1.如图,一副三角尺按图示四个位置摆放,其中∠α与∠β一定相等的是
()


A.①②
B.②③
C.①④
D.②④

D

【分析】
解题时首先明确一副三角尺的固定角度分别为90°、60°、30°和90°、45°、45°，再依次分析四个摆放位置中∠α和∠β的和差关系，结合同角的余角相等、同角的补角相等的性质判断两角是否相等，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析四个图形：
1. 图①：三个角组成平角180°，其中中间角是三角尺的直角90°，因此$∠α+∠β+90°=180°$，可得$∠α+∠β=90°$，无法判断$∠α$与$∠β$相等，不符合要求；
2. 图②：$∠α$与两个三角尺重叠的公共角之和为90°，$∠β$与该公共角之和也为90°，根据“同角的余角相等”，可得$∠α=∠β$，符合要求；
3. 图③：分析角的和差关系可得$∠α=90°-$公共小角，$∠β=30°-$公共小角，显然$∠α≠∠β$，不符合要求；
4. 图④：$∠α$与三角尺的同一个锐角相加为180°（平角），$∠β$与该锐角相加也为180°，根据“同角的补角相等”，可得$∠α=∠β$，符合要求。
综上，$∠α$与$∠β$一定相等的是②④。
【答案】
D
【知识点】
1. 余角的性质
2. 补角的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查角的相关计算和性质，解题时需要准确识别图形中角的和差关系，熟练运用余角、补角的性质即可快速判断。
【难度系数】
0.7

2.已知∠1=28°36′，则∠1的余角是°，∠1的补角是°′。

解：
根据余角的定义，∠1的余角为：
$90° - 28°36' = 89°60' - 28°36' = 61°24'$
因为$24' = 24÷60 = 0.4°$，所以$61°24' = 61.4°$。
根据补角的定义，∠1的补角为：
$180° - 28°36' = 179°60' - 28°36' = 151°24'$
答案依次为：$\boldsymbol{61.4}$，$\boldsymbol{151}$，$\boldsymbol{24}$。

【分析】
解题首先要明确余角、补角的定义：两个角的和为90°则两角互余，和为180°则两角互补，因此求∠1的余角用90°减去∠1，求补角用180°减去∠1。计算时要注意度和分是60进制，当被减数的分不够减时，需要把1度转化为60分再计算；第一空要求结果以度为单位，计算出余角的度分结果后，还需要把分换算成度。
【解析】
根据余角的定义，∠1的余角为：
$90° - 28°36'$，因为$1°=60'$，将$90°$改写为$89°60'$，即：
$89°60' - 28°36' = 61°24'$
再将分换算为度：$24' = 24÷60 = 0.4°$，因此$61°24' = 61.4°$。
根据补角的定义，∠1的补角为：
$180° - 28°36'$，将$180°$改写为$179°60'$，即：
$179°60' - 28°36' = 151°24'$
【答案】
61.4；151；24
【知识点】
余角和补角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题属于基础题，重点考查余角、补角的概念和度分秒的运算，计算时需注意度分秒为60进制，不要误按10进制计算导致错误。
【难度系数】
0.8

3.如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠DCH互余；②∠HCG=60°；③∠ECF与∠BCH互补；④∠ACF−∠BCG=45°。
(1)其中正确的结论是（填序号）。
(2)在(1)中选择一个结论并说明理由。

解：
(1) $\boldsymbol{①③④}$
(2) 选择结论①说明理由：
因为C为直线AB上一点，所以$∠ ACD + ∠ BCD = 180°$。
因为CF平分$∠ ACD$，CH平分$∠ BCD$，
所以$∠ ACF = \frac{1}{2}∠ ACD$，$∠ DCH = \frac{1}{2}∠ BCD$。
所以$∠ ACF + ∠ DCH = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ BCD) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，
因此$∠ ACF$与$∠ DCH$互余。

【分析】
解题时先梳理已知条件：C在直线AB上可得平角∠ACB=180°，∠DCE=90°，CF、CH、CG分别平分对应角，可得到相等的分角。判断结论时，先把每个结论涉及的角用角平分线的性质表示，再结合平角、直角的性质计算角的和差，判断是否符合互余、互补、固定角度的要求即可。第(2)问选择结论说理时，按照“利用已知条件推导角的和差关系→结合角平分线性质转化角→代入计算得出结论”的步骤书写即可。
【解析】
(1)逐个分析结论：
① 因为C为直线AB上一点，所以∠ACD + ∠BCD = 180°。
因为CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，所以∠ACF = $\frac{1}{2}$∠ACD，∠DCH = $\frac{1}{2}$∠BCD。
则∠ACF + ∠DCH = $\frac{1}{2}$(∠ACD + ∠BCD) = $\frac{1}{2}$×180°=90°，所以∠ACF与∠DCH互余，①正确。
② 因为CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，所以∠HCB = $\frac{1}{2}$∠BCD，∠BCG = $\frac{1}{2}$∠BCE。
因为∠DCE=∠BCD+∠BCE=90°，所以∠HCG=∠HCB+∠BCG=$\frac{1}{2}$(∠BCD+∠BCE)=$\frac{1}{2}$×90°=45°≠60°，②错误。
③ 因为∠ECF=∠FCD + ∠DCE，∠FCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠ACD=180°-∠BCD，
所以∠ECF=$\frac{1}{2}$(180°-∠BCD)+90°=180°-$\frac{1}{2}$∠BCD。
又∠BCH=$\frac{1}{2}$∠BCD，所以∠ECF+∠BCH=180°，即∠ECF与∠BCH互补，③正确。
④ 因为∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∠ACD=180°-∠BCD，∠BCE=90°-∠BCD，
所以∠ACF-∠BCG=$\frac{1}{2}$(180°-∠BCD)-$\frac{1}{2}$(90°-∠BCD)=45°，④正确。
综上，正确的结论是①③④。
(2) 选择结论①说明理由：
因为C为直线AB上一点，所以∠ACD + ∠BCD = 180°。
因为CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，
所以∠ACF = $\frac{1}{2}$∠ACD，∠DCH = $\frac{1}{2}$∠BCD。
所以∠ACF + ∠DCH = $\frac{1}{2}$(∠ACD + ∠BCD) = $\frac{1}{2}$ × 180° = 90°，
因此∠ACF与∠DCH互余。
（也可选择其他结论，理由合理即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③④}$
(2) 示例：选择结论①，理由：因为C为直线AB上一点，所以$∠ ACD + ∠ BCD = 180°$。因为CF平分$∠ ACD$，CH平分$∠ BCD$，所以$∠ ACF = \frac{1}{2}∠ ACD$，$∠ DCH = \frac{1}{2}∠ BCD$。所以$∠ ACF + ∠ DCH = \frac{1}{2}(∠ ACD + ∠ BCD) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，因此$∠ ACF$与$∠ DCH$互余。
【知识点】
角平分线的定义，余角与补角，角的和差计算
【点评】
本题围绕角的相关性质展开，需要灵活运用角平分线的定义、平角和直角的特点进行角的转化与计算，解题时注意梳理清楚各角之间的和差关系，就能准确判断结论并完成说理。
【难度系数】
0.7

4. 提升题 如图,将一副三角尺的直角顶点叠放在一起.

【计算与观察】
(1)若$∠ DCE=35°$,则$∠ ACB=\_\_\_\_\_\_$；若$∠ ACB = 150°$,则$∠ DCE = \_\_\_\_\_\_$.
【猜想与证明】
(2)猜想$∠ ACB$与$∠ DCE$的大小有何特殊关系,并说明理由.
【拓展与运用】
(3)若$∠ DCE : ∠ ACB = 2 : 7$,求$∠ DCE$的大小.

$145°$；$30°$
(2) 猜想：$∠ ACB + ∠ DCE = 180°$，理由如下：
$\because ∠ ACD = 90°$，$∠ BCE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ DCB = 90° + ∠ DCB$，
$∠ DCE = ∠ BCE - ∠ DCB = 90° - ∠ DCB$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ DCE = 90° + ∠ DCB + 90° - ∠ DCB = 180°$。
(3) 由(2)得$∠ ACB + ∠ DCE = 180°$，
$\because ∠ DCE: ∠ ACB = 2:7$，
设$∠ DCE = 2x$，$∠ ACB = 7x$，
则$2x + 7x = 180°$，
解得$x = 20°$，
$\therefore ∠ DCE = 2×20° = 40°$。
答：$∠ DCE$的大小为$40°$。

【分析】
解题首先明确三角尺的两个直角∠ACD=∠BCE=90°，再根据角的和差关系逐步推导：
1. 解决第(1)问时，先梳理角的组成：∠ACB由∠ACD和∠BCD组成，∠DCE是∠BCE减去∠BCD的差，代入已知角度即可计算对应未知角的度数。
2. 解决第(2)问时，可将∠ACB和∠DCE都用含∠DCB的式子表示，相加后消去公共部分，即可得到两个角的数量关系。
3. 解决第(3)问时，利用第(2)问得到的两角和为180°的结论，结合给出的比例关系设未知数列方程求解即可。
【解析】
(1) 已知∠ACD=∠BCE=90°，∠DCE=35°时：
∠BCD=∠BCE - ∠DCE=90°-35°=55°
∠ACB=∠ACD + ∠BCD=90°+55°=145°
当∠ACB=150°时：
∠BCD=∠ACB - ∠ACD=150°-90°=60°
∠DCE=∠BCE - ∠BCD=90°-60°=30°
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ACB + ∠DCE = 180°}$，理由如下：
$\because ∠ACD = 90°$，$∠BCE = 90°$
$\therefore ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB = 90° + ∠DCB$
$∠DCE = ∠BCE - ∠DCB = 90° - ∠DCB$
$\therefore ∠ACB + ∠DCE = (90° + ∠DCB) + (90° - ∠DCB) = 180°$
(3) 由(2)的结论可得$∠ACB + ∠DCE = 180°$
$\because ∠DCE: ∠ACB = 2:7$
设$∠DCE = 2x$，$∠ACB = 7x$，代入得：
$2x + 7x = 180°$
解得$x = 20°$
$\therefore ∠DCE = 2×20° = 40°$
【答案】
(1) $145°$；$30°$
(2) $∠ACB + ∠DCE = 180°$
(3) $40°$
【知识点】
角的和差计算，直角的性质，比例方程应用
【点评】
本题结合常见的三角尺叠放场景，考查角的运算能力，解题关键是准确识别图形中各角的和差关系，第三问将角的运算和比例结合，综合考查了基础代数运算在几何中的应用。
【难度系数】
0.7