1.若∠1=34°,则∠1的补角=.

$\boldsymbol{146°}$

【分析】
要解决这道题，首先需要明确补角的定义：互为补角的两个角的和为180°。因此求一个角的补角，只需用180°减去这个角的度数即可，已知∠1的度数是34°，直接代入计算就能得到结果。
【解析】
根据补角的定义：若两个角的和等于180°，则这两个角互为补角。
所以∠1的补角 = 180° - ∠1
将∠1=34°代入得：
$180° - 34° = 146°$
【答案】
$146°$
【知识点】
补角的定义、角度的运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对补角定义的理解和记忆，计算量小，掌握相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2.如果一个角的补角比这个角的2倍大$30°$，那么这个角的余角为。

$\boldsymbol{40°}$

【分析】
首先回忆余角和补角的定义：两个角的和为180°则互为补角，两个角的和为90°则互为余角。解题时先设这个角的度数为未知数，结合题目给出的补角和这个角的数量关系列方程，先求出这个角的度数，再根据余角定义计算它的余角即可。
【解析】
设这个角的度数为$x$，则它的补角为$(180° - x)$。
根据题意列方程：
$180° - x = 2x + 30°$
移项得：$180° - 30° = 2x + x$
合并同类项得：$150° = 3x$
解得：$x = 50°$
根据余角定义，这个角的余角为$90° - 50° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
补角的定义、余角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础题型，解题核心是熟练掌握余角、补角的概念，准确提取题目中的等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.7

3.如图,点D在线段BC上,已知∠BAC=90°,∠DAC+∠C=90°,则∠BAD和∠C的大小关系是.其依据是.

解：
∵ ∠BAC = 90°
∴ ∠BAD + ∠DAC = 90°
又∵ ∠DAC + ∠C = 90°
∴ ∠BAD = ∠C
其依据是：同角的余角相等。

【分析】
首先观察图形，∠BAC被AD分割为∠BAD和∠DAC两个角，已知∠BAC=90°，可先推出∠BAD与∠DAC的和为90°；再结合题目给出的∠DAC+∠C=90°，可发现∠BAD和∠C都是∠DAC的余角，根据余角的相关性质即可判断两个角的大小关系。
【解析】
解：
∵ ∠BAC = 90°
∴ ∠BAD + ∠DAC = 90°
又
∵ ∠DAC + ∠C = 90°
∴ ∠BAD = ∠C
其依据是：同角的余角相等。
【答案】
∠BAD=∠C；同角的余角相等
【知识点】
角的和差，余角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合图形和已知条件，找到两个角与同一个角互余的关系，熟练掌握余角的性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8

4.小明课余时间利用一副三角尺摆成图示图形，其中OE平分$∠ AOD$.下列结论：①$∠ COE=∠ BOE$；②若$∠ BOC=α$，则$∠ AOD=180°-α$；③图中$∠ BOC$的余角共有3个；④若$∠ COE=20°$，则$∠ AOD=140°$.其中正确的有(填序号).

解：
由题意可知∠AOB=∠COD=90°。
① 因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠DOE。
又∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 90° - ∠BOC，∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 90° - ∠BOC，
所以∠AOC=∠BOD。
因此∠AOE - ∠AOC = ∠DOE - ∠BOD，即∠COE=∠BOE，①正确。
② 若∠BOC=α，则∠AOC=90°-α，
∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 90° - α + 90° = 180° - α，②正确。
③ 因为∠AOC + ∠BOC = 90°，∠BOD + ∠BOC = 90°，所以∠BOC的余角只有∠AOC和∠BOD共2个，③错误。
④ 若∠COE=20°，由①得∠BOE=∠COE=20°，所以∠BOC=∠COE+∠BOE=40°，
代入②的结论得∠AOD=180°-40°=140°，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②④}$。

【分析】
首先明确一副三角尺的两个直角∠AOB=∠COD=90°，结合OE平分∠AOD得到∠AOE=∠DOE的条件，逐个分析4个结论：
1. 验证①：先推导∠AOC=∠BOD，再利用角平分线的性质，通过角的差得到∠COE=∠BOE；
2. 验证②：用角的和差关系，将∠AOD拆分为∠AOC+∠COD，结合∠BOC=α求出∠AOC，即可得到∠AOD的度数；
3. 验证③：根据余角的定义，找出和为90°的角，统计∠BOC的余角个数即可判断；
4. 验证④：结合①的结论先求出∠BOC的度数，再代入②的结论即可算出∠AOD，判断是否正确。
【解析】
由题意可知，∠AOB=∠COD=90°。
① 因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠DOE。
又因为∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 90° - ∠BOC，∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 90° - ∠BOC，所以∠AOC=∠BOD。
因此∠AOE - ∠AOC = ∠DOE - ∠BOD，即∠COE=∠BOE，故①正确。
② 若∠BOC=α，则∠AOC=90°-α，
∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 90° - α + 90° = 180° - α，故②正确。
③ 因为∠AOC + ∠BOC = 90°，∠BOD + ∠BOC = 90°，所以∠BOC的余角只有∠AOC和∠BOD，共2个，故③错误。
④ 若∠COE=20°，由①得∠BOE=∠COE=20°，所以∠BOC=∠COE+∠BOE=40°，
代入②的结论得∠AOD=180°-40°=140°，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角的综合基础题，解题的关键是结合图形理清各角之间的数量关系，利用角平分线、余角的性质逐一验证结论，注意不要漏算或多算角的和差。
【难度系数】
0.7

5. 如图，OA 的方向是北偏东 $ 15° $.
(1) 在图中作出射线 OB，OB 表示北偏西 $ 30° $方向.
(2) 在(1)的条件下，若 $ ∠ AOC = ∠ AOB $，则 OC 的方向是 .
(3) 若 $ ∠ COD = 90° $，在(1)(2)的条件下，求 $ ∠ AOD $ 的大小.

解：
(1) 以点O为顶点，正北方向的射线为始边，向西作大小为30°的角，该角的终边即为所求射线OB。
(2) 北偏东60°
(3) 由题意可得：
∠AOB = 30° + 15° = 45°
∵ ∠AOC = ∠AOB
∴ ∠AOC = 45°
又∵ ∠COD = 90°
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 45° + 90° = 135°
答：∠AOD的大小为135°。

【分析】
(1) 第一问考查方向角的作图，首先明确北偏西方向的定义：以正北方向射线为始边，向西偏转对应角度即可，只需以O为顶点，正北射线为始边，向西作30°角，终边就是OB。
(2) 第二问先求∠AOB的度数，OA是北偏东15°，OB是北偏西30°，两个角相加可得∠AOB的大小，再结合∠AOC=∠AOB，就能算出OC相对正北方向的偏角，得到OC的方向。
(3) 第三问求∠AOD的大小，先得到∠AOC的度数，结合已知∠COD=90°，观察角的位置关系，利用角的和差关系直接相加计算即可。
【解析】
(1) 以点O为顶点，正北方向的射线为始边，向西作大小为30°的角，该角的终边即为所求射线OB。
(2) 首先计算∠AOB：OA为北偏东15°，OB为北偏西30°，因此∠AOB=15°+30°=45°。
因为∠AOC=∠AOB，所以∠AOC=45°，那么OC与正北方向的夹角为15°+45°=60°，即OC为北偏东60°方向。
(3) 由题意可得：
∠AOB = 30° + 15° = 45°
∵ ∠AOC = ∠AOB
∴ ∠AOC = 45°
又
∵ ∠COD = 90°
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 45° + 90° = 135°
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) 北偏东60°；
(3) ∠AOD的大小为135°
【知识点】
方向角识别；角的和差计算；角的作图
【点评】
本题结合方向角考查角的基础运算，难度较低，解题核心是准确理解方向角的定义，理清各个角之间的位置关系，计算时注意角度的加减逻辑即可。
【难度系数】
0.7

6. 提升题 如图，$∠ AOB$是平角，$OD$是$∠ AOC$的平分线，$∠ COE=∠ BOE$.
(1)若 $∠ AOC = 50°$，则 $∠ DOE =$ .
(2)当$∠ AOC$的大小发生改变时，$∠ DOE$的大小是否发生改变？为什么？
(3)图中与$∠ COD$互补的角的个数随$∠ AOC$的大小变化而变化，直接写出与$∠ COD$互补的角的个数及对应的$∠ AOC$的大小.

$\boldsymbol{90°}$
(2) $∠ DOE$的大小不发生改变，始终为$90°$，理由如下：
设$∠ AOC=x$，
$\because OD$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{x}{2}$，
$∠ BOC=180°-x$，
$\because ∠ COE=∠ BOE$，
$\therefore ∠ COE=\frac{1}{2}(360°-∠ BOC)=\frac{1}{2}(360°-(180°-x))=90°+\frac{x}{2}$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COE-∠ COD=90°+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=90°$，
因此$∠ DOE$恒为$90°$，不随$∠ AOC$的大小改变而变化。
(3) 当$∠ AOC=90°$时，与$∠ COD$互补的角有2个；
当$0°＜∠ AOC＜180°$且$∠ AOC≠90°$时，与$∠ COD$互补的角有1个。

【分析】
(1) 先利用角平分线定义求出∠COD的度数，再结合平角性质算出∠BOC，根据∠COE=∠BOE求出∠COE，最后用∠COE减去∠COD即可得到∠DOE的度数；
(2) 要判断∠DOE是否随∠AOC变化，可设∠AOC为未知数x，分别用含x的式子表示出∠COD和∠COE，再计算∠DOE，观察结果是否含x即可判断；
(3) 互补的两个角和为180°，先表示出∠COD，再寻找所有和∠COD相加等于180°的角，分∠AOC=90°和∠AOC≠90°两种情况讨论即可。
【解析】
(1)
∵OD平分∠AOC，∠AOC=50°，
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=25°$，
∵∠AOB是平角，
∴$∠ BOC=180°-∠ AOC=130°$，
∵$∠ COE=∠ BOE$，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}(360°-∠ BOC)=\frac{1}{2}×(360°-130°)=115°$，
∴$∠ DOE=∠ COE-∠ COD=115°-25°=90°$。
(2) $∠ DOE$的大小不发生改变，理由如下：
设$∠ AOC=x$，
∵OD平分$∠ AOC$，
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{x}{2}$，
∵∠AOB是平角，
∴$∠ BOC=180°-x$，
∵$∠ COE=∠ BOE$，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}(360°-∠ BOC)=\frac{1}{2}[360°-(180°-x)]=90°+\frac{x}{2}$，
∴$∠ DOE=∠ COE-∠ COD=90°+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=90°$，
因此$∠ DOE$恒为$90°$，不随$∠ AOC$的大小改变而变化。
(3) 互补的两角和为$180°$，$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$：
当$∠ AOC=90°$时，$∠ COD=45°$，此时$∠ BOD=180°-45°=135°$，$∠ COE=90°+\frac{90°}{2}=135°$，有2个角和$∠ COD$互补；
当$0°＜∠ AOC＜180°$且$∠ AOC≠90°$时，仅$∠ BOD$与$∠ COD$互补，共1个。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$
(2) $∠ DOE$的大小不发生改变，始终为$90°$，理由见解析。
(3) 当$∠ AOC=90°$时，与$∠ COD$互补的角有2个；当$0°＜∠AOC＜180°$且$∠ AOC≠90°$时，与$∠ COD$互补的角有1个。
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，补角的判定
【点评】
本题综合考查角的相关计算，既要求熟练掌握角平分线、补角的基本性质，也需要学会用代数方法推导角的定值，第三问渗透了分类讨论的数学思想，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6