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1.若同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则恰好一枚正面朝上、另一枚反面朝上的概率是()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确，同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有出现的结果都是等可能的。我们可以先用列举法列出所有可能的结果，再统计出“恰好一枚正面朝上、另一枚反面朝上”的结果数，最后根据等可能事件的概率公式计算即可。注意两枚硬币是独立的，“第一枚正、第二枚反”和“第一枚反、第二枚正”是两种不同的结果，不能合并计数。
【解析】
解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中满足“恰好一枚正面朝上、另一枚反面朝上”的结果有（正，反）、（反，正），共2种。
根据等可能事件概率公式 $P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率、等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础常考题，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，要注意区分两枚硬币的不同情况，避免将“一正一反”的两种情况误判为同一种，导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确，同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有出现的结果都是等可能的。我们可以先用列举法列出所有可能的结果，再统计出“恰好一枚正面朝上、另一枚反面朝上”的结果数，最后根据等可能事件的概率公式计算即可。注意两枚硬币是独立的，“第一枚正、第二枚反”和“第一枚反、第二枚正”是两种不同的结果，不能合并计数。
【解析】
解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中满足“恰好一枚正面朝上、另一枚反面朝上”的结果有（正，反）、（反，正），共2种。
根据等可能事件概率公式 $P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率、等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础常考题，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，要注意区分两枚硬币的不同情况，避免将“一正一反”的两种情况误判为同一种，导致计算错误。
【难度系数】
0.7
2.如图，正方形的边长为2。若在正方形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为()
A.$\frac{π}{4}$
B.$3π$
C.$2π$
D.$\frac{π}{8}$
A.$\frac{π}{4}$
B.$3π$
C.$2π$
D.$\frac{π}{8}$
答案
A
解析
【分析】
本题属于几何概型求概率的问题，解题思路如下：首先明确几何概型的概率计算规则：事件发生的概率等于对应事件区域的面积除以试验所有可能结果构成的区域面积。本题中试验所有可能的点都在正方形内，因此总区域是正方形，事件对应区域是阴影部分的内切圆。接下来先分别计算正方形的面积和内切圆的面积，再求二者的比值即可得到所求概率。
【解析】
解：首先计算正方形的面积：
已知正方形边长为2，因此正方形面积$S_{正}=2×2=4$。
再计算阴影部分圆的面积：
观察图形可知阴影圆是正方形的内切圆，圆的直径等于正方形的边长2，因此圆的半径$r=2÷2=1$，
根据圆的面积公式可得阴影面积$S_{阴}=π r^2=π×1^2=π$。
根据几何概型概率公式，任取一点落在阴影部分的概率：
$P=\frac{S_{阴}}{S_{正}}=\frac{π}{4}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
几何概型计算、正方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是几何概型的基础应用题，解题的核心是准确识别阴影图形与正方形的关系，正确计算两个区域的面积，是概率与平面几何结合的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
本题属于几何概型求概率的问题，解题思路如下：首先明确几何概型的概率计算规则：事件发生的概率等于对应事件区域的面积除以试验所有可能结果构成的区域面积。本题中试验所有可能的点都在正方形内，因此总区域是正方形，事件对应区域是阴影部分的内切圆。接下来先分别计算正方形的面积和内切圆的面积，再求二者的比值即可得到所求概率。
【解析】
解：首先计算正方形的面积：
已知正方形边长为2，因此正方形面积$S_{正}=2×2=4$。
再计算阴影部分圆的面积：
观察图形可知阴影圆是正方形的内切圆，圆的直径等于正方形的边长2，因此圆的半径$r=2÷2=1$，
根据圆的面积公式可得阴影面积$S_{阴}=π r^2=π×1^2=π$。
根据几何概型概率公式，任取一点落在阴影部分的概率：
$P=\frac{S_{阴}}{S_{正}}=\frac{π}{4}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
几何概型计算、正方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是几何概型的基础应用题，解题的核心是准确识别阴影图形与正方形的关系，正确计算两个区域的面积，是概率与平面几何结合的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3.如图,中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票,邮票图案名称为圆周率、勾股定理、欧拉公式和莫比乌斯带,邮票除图案外都相同。将这4张邮票背面朝上,洗匀后放在桌面上,从中随机抽出2张邮票(不放回),抽到的2张邮票图案分别为圆周率和勾股定理的概率是()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查不放回抽样的概率计算，解题思路如下：第一步，先对4张邮票进行标记，方便列举所有抽取结果；第二步，用列举法列出所有不放回抽取2张邮票的等可能结果，统计总结果数；第三步，统计出抽到的2张为圆周率和勾股定理的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们将4张邮票分别标记为：A（圆周率）、B（勾股定理）、C（欧拉公式）、D（莫比乌斯带）。
从中不放回随机抽取2张，不考虑抽取顺序的情况下，所有等可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，其中抽到的2张邮票图案分别为圆周率和勾股定理的结果只有AB这1种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
概率计算，不放回抽样，列举法
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的核心是准确列举出所有等可能的抽取结果，注意区分“放回”和“不放回”抽样的差异，避免结果计数错误。
【难度系数】
0.7
本题考查不放回抽样的概率计算，解题思路如下：第一步，先对4张邮票进行标记，方便列举所有抽取结果；第二步，用列举法列出所有不放回抽取2张邮票的等可能结果，统计总结果数；第三步，统计出抽到的2张为圆周率和勾股定理的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们将4张邮票分别标记为：A（圆周率）、B（勾股定理）、C（欧拉公式）、D（莫比乌斯带）。
从中不放回随机抽取2张，不考虑抽取顺序的情况下，所有等可能的结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，其中抽到的2张邮票图案分别为圆周率和勾股定理的结果只有AB这1种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
概率计算，不放回抽样，列举法
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的核心是准确列举出所有等可能的抽取结果，注意区分“放回”和“不放回”抽样的差异，避免结果计数错误。
【难度系数】
0.7
4.数学课上，王老师用如图①所示的转盘做“用频率估计概率”的试验。随机转动转盘，待转盘停止后，指针指向阴影区域（若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘）的频率如图②所示，则可以估计所有阴影部分的圆心角度数之和是（）
A.$126°$
B.$108°$
C.$90°$
D.$72°$
A.$126°$
B.$108°$
C.$90°$
D.$72°$
答案
B
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是利用“大量重复试验中，频率的稳定值近似等于概率”的原理求解。首先观察频率折线图，找到试验次数足够多时频率稳定的数值，该值就是指针落在阴影区域的概率；其次，转盘为圆形，总圆心角为360°，阴影区域的概率等于阴影部分圆心角之和占总圆心角的比例，用总圆心角乘以概率即可求出阴影部分的总圆心角。
【解析】
由图②的频率折线图可知，当试验次数足够多时，指针指向阴影区域的频率稳定在0.3附近，因此可估计指针指向阴影区域的概率为0.3。
∵ 转盘的总圆心角为360°，且阴影区域的概率 = 阴影部分圆心角之和 ÷ 总圆心角
∴ 阴影部分的圆心角度数之和 = 360° × 0.3 = 108°
故选：B
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；几何概率计算；圆心角计算
【点评】
本题将频率统计和几何概率相结合，既考查了对频率与概率关系的理解，也考查了概率的实际应用，解题的关键是准确找到频率的稳定值作为概率。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心思路是利用“大量重复试验中，频率的稳定值近似等于概率”的原理求解。首先观察频率折线图，找到试验次数足够多时频率稳定的数值，该值就是指针落在阴影区域的概率；其次，转盘为圆形，总圆心角为360°，阴影区域的概率等于阴影部分圆心角之和占总圆心角的比例，用总圆心角乘以概率即可求出阴影部分的总圆心角。
【解析】
由图②的频率折线图可知，当试验次数足够多时，指针指向阴影区域的频率稳定在0.3附近，因此可估计指针指向阴影区域的概率为0.3。
∵ 转盘的总圆心角为360°，且阴影区域的概率 = 阴影部分圆心角之和 ÷ 总圆心角
∴ 阴影部分的圆心角度数之和 = 360° × 0.3 = 108°
故选：B
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；几何概率计算；圆心角计算
【点评】
本题将频率统计和几何概率相结合，既考查了对频率与概率关系的理解，也考查了概率的实际应用，解题的关键是准确找到频率的稳定值作为概率。
【难度系数】
0.7
5.如图,电路图上有三个开关、一个灯泡和一节电池。当闭合开关$S_3$或同时闭合开关$S_1,S_2$时,灯泡发光。现任意闭合其中一个开关,则灯泡发光的概率为。
答案
解：任意闭合其中一个开关，共有3种等可能的结果：闭合$S_1$、闭合$S_2$、闭合$S_3$。
其中只有闭合$S_3$时灯泡发光，满足灯泡发光的结果共1种。
因此灯泡发光的概率为$\frac{1}{3}$。
其中只有闭合$S_3$时灯泡发光，满足灯泡发光的结果共1种。
因此灯泡发光的概率为$\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
本题是概率计算结合电路条件的基础题，解题思路如下：首先明确题目限定条件为“任意闭合其中一个开关”，先统计所有等可能的结果总数；再结合题干给出的灯泡发光规则，筛选出能让灯泡发光的结果数；最后根据古典概型的概率公式（概率=符合要求的结果数÷所有等可能的结果数）计算即可，解题时注意不要被“同时闭合S₁、S₂发光”的情况干扰，本题仅闭合一个开关，该情况不会出现。
【解析】
任意闭合其中一个开关，共有3种等可能的结果：闭合$S_1$、闭合$S_2$、闭合$S_3$。
根据题干给出的发光条件，仅闭合1个开关时，只有闭合$S_3$能使灯泡发光，即满足灯泡发光的结果共1种。
根据概率计算公式可得，灯泡发光的概率$P=\frac{满足条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率计算
2. 条件分析
【点评】
本题考查学生的审题能力和基础概率公式的运用，解题关键是抓住“任意闭合一个开关”的限定，排除不符合前提的发光情况，整体考察形式比较灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是概率计算结合电路条件的基础题，解题思路如下：首先明确题目限定条件为“任意闭合其中一个开关”，先统计所有等可能的结果总数；再结合题干给出的灯泡发光规则，筛选出能让灯泡发光的结果数；最后根据古典概型的概率公式（概率=符合要求的结果数÷所有等可能的结果数）计算即可，解题时注意不要被“同时闭合S₁、S₂发光”的情况干扰，本题仅闭合一个开关，该情况不会出现。
【解析】
任意闭合其中一个开关，共有3种等可能的结果：闭合$S_1$、闭合$S_2$、闭合$S_3$。
根据题干给出的发光条件，仅闭合1个开关时，只有闭合$S_3$能使灯泡发光，即满足灯泡发光的结果共1种。
根据概率计算公式可得，灯泡发光的概率$P=\frac{满足条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率计算
2. 条件分析
【点评】
本题考查学生的审题能力和基础概率公式的运用，解题关键是抓住“任意闭合一个开关”的限定，排除不符合前提的发光情况，整体考察形式比较灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
6.给出下列条件:①$AB=CD$;②$AD=BC$;③$AB// CD$;④$AD// BC$。从中任选两个,则选出的两个条件能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是。
答案
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先计算从4个条件中任选2个的所有等可能的组合数，注意组合不考虑顺序，避免重复计数；第二步，结合平行四边形的判定定理，逐一判断每一种组合是否能判定四边形ABCD是平行四边形，统计符合要求的组合数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终结果。
【解析】
首先计算总情况数：从4个条件中任选2个，共有以下6种等可能的组合：①②、①③、①④、②③、②④、③④。
接下来结合平行四边形判定定理逐一判断：
1. 选①②：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定；
2. 选①③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定；
3. 选①④：AB=CD、AD//BC时，四边形可能是等腰梯形，不能判定；
4. 选②③：AD=BC、AB//CD时，四边形可能是等腰梯形，不能判定；
5. 选②④：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定；
6. 选③④：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定。
综上，能判定平行四边形的组合共4种，所以概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
平行四边形的判定，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是几何与概率的综合基础题，既考查对平行四边形判定定理的掌握，也考查用列举法计数的严谨性，易错点是误将“一组对边平行、另一组对边相等”的情况判定为平行四边形，忽略等腰梯形的反例，计数时也要注意避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，先计算从4个条件中任选2个的所有等可能的组合数，注意组合不考虑顺序，避免重复计数；第二步，结合平行四边形的判定定理，逐一判断每一种组合是否能判定四边形ABCD是平行四边形，统计符合要求的组合数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终结果。
【解析】
首先计算总情况数：从4个条件中任选2个，共有以下6种等可能的组合：①②、①③、①④、②③、②④、③④。
接下来结合平行四边形判定定理逐一判断：
1. 选①②：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定；
2. 选①③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定；
3. 选①④：AB=CD、AD//BC时，四边形可能是等腰梯形，不能判定；
4. 选②③：AD=BC、AB//CD时，四边形可能是等腰梯形，不能判定；
5. 选②④：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定；
6. 选③④：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定。
综上，能判定平行四边形的组合共4种，所以概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
平行四边形的判定，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是几何与概率的综合基础题，既考查对平行四边形判定定理的掌握，也考查用列举法计数的严谨性，易错点是误将“一组对边平行、另一组对边相等”的情况判定为平行四边形，忽略等腰梯形的反例，计数时也要注意避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
