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1.现有A,B,C,D四个垃圾桶，分别对应可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾。将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（）
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{16}$
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{16}$
答案
C
解析
【分析】
要计算投放正确的概率，需遵循古典概型的计算逻辑：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。首先计算总投放情况：两袋不同垃圾要投进两个不同垃圾桶，可分步计算投放选择，第一袋有4个垃圾桶可选，第二袋不能与第一袋同桶，有3种选择，二者相乘得到总情况数；再找投放正确的情况：只有两袋都恰好投进各自对应的正确垃圾桶这1种情况，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：①计算所有等可能的投放总情况数：
将两袋不同的垃圾投入两个不同的垃圾桶，第一步投放第一袋垃圾，共有4个垃圾桶可选，有4种投放方法；第二步投放第二袋垃圾，需选择与第一袋不同的垃圾桶，剩余3个垃圾桶可选，有3种投放方法。
根据分步乘法计数原理，总共有$4 × 3 = 12$种等可能的投放结果。
②计算投放正确的情况数：
只有当两袋垃圾分别投入各自对应的正确垃圾桶时，才属于投放正确，仅有1种符合要求的结果。
③根据概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得投放正确的概率为$P=\frac{1}{12}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，分步计数原理，概率计算
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是准确区分排列、组合场景，本题中垃圾不同、垃圾桶不同，投放顺序会影响结果，需用分步计数计算总情况数，避免误算为组合数导致选错答案。
【难度系数】
0.6
要计算投放正确的概率，需遵循古典概型的计算逻辑：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。首先计算总投放情况：两袋不同垃圾要投进两个不同垃圾桶，可分步计算投放选择，第一袋有4个垃圾桶可选，第二袋不能与第一袋同桶，有3种选择，二者相乘得到总情况数；再找投放正确的情况：只有两袋都恰好投进各自对应的正确垃圾桶这1种情况，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：①计算所有等可能的投放总情况数：
将两袋不同的垃圾投入两个不同的垃圾桶，第一步投放第一袋垃圾，共有4个垃圾桶可选，有4种投放方法；第二步投放第二袋垃圾，需选择与第一袋不同的垃圾桶，剩余3个垃圾桶可选，有3种投放方法。
根据分步乘法计数原理，总共有$4 × 3 = 12$种等可能的投放结果。
②计算投放正确的情况数：
只有当两袋垃圾分别投入各自对应的正确垃圾桶时，才属于投放正确，仅有1种符合要求的结果。
③根据概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得投放正确的概率为$P=\frac{1}{12}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，分步计数原理，概率计算
【点评】
本题是概率基础应用题，解题核心是准确区分排列、组合场景，本题中垃圾不同、垃圾桶不同，投放顺序会影响结果，需用分步计数计算总情况数，避免误算为组合数导致选错答案。
【难度系数】
0.6
2.一个不透明的袋子中装有2个黄球和1个红球，这些球除颜色外都相同。若从中随机摸出2个球，则摸到2个黄球的概率是()
A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路如下：首先明确概率计算公式为“所求事件发生的结果数÷所有等可能的结果数”；由于袋中球的数量较少，可先给不同的球做标记，再不重不漏地列举出摸出2个球的所有等可能结果，接着统计摸到2个黄球的结果数，最后代入公式计算即可。
【解析】
我们先给袋中的球做标记：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂，1个红球记为红。
从袋中随机摸出2个球，所有等可能的结果共有3种，分别为：（黄₁，黄₂）、（黄₁，红）、（黄₂，红）。
其中摸到2个黄球的结果只有1种，即（黄₁，黄₂）。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得摸到2个黄球的概率为$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
简单事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的核心是准确列举出所有等可能的事件结果，避免重复或遗漏，再结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路如下：首先明确概率计算公式为“所求事件发生的结果数÷所有等可能的结果数”；由于袋中球的数量较少，可先给不同的球做标记，再不重不漏地列举出摸出2个球的所有等可能结果，接着统计摸到2个黄球的结果数，最后代入公式计算即可。
【解析】
我们先给袋中的球做标记：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂，1个红球记为红。
从袋中随机摸出2个球，所有等可能的结果共有3种，分别为：（黄₁，黄₂）、（黄₁，红）、（黄₂，红）。
其中摸到2个黄球的结果只有1种，即（黄₁，黄₂）。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得摸到2个黄球的概率为$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
简单事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的核心是准确列举出所有等可能的事件结果，避免重复或遗漏，再结合概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.下图是一个可以自由转动的游戏转盘，转动转盘两次（若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘），两次转动后指针都落在标有数字“Ⅲ”的区域内的概率是()
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
C
解析
【分析】
这是一道几何概率相关的题目，解题首先要明确几何概率的计算依据是区域面积占总面积的比值，而非区域的数量：首先观察转盘结构，互相垂直的两条直径将转盘平均分成4个面积相等的扇形，其中区域Ⅰ、Ⅱ各占1份，区域Ⅲ占2份，先算出单次转动指针落在Ⅲ区域的概率；其次两次转动转盘是互不影响的独立事件，两次都落在Ⅲ区域的概率等于单次落在Ⅲ区域概率的乘积，也可通过列表或画树状图列举所有等可能结果后计算占比。
【解析】
1. 计算单次转动指针落在Ⅲ区域的概率
转盘被平均分为4个面积相等的扇形，其中区域Ⅲ占2个扇形，因此单次转动指针落在Ⅲ区域的概率为：
$P(\mathrm{单次落在Ⅲ})=\frac{\mathrm{区域Ⅲ的面积}}{\mathrm{转盘总面积}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
2. 计算两次转动都落在Ⅲ区域的概率
两次转动为独立事件，结果互不影响，因此两次都落在Ⅲ区域的概率为两次概率的乘积：
$P(\mathrm{两次都落在Ⅲ})=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
（也可通过列举法验证：所有等可能结果共$4×4=16$种，两次都落在Ⅲ的结果共$2×2=4$种，对应概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$）
【答案】
C
【知识点】
几何概率、独立事件概率、等可能事件计算
【点评】
本题的易错点是容易误将三个标号区域当做等面积区域，错误计算单次落在Ⅲ的概率为$\frac{1}{3}$。解题核心是先根据转盘的划分准确计算单次事件的概率，再结合试验的独立性计算总概率。
【难度系数】
0.6
这是一道几何概率相关的题目，解题首先要明确几何概率的计算依据是区域面积占总面积的比值，而非区域的数量：首先观察转盘结构，互相垂直的两条直径将转盘平均分成4个面积相等的扇形，其中区域Ⅰ、Ⅱ各占1份，区域Ⅲ占2份，先算出单次转动指针落在Ⅲ区域的概率；其次两次转动转盘是互不影响的独立事件，两次都落在Ⅲ区域的概率等于单次落在Ⅲ区域概率的乘积，也可通过列表或画树状图列举所有等可能结果后计算占比。
【解析】
1. 计算单次转动指针落在Ⅲ区域的概率
转盘被平均分为4个面积相等的扇形，其中区域Ⅲ占2个扇形，因此单次转动指针落在Ⅲ区域的概率为：
$P(\mathrm{单次落在Ⅲ})=\frac{\mathrm{区域Ⅲ的面积}}{\mathrm{转盘总面积}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
2. 计算两次转动都落在Ⅲ区域的概率
两次转动为独立事件，结果互不影响，因此两次都落在Ⅲ区域的概率为两次概率的乘积：
$P(\mathrm{两次都落在Ⅲ})=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
（也可通过列举法验证：所有等可能结果共$4×4=16$种，两次都落在Ⅲ的结果共$2×2=4$种，对应概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$）
【答案】
C
【知识点】
几何概率、独立事件概率、等可能事件计算
【点评】
本题的易错点是容易误将三个标号区域当做等面积区域，错误计算单次落在Ⅲ的概率为$\frac{1}{3}$。解题核心是先根据转盘的划分准确计算单次事件的概率，再结合试验的独立性计算总概率。
【难度系数】
0.6
4.如图,有两个相同的可以自由转动的转盘A,B,转盘A被三等分,分别标有数字2,0,-1;转盘B被四等分,分别标有数字3,2,-2,-3。如果同时转动转盘A,B,转盘停止时,两个指针所指的数字分别为x,y(若指针落在区域分界线上,则重新转动转盘),那么点(x,y)落在平面直角坐标系第二象限的概率是。
答案
解：
利用列表法列出所有等可能出现的结果：
| x\y | 3 | 2 | -2 | -3 |
|-----|---|---|----|----|
| 2 | (2,3) | (2,2) | (2,-2) | (2,-3) |
| 0 | (0,3) | (0,2) | (0,-2) | (0,-3) |
| -1 | (-1,3) | (-1,2) | (-1,-2) | (-1,-3) |
由表可知，共有12种等可能的结果。
平面直角坐标系第二象限内的点满足横坐标小于0，纵坐标大于0，符合条件的点为(-1,3)、(-1,2)，共2种。
因此点(x,y)落在第二象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
利用列表法列出所有等可能出现的结果：
| x\y | 3 | 2 | -2 | -3 |
|-----|---|---|----|----|
| 2 | (2,3) | (2,2) | (2,-2) | (2,-3) |
| 0 | (0,3) | (0,2) | (0,-2) | (0,-3) |
| -1 | (-1,3) | (-1,2) | (-1,-2) | (-1,-3) |
由表可知，共有12种等可能的结果。
平面直角坐标系第二象限内的点满足横坐标小于0，纵坐标大于0，符合条件的点为(-1,3)、(-1,2)，共2种。
因此点(x,y)落在第二象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这是一道两步随机事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确我们可以用列表法列出两个转盘转动产生的所有等可能结果，总结果数为转盘A的3种情况乘转盘B的4种情况，共12种。其次回忆第二象限点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，接着从所有结果中筛选出满足该特征的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可。
【解析】
利用列表法列出所有等可能出现的结果：
| x\y | 3 | 2 | -2 | -3 |
|-----|---|---|----|----|
| 2 | (2,3) | (2,2) | (2,-2) | (2,-3) |
| 0 | (0,3) | (0,2) | (0,-2) | (0,-3) |
| -1 | (-1,3) | (-1,2) | (-1,-2) | (-1,-3) |
由表可知，共有12种等可能的结果。
平面直角坐标系第二象限内的点满足横坐标小于0，纵坐标大于0，符合条件的点为(-1,3)、(-1,2)，共2种。
因此点(x,y)落在第二象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 象限坐标特征
2. 列表法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题结合了平面直角坐标系知识与概率计算，属于基础综合题，解题关键是熟记第二象限的坐标特征，准确列举所有等可能结果，避免漏算、错算符合条件的情况。
【难度系数】
0.7
这是一道两步随机事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确我们可以用列表法列出两个转盘转动产生的所有等可能结果，总结果数为转盘A的3种情况乘转盘B的4种情况，共12种。其次回忆第二象限点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，接着从所有结果中筛选出满足该特征的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算即可。
【解析】
利用列表法列出所有等可能出现的结果：
| x\y | 3 | 2 | -2 | -3 |
|-----|---|---|----|----|
| 2 | (2,3) | (2,2) | (2,-2) | (2,-3) |
| 0 | (0,3) | (0,2) | (0,-2) | (0,-3) |
| -1 | (-1,3) | (-1,2) | (-1,-2) | (-1,-3) |
由表可知，共有12种等可能的结果。
平面直角坐标系第二象限内的点满足横坐标小于0，纵坐标大于0，符合条件的点为(-1,3)、(-1,2)，共2种。
因此点(x,y)落在第二象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 象限坐标特征
2. 列表法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题结合了平面直角坐标系知识与概率计算，属于基础综合题，解题关键是熟记第二象限的坐标特征，准确列举所有等可能结果，避免漏算、错算符合条件的情况。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 在一次数学课上，老师设计了一个配色游戏。如图，这是两个可以自由转动的转盘，A转盘被分成面积相等的3个扇形，B转盘中蓝色区域对应扇形的圆心角是$120°$。
（1）若转动B转盘，则指针落在蓝色扇形区域的概率为。
（2）同时转动转盘A，B，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色（若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘）。请通过画树状图或列表的方法，求配成紫色的概率。
（1）若转动B转盘，则指针落在蓝色扇形区域的概率为。
（2）同时转动转盘A，B，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色（若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘）。请通过画树状图或列表的方法，求配成紫色的概率。
答案
解：
(1) 指针落在蓝色扇形区域的概率为 $\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
(2) 将B转盘中的红色区域划分为两个圆心角均为$120°$的相等扇形，此时B转盘共有3个等可能的输出结果：蓝、红、红。
列表如下：
| A转盘\B转盘 | 蓝 | 红 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 黄 | (黄,蓝) | (黄,红) | (黄,红) |
| 蓝 | (蓝,蓝) | (蓝,红) | (蓝,红) |
| 红 | (红,蓝) | (红,红) | (红,红) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中满足“一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色”、可以配成紫色的结果共3种。
因此配成紫色的概率为 $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
答：配成紫色的概率为$\frac{1}{3}$。
(1) 指针落在蓝色扇形区域的概率为 $\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
(2) 将B转盘中的红色区域划分为两个圆心角均为$120°$的相等扇形，此时B转盘共有3个等可能的输出结果：蓝、红、红。
列表如下：
| A转盘\B转盘 | 蓝 | 红 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 黄 | (黄,蓝) | (黄,红) | (黄,红) |
| 蓝 | (蓝,蓝) | (蓝,红) | (蓝,红) |
| 红 | (红,蓝) | (红,红) | (红,红) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中满足“一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色”、可以配成紫色的结果共3种。
因此配成紫色的概率为 $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
答：配成紫色的概率为$\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
（1）转动转盘时，指针落在某区域的概率等于该区域对应扇形圆心角与周角$360°$的比值，直接代入B转盘蓝色区域的圆心角计算即可。
（2）配成紫色的条件是两个转盘分别转出红色和蓝色（一红一蓝）。首先统一两个转盘的等可能结果：A转盘3个扇形面积相等，黄、蓝、红三种结果等可能；B转盘蓝色圆心角为$120°$，红色圆心角为$240°$，可将红色区域拆分为2个圆心角均为$120°$的等面积扇形，此时B转盘蓝、红、红三种结果等可能。再用列表法列出所有等可能结果，筛选出符合“一红一蓝”的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
解：(1) B转盘蓝色区域圆心角为$120°$，周角为$360°$，因此指针落在蓝色扇形区域的概率为$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
(2) 将B转盘的红色区域划分为两个圆心角均为$120°$的相等扇形，此时B转盘共有3种等可能的结果：蓝、红、红；A转盘有3种等可能的结果：黄、蓝、红。
列表如下：
| A转盘\B转盘 | 蓝 | 红 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 黄 | (黄,蓝) | (黄,红) | (黄,红) |
| 蓝 | (蓝,蓝) | (蓝,红) | (蓝,红) |
| 红 | (红,蓝) | (红,红) | (红,红) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中满足“一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色”可配成紫色的结果共3种。
因此配成紫色的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
1. 几何概型概率计算 2. 列表法求概率 3. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的经典题型，考查了几何概率和两步事件概率的求解方法，解题的关键是将非等可能的转盘结果转化为等可能事件，再结合事件成立的条件筛选符合要求的结果，能有效考查学生对概率计算方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
（1）转动转盘时，指针落在某区域的概率等于该区域对应扇形圆心角与周角$360°$的比值，直接代入B转盘蓝色区域的圆心角计算即可。
（2）配成紫色的条件是两个转盘分别转出红色和蓝色（一红一蓝）。首先统一两个转盘的等可能结果：A转盘3个扇形面积相等，黄、蓝、红三种结果等可能；B转盘蓝色圆心角为$120°$，红色圆心角为$240°$，可将红色区域拆分为2个圆心角均为$120°$的等面积扇形，此时B转盘蓝、红、红三种结果等可能。再用列表法列出所有等可能结果，筛选出符合“一红一蓝”的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
解：(1) B转盘蓝色区域圆心角为$120°$，周角为$360°$，因此指针落在蓝色扇形区域的概率为$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
(2) 将B转盘的红色区域划分为两个圆心角均为$120°$的相等扇形，此时B转盘共有3种等可能的结果：蓝、红、红；A转盘有3种等可能的结果：黄、蓝、红。
列表如下：
| A转盘\B转盘 | 蓝 | 红 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 黄 | (黄,蓝) | (黄,红) | (黄,红) |
| 蓝 | (蓝,蓝) | (蓝,红) | (蓝,红) |
| 红 | (红,蓝) | (红,红) | (红,红) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中满足“一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色”可配成紫色的结果共3种。
因此配成紫色的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
1. 几何概型概率计算 2. 列表法求概率 3. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的经典题型，考查了几何概率和两步事件概率的求解方法，解题的关键是将非等可能的转盘结果转化为等可能事件，再结合事件成立的条件筛选符合要求的结果，能有效考查学生对概率计算方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
