登录
1.在一个不透明的箱子里装有$ m $个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同。每次将球搅匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5左右，则可以估算出$ m $的值为（）
A.8
B.12
C.15
D.20
A.8
B.12
C.15
D.20
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是明确频率与概率的关系：大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此本题中摸到红球的频率0.5可近似看作摸到红球的概率。再结合简单事件的概率计算公式：随机事件的概率=该事件包含的情况数÷所有等可能情况的总数，代入红球个数、概率两个已知量，即可列等式求出总球数m。
【解析】
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在0.5左右
∴可估计摸到红球的概率为0.5
根据概率公式，可得：$\frac{4}{m}=0.5$
解得$m=4÷0.5=8$
经检验，$m=8$是原分式方程的解，符合实际意义。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1.频率与概率的关系
2.概率公式
【点评】
本题是基础应用题，解题的关键是理解大量重复试验中频率和概率的对应关系，再结合概率公式计算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确频率与概率的关系：大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此本题中摸到红球的频率0.5可近似看作摸到红球的概率。再结合简单事件的概率计算公式：随机事件的概率=该事件包含的情况数÷所有等可能情况的总数，代入红球个数、概率两个已知量，即可列等式求出总球数m。
【解析】
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在0.5左右
∴可估计摸到红球的概率为0.5
根据概率公式，可得：$\frac{4}{m}=0.5$
解得$m=4÷0.5=8$
经检验，$m=8$是原分式方程的解，符合实际意义。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1.频率与概率的关系
2.概率公式
【点评】
本题是基础应用题，解题的关键是理解大量重复试验中频率和概率的对应关系，再结合概率公式计算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
2.一个不透明的盒子中装有黑、白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同。将棋子搅匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中。不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有()
A.2.9枚
B.3枚
C.7枚
D.7.1枚
A.2.9枚
B.3枚
C.7枚
D.7.1枚
答案
B
解析
【分析】
本题可利用频率估计概率的思路求解：第一步，根据大量重复试验中事件发生的频率近似等于其发生的概率，得到摸到白色棋子的概率近似值；第二步，结合棋子总数量计算白色棋子的大致数量；第三步，用总数量减去白色棋子数量得到黑色棋子数量，注意棋子个数为整数，可先排除非整数选项缩小范围。
【解析】
∵共摸棋子100次，其中71次摸到白色棋子，
∴摸到白色棋子的频率为$\frac{71}{100}=0.71$，
根据大量重复试验中频率可近似估计概率，可估计摸到白色棋子的概率约为0.7。
∵棋子总共有10枚，
∴白色棋子的数量大约为$10×0.7=7$枚（棋子数量为正整数，0.71接近0.7），
则黑色棋子的数量约为$10-7=3$枚。
另外A选项2.9、D选项7.1不是整数，不符合棋子数量为整数的实际情况，直接排除；C选项7枚是白色棋子的大致数量，不符合题意，故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率的实际应用
【点评】
本题结合摸棋子的实际场景考查概率相关知识，易错点是容易混淆黑白棋子数量、忽略棋子数量为整数的隐含条件，解题的核心是掌握频率与概率的关系。
【难度系数】
0.7
本题可利用频率估计概率的思路求解：第一步，根据大量重复试验中事件发生的频率近似等于其发生的概率，得到摸到白色棋子的概率近似值；第二步，结合棋子总数量计算白色棋子的大致数量；第三步，用总数量减去白色棋子数量得到黑色棋子数量，注意棋子个数为整数，可先排除非整数选项缩小范围。
【解析】
∵共摸棋子100次，其中71次摸到白色棋子，
∴摸到白色棋子的频率为$\frac{71}{100}=0.71$，
根据大量重复试验中频率可近似估计概率，可估计摸到白色棋子的概率约为0.7。
∵棋子总共有10枚，
∴白色棋子的数量大约为$10×0.7=7$枚（棋子数量为正整数，0.71接近0.7），
则黑色棋子的数量约为$10-7=3$枚。
另外A选项2.9、D选项7.1不是整数，不符合棋子数量为整数的实际情况，直接排除；C选项7枚是白色棋子的大致数量，不符合题意，故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率的实际应用
【点评】
本题结合摸棋子的实际场景考查概率相关知识，易错点是容易混淆黑白棋子数量、忽略棋子数量为整数的隐含条件，解题的核心是掌握频率与概率的关系。
【难度系数】
0.7
3.一个盒子中装有若干个白色小球。为了估计盒中白色小球的数量，小明将形状、大小、材质都相同的红色小球1000个放入盒中，搅匀后从中随机取出100个，发现红色小球有4个，则可以估计出白色小球的个数为。
答案
解：设盒中白色小球的个数为$x$。
由题意，随机取出100个球，其中红色小球有4个，因此样本中红球的频率为$\frac{4}{100}$。根据用频率估计概率的方法，可估计盒中任意抽取1个球是红球的概率约为$\frac{4}{100}$，据此列方程：
$\frac{1000}{x+1000} = \frac{4}{100}$
解得：$x=24000$
经检验，$x=24000$是原方程的解，且符合实际意义。
答：可以估计出白色小球的个数为24000。
由题意，随机取出100个球，其中红色小球有4个，因此样本中红球的频率为$\frac{4}{100}$。根据用频率估计概率的方法，可估计盒中任意抽取1个球是红球的概率约为$\frac{4}{100}$，据此列方程：
$\frac{1000}{x+1000} = \frac{4}{100}$
解得：$x=24000$
经检验，$x=24000$是原方程的解，且符合实际意义。
答：可以估计出白色小球的个数为24000。
解析
【分析】
本题属于利用样本估计总体的实际应用问题，解题思路如下：首先明确核心原理：大量重复试验时，样本中某事件的频率可以近似估计总体中该事件发生的概率；接着设白色小球个数为x，可知盒中总球数为$(x+1000)$个，总体中抽到红球的概率为红球总数除以总球数；再计算出样本中红球的频率为抽取的红球数除以抽取的总球数；最后根据频率近似等于概率列方程求解，检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
设盒中白色小球的个数为$x$。
由题意，随机取出100个球，其中红色小球有4个，因此样本中红球的频率为$\frac{4}{100}$。根据用频率估计概率的方法，可估计盒中任意抽取1个球是红球的概率约为$\frac{4}{100}$，据此列方程：
$\frac{1000}{x+1000} = \frac{4}{100}$
交叉相乘得：$4(x+1000)=1000×100$
化简计算：$4x+4000=100000$，$4x=96000$，解得$x=24000$。
经检验，$x=24000$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
24000
【知识点】
1.用频率估计概率 2.分式方程的应用
【点评】
这是统计与概率结合的基础应用题，解题关键是准确把握“样本频率近似等于总体概率”的原理，找到等量关系列方程，注意分式方程的解需要检验是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
本题属于利用样本估计总体的实际应用问题，解题思路如下：首先明确核心原理：大量重复试验时，样本中某事件的频率可以近似估计总体中该事件发生的概率；接着设白色小球个数为x，可知盒中总球数为$(x+1000)$个，总体中抽到红球的概率为红球总数除以总球数；再计算出样本中红球的频率为抽取的红球数除以抽取的总球数；最后根据频率近似等于概率列方程求解，检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
设盒中白色小球的个数为$x$。
由题意，随机取出100个球，其中红色小球有4个，因此样本中红球的频率为$\frac{4}{100}$。根据用频率估计概率的方法，可估计盒中任意抽取1个球是红球的概率约为$\frac{4}{100}$，据此列方程：
$\frac{1000}{x+1000} = \frac{4}{100}$
交叉相乘得：$4(x+1000)=1000×100$
化简计算：$4x+4000=100000$，$4x=96000$，解得$x=24000$。
经检验，$x=24000$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
24000
【知识点】
1.用频率估计概率 2.分式方程的应用
【点评】
这是统计与概率结合的基础应用题，解题关键是准确把握“样本频率近似等于总体概率”的原理，找到等量关系列方程，注意分式方程的解需要检验是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
4.在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同。小明通过多次重复试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里可能有个红球。
答案
$\boldsymbol{21}$
解析
【分析】
解题时首先回忆频率与概率的关系：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。我们可以先根据白球的频率估算出白球的数量，再用球的总数量减去白球数量，就能得到红球的数量。
【解析】
∵ 多次重复试验后，摸出白球的频率稳定在0.3左右
∴ 可估计摸出白球的概率约为0.3
∴ 袋子中白球的数量约为：$30×0.3=9$（个）
∴ 红球的数量为：$30-9=21$（个）
【答案】
$\boldsymbol{21}$
【知识点】
1. 利用频率估计概率
2. 概率的简单计算
【点评】
本题主要考查频率和概率的关联应用，理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值是解题的核心，解题思路清晰直接，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆频率与概率的关系：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。我们可以先根据白球的频率估算出白球的数量，再用球的总数量减去白球数量，就能得到红球的数量。
【解析】
∵ 多次重复试验后，摸出白球的频率稳定在0.3左右
∴ 可估计摸出白球的概率约为0.3
∴ 袋子中白球的数量约为：$30×0.3=9$（个）
∴ 红球的数量为：$30-9=21$（个）
【答案】
$\boldsymbol{21}$
【知识点】
1. 利用频率估计概率
2. 概率的简单计算
【点评】
本题主要考查频率和概率的关联应用，理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值是解题的核心，解题思路清晰直接，计算量小。
【难度系数】
0.9
5. 提升题 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外都相同。小颖做摸球试验：搅匀后从盒子里随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复上述过程。下表是试验中的部分统计数据（频率精确到0.001）：
(1)当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01）。
(2)盒子里约有个白球。
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一频率结果的试验最有可能的是（填序号）。
①从一副扑克牌（不含大、小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”；
②掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，落地时朝上一面的点数小于3；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式选一名幸运观众，正好抽到甲。
(1)当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01）。
(2)盒子里约有个白球。
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一频率结果的试验最有可能的是（填序号）。
①从一副扑克牌（不含大、小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”；
②掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，落地时朝上一面的点数小于3；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式选一名幸运观众，正好抽到甲。
答案
(1) $\boldsymbol{0.25}$
(2) $\boldsymbol{5}$
(3) $\boldsymbol{①④}$
(2) $\boldsymbol{5}$
(3) $\boldsymbol{①④}$
解析
【分析】
(1) 第一问依据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，只需观察表格中试验次数较大时的频率取值，即可得到接近的数值。
(2) 第二问利用概率公式变形求解：白球个数=总球数×摸到白球的概率，将第一问得到的概率和已知总球数代入计算即可。
(3) 第三问分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率等于0.25的选项即可。
【解析】
(1) 观察表格中的频率数据，随着摸球次数$n$不断增大，摸到白球的频率逐渐稳定在0.25附近，因此当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近0.25。
(2) 由频率估计概率可知，摸到白球的概率约为0.25，已知盒子中球的总数为20个，因此白球的数量约为$20×0.25=5$个。
(3) 分别计算各选项事件的概率：
① 不含大、小王的扑克牌共52张，其中红桃有13张，任意抽取一张是红桃的概率为$\frac{13}{52}=0.25$，符合要求；
② 掷质地均匀的骰子，朝上点数小于3的情况有1、2两种，概率为$\frac{2}{6}\approx0.33$，不符合要求；
③ 抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不符合要求；
④ 四人抽签选1人，正好抽到甲的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，符合要求。
因此符合结果的试验是①④。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.25}$
(2) $\boldsymbol{5}$
(3) $\boldsymbol{①④}$
【知识点】
用频率估计概率，简单概率计算，随机事件概率
【点评】
本题围绕频率与概率的关系设置考点，解题的关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为事件的概率，同时要熟练掌握常见简单随机事件的概率计算方法，结合题意逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问依据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，只需观察表格中试验次数较大时的频率取值，即可得到接近的数值。
(2) 第二问利用概率公式变形求解：白球个数=总球数×摸到白球的概率，将第一问得到的概率和已知总球数代入计算即可。
(3) 第三问分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率等于0.25的选项即可。
【解析】
(1) 观察表格中的频率数据，随着摸球次数$n$不断增大，摸到白球的频率逐渐稳定在0.25附近，因此当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近0.25。
(2) 由频率估计概率可知，摸到白球的概率约为0.25，已知盒子中球的总数为20个，因此白球的数量约为$20×0.25=5$个。
(3) 分别计算各选项事件的概率：
① 不含大、小王的扑克牌共52张，其中红桃有13张，任意抽取一张是红桃的概率为$\frac{13}{52}=0.25$，符合要求；
② 掷质地均匀的骰子，朝上点数小于3的情况有1、2两种，概率为$\frac{2}{6}\approx0.33$，不符合要求；
③ 抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，不符合要求；
④ 四人抽签选1人，正好抽到甲的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，符合要求。
因此符合结果的试验是①④。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.25}$
(2) $\boldsymbol{5}$
(3) $\boldsymbol{①④}$
【知识点】
用频率估计概率，简单概率计算，随机事件概率
【点评】
本题围绕频率与概率的关系设置考点，解题的关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为事件的概率，同时要熟练掌握常见简单随机事件的概率计算方法，结合题意逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
