + y^2 + 4y + 4 = 0$
由完全平方公式整理得：
$(x-y)^2 + (y+2)^2 = 0$
∵ 平方具有非负性，即$(x-y)^2 ≥ 0$，$(y+2)^2 ≥ 0$
∴ $x-y=0$，$y+2=0$
解得 $x=-2$，$y=-2$
代入得$x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 8$
(2) 将已知等式移项后配方：
$a^2 - 12a + 36 + b^2 - 6b + 9 = 0$
由完全平方公式整理得：
$(a-6)^2 + (b-3)^2 = 0$
∵ 平方具有非负性，即$(a-6)^2 ≥ 0$，$(b-3)^2 ≥ 0$
∴ $a-6=0$，$b-3=0$
解得 $a=6$，$b=3$
∵ △ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：
① 若腰长为3，三边长为3、3、6，$3+3=6$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 若腰长为6，三边长为3、6、6，满足三角形三边关系，
此时周长为$3+6+6=15$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{15}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查配方法的灵活运用和非负性的应用，第二问需要注意分类讨论后必须验证三边是否符合三角形构成条件，避免出现多解错误，对解题思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.7
6. 阅读以下材料并解决问题：
①若 $ a - b ≥ 0 $，则 $ a ≥ b $；若 $ a - b ≤ 0 $，则 $ a ≤ b $；
②$\because x^2 + 6x + 10 = (x + 3)^2 + 1$，$\therefore x^2 + 6x + 10$有最小值1；
③$\because 2x^2 - 8x - 1 = 2(x - 2)^2 - 9$，$\therefore 2x^2 - 8x - 1$有最小值$-9$。
(1)求 $ x^2 + 6x + 1 $ 的最小值；
(2)已知 $ P = 2x^2 - 1 $，$ Q = x^2 + 6x - 13 $，比较 $ P $ 与 $ Q $ 的大小。
①若 $ a - b ≥ 0 $，则 $ a ≥ b $；若 $ a - b ≤ 0 $，则 $ a ≤ b $；
②$\because x^2 + 6x + 10 = (x + 3)^2 + 1$，$\therefore x^2 + 6x + 10$有最小值1；
③$\because 2x^2 - 8x - 1 = 2(x - 2)^2 - 9$，$\therefore 2x^2 - 8x - 1$有最小值$-9$。
(1)求 $ x^2 + 6x + 1 $ 的最小值；
(2)已知 $ P = 2x^2 - 1 $，$ Q = x^2 + 6x - 13 $，比较 $ P $ 与 $ Q $ 的大小。
答案
解：
(1) 对$x^2 + 6x + 1$配方得：
$x^2 + 6x + 1 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 1 = (x+3)^2 - 8$
$\because (x+3)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x+3)^2 - 8 ≥ -8$，
$\therefore x^2 + 6x + 1$的最小值为$-8$。
(2) 计算$P - Q$：
$P - Q = (2x^2 - 1) - (x^2 + 6x - 13)$
$= 2x^2 - 1 - x^2 - 6x + 13$
$= x^2 - 6x + 12$
配方得：$x^2 - 6x + 12 = (x-3)^2 + 3$
$\because (x-3)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x-3)^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，即$P - Q ＞ 0$，
$\therefore P ＞ Q$。
(1) 对$x^2 + 6x + 1$配方得：
$x^2 + 6x + 1 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 1 = (x+3)^2 - 8$
$\because (x+3)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x+3)^2 - 8 ≥ -8$，
$\therefore x^2 + 6x + 1$的最小值为$-8$。
(2) 计算$P - Q$：
$P - Q = (2x^2 - 1) - (x^2 + 6x - 13)$
$= 2x^2 - 1 - x^2 - 6x + 13$
$= x^2 - 6x + 12$
配方得：$x^2 - 6x + 12 = (x-3)^2 + 3$
$\because (x-3)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x-3)^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，即$P - Q ＞ 0$，
$\therefore P ＞ Q$。
解析
【分析】
(1) 求二次三项式的最小值可参考材料给出的配方法思路：先将二次三项式通过加、减常数项凑成“完全平方+常数”的形式，再利用完全平方的非负性（平方数≥0），就能求出代数式的最小值。
(2) 比较两个代数式的大小可采用材料给出的作差法：先计算P与Q的差，再将差进行配方，通过判断差的正负确定两个代数式的大小：若差＞0则P＞Q，差＜0则P＜Q，差=0则P=Q。
【解析】
(1) 对$x^2 + 6x + 1$进行配方：
$x^2 + 6x + 1 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 1 = (x+3)^2 - 8$
$\because$ 任何实数的平方都是非负数，即$(x+3)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x+3)^2 - 8 ≥ -8$，
因此$x^2 + 6x + 1$的最小值为$-8$。
(2) 用作差法比较$P$和$Q$的大小，计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P - Q &= (2x^2 - 1) - (x^2 + 6x - 13) \\&= 2x^2 - 1 - x^2 - 6x + 13 \\&= x^2 - 6x + 12\end{aligned}$
对得到的差配方：
$x^2 - 6x + 12 = x^2 -6x +9 -9 +12 = (x-3)^2 + 3$
$\because (x-3)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x-3)^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，即$P-Q ＞ 0$，
$\therefore P ＞ Q$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{P ＞ Q}$
【知识点】
配方法的应用，偶次方的非负性，作差法比较大小
【点评】
本题属于材料阅读类基础应用题，侧重考查方法迁移能力，解题时需要灵活运用材料给出的配方法、作差法解决问题，其中准确凑完全平方是解题的关键，这两类方法也是代数运算中非常常用的基础方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
(1) 求二次三项式的最小值可参考材料给出的配方法思路：先将二次三项式通过加、减常数项凑成“完全平方+常数”的形式，再利用完全平方的非负性（平方数≥0），就能求出代数式的最小值。
(2) 比较两个代数式的大小可采用材料给出的作差法：先计算P与Q的差，再将差进行配方，通过判断差的正负确定两个代数式的大小：若差＞0则P＞Q，差＜0则P＜Q，差=0则P=Q。
【解析】
(1) 对$x^2 + 6x + 1$进行配方：
$x^2 + 6x + 1 = x^2 + 6x + 9 - 9 + 1 = (x+3)^2 - 8$
$\because$ 任何实数的平方都是非负数，即$(x+3)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x+3)^2 - 8 ≥ -8$，
因此$x^2 + 6x + 1$的最小值为$-8$。
(2) 用作差法比较$P$和$Q$的大小，计算$P-Q$：
$\begin{aligned}P - Q &= (2x^2 - 1) - (x^2 + 6x - 13) \\&= 2x^2 - 1 - x^2 - 6x + 13 \\&= x^2 - 6x + 12\end{aligned}$
对得到的差配方：
$x^2 - 6x + 12 = x^2 -6x +9 -9 +12 = (x-3)^2 + 3$
$\because (x-3)^2 ≥ 0$，
$\therefore (x-3)^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，即$P-Q ＞ 0$，
$\therefore P ＞ Q$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{P ＞ Q}$
【知识点】
配方法的应用，偶次方的非负性，作差法比较大小
【点评】
本题属于材料阅读类基础应用题，侧重考查方法迁移能力，解题时需要灵活运用材料给出的配方法、作差法解决问题，其中准确凑完全平方是解题的关键，这两类方法也是代数运算中非常常用的基础方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
