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1.一个角的余角的度数是这个角度数的2倍，那么这个角的度数是，这个角的补角的度数是。
答案
$ 30° $；$ 150° $
解析
【分析】
解决本题首先要明确余角、补角的核心概念：互为余角的两个角度数之和为90°，互为补角的两个角度数之和为180°。我们可以采用设未知数列方程的思路解题：先把所求角的度数设为未知数，再根据“余角的度数是这个角度数的2倍”的条件列等式，解出这个角的度数后，再用补角的定义计算补角即可。
【解析】
解：设这个角的度数为$ x° $。
根据余角的定义，这个角的余角度数为$ (90-x)° $。
结合题意列方程：
$ 90 - x = 2x $
移项合并同类项得：
$ 3x = 90 $
解得：$ x = 30 $，即这个角的度数是$ 30° $。
再根据补角的定义，这个角的补角度数为：
$ 180° - 30° = 150° $
【答案】
$ 30° $；$ 150° $
【知识点】
余角的定义、补角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算题型，重点考查对余角、补角概念的理解和方程思想的简单应用，掌握余角、补角的角度和规律就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确余角、补角的核心概念：互为余角的两个角度数之和为90°，互为补角的两个角度数之和为180°。我们可以采用设未知数列方程的思路解题：先把所求角的度数设为未知数，再根据“余角的度数是这个角度数的2倍”的条件列等式，解出这个角的度数后，再用补角的定义计算补角即可。
【解析】
解：设这个角的度数为$ x° $。
根据余角的定义，这个角的余角度数为$ (90-x)° $。
结合题意列方程：
$ 90 - x = 2x $
移项合并同类项得：
$ 3x = 90 $
解得：$ x = 30 $，即这个角的度数是$ 30° $。
再根据补角的定义，这个角的补角度数为：
$ 180° - 30° = 150° $
【答案】
$ 30° $；$ 150° $
【知识点】
余角的定义、补角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算题型，重点考查对余角、补角概念的理解和方程思想的简单应用，掌握余角、补角的角度和规律就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
2.如图,左侧正方体中ⓞ在右侧展开图(填序号)的位置上.
答案
解：②
解析
【分析】
解决这道题我们可以按以下思路思考：第一步先观察左侧立体正方体，确定带圆圈的面的相邻面特征——它和两个带有阴影三角形的面都相邻；第二步回忆正方体展开图的相对面判断规则，先排除不可能的面，再结合阴影的位置，判断折叠后哪个面的位置和立体图中带圆圈的面一致。
【解析】
首先观察左侧正方体：带圆圈的面与两个含有阴影三角形的面均相邻。
再看右侧展开图，这是“一四一”型正方体展开图，根据“同列/同行隔一个为相对面”的规律：①和④是相对面，②和③是相对面，两个阴影面在中间列。
将展开图折叠成正方体时，只有②所在的面折叠后为正面，同时与两个阴影三角形的面都相邻，完全符合立体图中带圆圈的面的位置特征。
【答案】
②
【知识点】
正方体展开图，立体图形与展开图的对应
【点评】
本题主要考查空间想象能力，解题时可通过相邻面、相对面的特征快速排除错误选项，也可通过动手折叠展开图的方式直观判断，是正方体展开图相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以按以下思路思考：第一步先观察左侧立体正方体，确定带圆圈的面的相邻面特征——它和两个带有阴影三角形的面都相邻；第二步回忆正方体展开图的相对面判断规则，先排除不可能的面，再结合阴影的位置，判断折叠后哪个面的位置和立体图中带圆圈的面一致。
【解析】
首先观察左侧正方体：带圆圈的面与两个含有阴影三角形的面均相邻。
再看右侧展开图，这是“一四一”型正方体展开图，根据“同列/同行隔一个为相对面”的规律：①和④是相对面，②和③是相对面，两个阴影面在中间列。
将展开图折叠成正方体时，只有②所在的面折叠后为正面，同时与两个阴影三角形的面都相邻，完全符合立体图中带圆圈的面的位置特征。
【答案】
②
【知识点】
正方体展开图，立体图形与展开图的对应
【点评】
本题主要考查空间想象能力，解题时可通过相邻面、相对面的特征快速排除错误选项，也可通过动手折叠展开图的方式直观判断，是正方体展开图相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3.若甲从点A出发沿北偏东$70°$方向走50 m到达点B，乙从点A出发沿南偏西$15°$方向走80 m到达点C，如图所示，则$∠ BAC=$。
答案
$\boldsymbol{125°}$
解析
【分析】
解题时先明确方向角的基本规则：上北下南、左西右东，正北与正南方向共线形成180°平角，正北与正东、正南与正东的夹角均为90°。首先根据题目给出的北偏东70°，算出AB与正东方向的夹角；再结合南偏西15°的条件，把∠BAC拆分为三部分：AB与正东的夹角、正东与正南的90°夹角、正南与AC的夹角，三部分相加即可得到结果。
【解析】
根据方向角的定义：
1. AB为北偏东70°方向，正北与正东夹角为90°，因此AB与正东方向的夹角为 $90° - 70° = 20°$；
2. AC为南偏西15°方向，即AC与正南方向的夹角为$15°$；
3. 正东与正南方向夹角为$90°$，因此$∠ BAC = 20° + 90° + 15° = 125°$。
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
方向角的概念，角的和差计算
【点评】
本题考查对方向角的理解和角度运算能力，解题的关键是结合方位图清晰拆分所求角度，准确计算各部分角度的和。
【难度系数】
0.7
解题时先明确方向角的基本规则：上北下南、左西右东，正北与正南方向共线形成180°平角，正北与正东、正南与正东的夹角均为90°。首先根据题目给出的北偏东70°，算出AB与正东方向的夹角；再结合南偏西15°的条件，把∠BAC拆分为三部分：AB与正东的夹角、正东与正南的90°夹角、正南与AC的夹角，三部分相加即可得到结果。
【解析】
根据方向角的定义：
1. AB为北偏东70°方向，正北与正东夹角为90°，因此AB与正东方向的夹角为 $90° - 70° = 20°$；
2. AC为南偏西15°方向，即AC与正南方向的夹角为$15°$；
3. 正东与正南方向夹角为$90°$，因此$∠ BAC = 20° + 90° + 15° = 125°$。
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
方向角的概念，角的和差计算
【点评】
本题考查对方向角的理解和角度运算能力，解题的关键是结合方位图清晰拆分所求角度，准确计算各部分角度的和。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 A,B,C 为数轴上三点,若点 C 满足 $CA=2CB$ 或 $CB=2CA$,我们称点 C 是线段 AB 的“倍点”.例如,如图①所示,点 A 表示数$-1$,点 B 表示数 1,点 C 表示数 3,此时,点 C 是线段 AB 的一个“倍点”.在图②中,点 M 表示数$-2$,点 N 表示数 4.
(1)若点 K 是线段 MN 的“倍点”,则点 K 表示的数为 .
(2)现有一动点 P 从点 N 出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动,运动时间为 $t$ s.当点 M 是线段 NP 的“倍点”时,求 $t$ 的值.
(1)若点 K 是线段 MN 的“倍点”,则点 K 表示的数为 .
(2)现有一动点 P 从点 N 出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动,运动时间为 $t$ s.当点 M 是线段 NP 的“倍点”时,求 $t$ 的值.
答案
解：(1) 设点K表示的数为x，
由点M表示数-2，点N表示数4，得$MN=6$。
① 若点K在线段MN上，且$KM=2KN$：
$x - (-2) = 2(4 - x)$，解得$x=2$；
② 若点K在线段MN上，且$KN=2KM$：
$4 - x = 2[x - (-2)]$，解得$x=0$；
③ 若点K在点N右侧，且$KM=2KN$：
$x - (-2) = 2(x - 4)$，解得$x=10$；
④ 若点K在点M左侧，且$KN=2KM$：
$4 - x = 2(-2 - x)$，解得$x=-8$。
所以点K表示的数为$\boldsymbol{-8,0,2,10}$。
(2) 由题意，运动$t\ \mathrm{s}$后，点P表示的数为$4 - t$，
$MN = 4 - (-2) = 6$，
$MP = |(4 - t) - (-2)| = |6 - t|$。
因为点M是线段NP的“倍点”，分两种情况：
① 当$MN=2MP$时：
$6 = 2|6 - t|$，即$|6 - t|=3$，
解得$t=3$或$t=9$；
② 当$MP=2MN$时：
$|6 - t| = 2×6$，即$|6 - t|=12$，
解得$t=18$或$t=-6$，其中$t=-6$不符合运动时间非负的要求，舍去。
综上，$t$的值为3，9，18。
由点M表示数-2，点N表示数4，得$MN=6$。
① 若点K在线段MN上，且$KM=2KN$：
$x - (-2) = 2(4 - x)$，解得$x=2$；
② 若点K在线段MN上，且$KN=2KM$：
$4 - x = 2[x - (-2)]$，解得$x=0$；
③ 若点K在点N右侧，且$KM=2KN$：
$x - (-2) = 2(x - 4)$，解得$x=10$；
④ 若点K在点M左侧，且$KN=2KM$：
$4 - x = 2(-2 - x)$，解得$x=-8$。
所以点K表示的数为$\boldsymbol{-8,0,2,10}$。
(2) 由题意，运动$t\ \mathrm{s}$后，点P表示的数为$4 - t$，
$MN = 4 - (-2) = 6$，
$MP = |(4 - t) - (-2)| = |6 - t|$。
因为点M是线段NP的“倍点”，分两种情况：
① 当$MN=2MP$时：
$6 = 2|6 - t|$，即$|6 - t|=3$，
解得$t=3$或$t=9$；
② 当$MP=2MN$时：
$|6 - t| = 2×6$，即$|6 - t|=12$，
解得$t=18$或$t=-6$，其中$t=-6$不符合运动时间非负的要求，舍去。
综上，$t$的值为3，9，18。
解析
【分析】
解题首先要准确理解“倍点”的定义：若点是某线段的倍点，则该点到线段两个端点的距离存在2倍关系，解题需分类讨论点的位置，避免漏解。
第(1)问：先设点K表示的数为x，先算出MN的长度，再分四类讨论：①K在线段MN上且KM=2KN；②K在线段MN上且KN=2KM；③K在N右侧且KM=2KN；④K在M左侧且KN=2KM，分别列一元一次方程求解即可。
第(2)问：先根据动点的运动速度和方向，表示出t秒后点P对应的数，再根据“点M是线段NP的倍点”，分MN=2MP和MP=2MN两种情况列含绝对值的方程，求解后舍去时间为负的不符合实际的解，即可得到t的值。
【解析】
(1) 设点K表示的数为x，已知点M表示数-2，点N表示数4，因此$MN=4-(-2)=6$。
分四种情况讨论：
① 当点K在线段MN上，且$KM=2KN$时：
$x - (-2) = 2(4 - x)$
解得$x=2$；
② 当点K在线段MN上，且$KN=2KM$时：
$4 - x = 2[x - (-2)]$
解得$x=0$；
③ 当点K在点N右侧，且$KM=2KN$时：
$x - (-2) = 2(x - 4)$
解得$x=10$；
④ 当点K在点M左侧，且$KN=2KM$时：
$4 - x = 2(-2 - x)$
解得$x=-8$。
(2) 动点P从N出发向左运动，速度为每秒1个单位长度，运动t秒后，点P表示的数为$4 - t$。
$MN=4-(-2)=6$，$MP = |(4 - t) - (-2)| = |6 - t|$。
点M是线段NP的“倍点”，分两种情况：
① 当$MN=2MP$时：
$6 = 2|6 - t|$，即$|6 - t|=3$
解得$t=3$或$t=9$，均符合$t≥0$的要求；
② 当$MP=2MN$时：
$|6 - t| = 2×6=12$
解得$t=18$或$t=-6$，其中$t=-6$不符合运动时间非负的要求，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8,0,2,10}$
(2) $\boldsymbol{3,9,18}$
【知识点】
数轴两点距离计算，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合“倍点”新定义，考察数轴动点问题和一元一次方程的求解，解题时需全面考虑点的不同位置，避免漏解，同时要结合实际意义舍去不符合要求的解，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.5
解题首先要准确理解“倍点”的定义：若点是某线段的倍点，则该点到线段两个端点的距离存在2倍关系，解题需分类讨论点的位置，避免漏解。
第(1)问：先设点K表示的数为x，先算出MN的长度，再分四类讨论：①K在线段MN上且KM=2KN；②K在线段MN上且KN=2KM；③K在N右侧且KM=2KN；④K在M左侧且KN=2KM，分别列一元一次方程求解即可。
第(2)问：先根据动点的运动速度和方向，表示出t秒后点P对应的数，再根据“点M是线段NP的倍点”，分MN=2MP和MP=2MN两种情况列含绝对值的方程，求解后舍去时间为负的不符合实际的解，即可得到t的值。
【解析】
(1) 设点K表示的数为x，已知点M表示数-2，点N表示数4，因此$MN=4-(-2)=6$。
分四种情况讨论：
① 当点K在线段MN上，且$KM=2KN$时：
$x - (-2) = 2(4 - x)$
解得$x=2$；
② 当点K在线段MN上，且$KN=2KM$时：
$4 - x = 2[x - (-2)]$
解得$x=0$；
③ 当点K在点N右侧，且$KM=2KN$时：
$x - (-2) = 2(x - 4)$
解得$x=10$；
④ 当点K在点M左侧，且$KN=2KM$时：
$4 - x = 2(-2 - x)$
解得$x=-8$。
(2) 动点P从N出发向左运动，速度为每秒1个单位长度，运动t秒后，点P表示的数为$4 - t$。
$MN=4-(-2)=6$，$MP = |(4 - t) - (-2)| = |6 - t|$。
点M是线段NP的“倍点”，分两种情况：
① 当$MN=2MP$时：
$6 = 2|6 - t|$，即$|6 - t|=3$
解得$t=3$或$t=9$，均符合$t≥0$的要求；
② 当$MP=2MN$时：
$|6 - t| = 2×6=12$
解得$t=18$或$t=-6$，其中$t=-6$不符合运动时间非负的要求，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8,0,2,10}$
(2) $\boldsymbol{3,9,18}$
【知识点】
数轴两点距离计算，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合“倍点”新定义，考察数轴动点问题和一元一次方程的求解，解题时需全面考虑点的不同位置，避免漏解，同时要结合实际意义舍去不符合要求的解，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.5
5. 提升题 如图，已知$∠ AOB = 90°$，$∠ AOC=60°$.
(1)【问题发现】$∠ BOD$的余角是________，$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_$.
(2)【拓展探究】若$OD$平分$∠ BOC$，$OE$平分$∠ AOC$，则$∠ DOE=\_\_\_\_\_\_$.
(3)【类比延伸】在(2)的条件下，将题干改为“已知$∠ AOB=2β$，$∠ AOC=2α(α＜45°)$”，其他条件不变，能求出$∠ DOE$吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由.
(1)【问题发现】$∠ BOD$的余角是________，$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_$.
(2)【拓展探究】若$OD$平分$∠ BOC$，$OE$平分$∠ AOC$，则$∠ DOE=\_\_\_\_\_\_$.
(3)【类比延伸】在(2)的条件下，将题干改为“已知$∠ AOB=2β$，$∠ AOC=2α(α＜45°)$”，其他条件不变，能求出$∠ DOE$吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由.
答案
解：
(1) 因为$∠ AOB=90°$，即$∠ BOD + ∠ AOD = 90°$，所以$∠ BOD$的余角是$∠ AOD$；
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 90° + 60° = 150°$。
答案依次为：$∠ AOD$；$150°$。
(2) 由$OD$平分$∠ BOC$，得$∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 150° = 75°$，
由$OE$平分$∠ AOC$，得$∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$，
所以$∠ DOE = ∠ COD - ∠ COE = 75° - 30° = 45°$。
答案为：$45°$。
(3) 能求出$∠ DOE$，求解过程如下：
$\because ∠ AOB=2β$，$∠ AOC=2α$，
$\therefore ∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 2β + 2α$。
$\because OD$平分$∠ BOC$，
$\therefore ∠ DOC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × (2β + 2α) = β + α$。
$\because OE$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 2α = α$。
$\therefore ∠ DOE = ∠ DOC - ∠ EOC = (β + α) - α = β$。
(1) 因为$∠ AOB=90°$，即$∠ BOD + ∠ AOD = 90°$，所以$∠ BOD$的余角是$∠ AOD$；
$∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 90° + 60° = 150°$。
答案依次为：$∠ AOD$；$150°$。
(2) 由$OD$平分$∠ BOC$，得$∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 150° = 75°$，
由$OE$平分$∠ AOC$，得$∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$，
所以$∠ DOE = ∠ COD - ∠ COE = 75° - 30° = 45°$。
答案为：$45°$。
(3) 能求出$∠ DOE$，求解过程如下：
$\because ∠ AOB=2β$，$∠ AOC=2α$，
$\therefore ∠ BOC = ∠ AOB + ∠ AOC = 2β + 2α$。
$\because OD$平分$∠ BOC$，
$\therefore ∠ DOC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × (2β + 2α) = β + α$。
$\because OE$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ EOC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 2α = α$。
$\therefore ∠ DOE = ∠ DOC - ∠ EOC = (β + α) - α = β$。
解析
【分析】
本题分三小问层层递进考查角的相关计算，思考方向如下：
(1) 第一小问先根据余角定义：和为90°的两个角互为余角，结合∠AOB=90°就能找到∠BOD的余角；再根据角的和差关系，∠BOC由∠AOB和∠AOC组成，直接相加即可求解。
(2) 第二小问先利用角平分线的性质，分别求出∠COD和∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD-∠COE作差计算即可。
(3) 第三小问是将具体角度替换为含字母的代数式，解题思路和第二问完全一致，先表示出∠BOC，再结合角平分线性质分别表示出∠DOC和∠EOC，最后作差化简就能得到结果。
【解析】
(1) 已知∠AOB=90°，即∠BOD + ∠AOD = 90°，根据余角的定义，∠BOD的余角是∠AOD；
∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 90° + 60° = 150°。
(2)
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×150° = 75°，
∵ OE平分∠AOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 75° - 30° = 45°。
(3) 能求出∠DOE，求解过程如下：
∵ ∠AOB=2β，∠AOC=2α，
∴ ∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 2β + 2α，
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×(2β + 2α) = β + α，
∵ OE平分∠AOC，
∴ ∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×2α = α，
∴ ∠DOE = ∠DOC - ∠EOC = (β + α) - α = β。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOD}$，$\boldsymbol{150°}$；
(2) $\boldsymbol{45°}$；
(3) 能，$\boldsymbol{∠DOE=β}$。
【知识点】
余角的定义；角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
本题属于角的计算的典型提升题，从具体数值计算到字母代数式推导，逻辑递进，核心是熟练掌握余角、角平分线的相关概念，灵活运用角的和差关系进行计算，掌握解题方法后可迁移到同类型的角的运算问题中。
【难度系数】
0.7
本题分三小问层层递进考查角的相关计算，思考方向如下：
(1) 第一小问先根据余角定义：和为90°的两个角互为余角，结合∠AOB=90°就能找到∠BOD的余角；再根据角的和差关系，∠BOC由∠AOB和∠AOC组成，直接相加即可求解。
(2) 第二小问先利用角平分线的性质，分别求出∠COD和∠COE的度数，再根据∠DOE=∠COD-∠COE作差计算即可。
(3) 第三小问是将具体角度替换为含字母的代数式，解题思路和第二问完全一致，先表示出∠BOC，再结合角平分线性质分别表示出∠DOC和∠EOC，最后作差化简就能得到结果。
【解析】
(1) 已知∠AOB=90°，即∠BOD + ∠AOD = 90°，根据余角的定义，∠BOD的余角是∠AOD；
∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 90° + 60° = 150°。
(2)
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×150° = 75°，
∵ OE平分∠AOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 75° - 30° = 45°。
(3) 能求出∠DOE，求解过程如下：
∵ ∠AOB=2β，∠AOC=2α，
∴ ∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 2β + 2α，
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×(2β + 2α) = β + α，
∵ OE平分∠AOC，
∴ ∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×2α = α，
∴ ∠DOE = ∠DOC - ∠EOC = (β + α) - α = β。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOD}$，$\boldsymbol{150°}$；
(2) $\boldsymbol{45°}$；
(3) 能，$\boldsymbol{∠DOE=β}$。
【知识点】
余角的定义；角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
本题属于角的计算的典型提升题，从具体数值计算到字母代数式推导，逻辑递进，核心是熟练掌握余角、角平分线的相关概念，灵活运用角的和差关系进行计算，掌握解题方法后可迁移到同类型的角的运算问题中。
【难度系数】
0.7
