1.小明、小颖和小凡都想去看展览，但只有一张门票，于是三人决定通过掷硬币游戏来决定谁去。游戏规则：同时掷两枚质地均匀的硬币，若两枚均正面朝上，则小明获胜；若两枚均反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜。关于这个游戏，下列判断正确的是()

A.游戏对小颖有利
B.游戏对小明有利
C.游戏对小凡有利
D.游戏对三人都是公平的

C

【分析】
要判断游戏对谁有利，本质是比较三人获胜的概率大小，概率越大对该人越有利。解题思路如下：第一步，用列举法列出同时掷两枚质地均匀硬币的所有等可能结果；第二步，分别找出小明、小颖、小凡获胜对应的结果数；第三步，根据“概率=所求情况数与总情况数之比”分别计算三人获胜的概率；第四步，比较三个概率的大小即可得出结论。
【解析】
同时掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
1. 小明获胜的情况为两枚均正面朝上，共1种结果，因此小明获胜的概率 $ P(\mathrm{小明胜})=\frac{1}{4} $；
2. 小颖获胜的情况为两枚均反面朝上，共1种结果，因此小颖获胜的概率 $ P(\mathrm{小颖胜})=\frac{1}{4} $；
3. 小凡获胜的情况为一枚正面朝上、一枚反面朝上，共2种结果，因此小凡获胜的概率 $ P(\mathrm{小凡胜})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} $。
因为 $\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$，所以小凡获胜的概率更大，游戏对小凡有利。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题考查概率在游戏公平性判断中的应用，解题的核心是准确列举出所有等可能的结果，注意“一枚正面、一枚反面”包含两种不同的情况，避免漏算导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7

2.小明用一张扑克牌设计了一个游戏：
任意掷出纸牌，若正面朝上，则小明
赢；若背面朝上，则小明输。这个游戏
（填“公平”或“不公平”）。

不公平

【分析】
判断游戏是否公平的核心标准是游戏参与双方获胜的概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时首先要明确这个判定依据，再分析本题的事件特征：很多同学容易受抛硬币的思维定势影响，误以为只要是正反两种结果，概率就各占一半，实际上只有两种结果属于等可能事件时，概率才相等。而扑克牌正反面的图案、重量分布存在差异，掷出时正面朝上和背面朝上的可能性并不相等，即小明赢和输的概率不相等，因此可判断游戏的公平性。
【解析】
游戏公平的判定规则：若游戏双方获胜的概率相等，则游戏公平，反之则不公平。
掷扑克牌时，由于扑克牌正反面构造不同，质地分布不均匀，因此正面朝上和背面朝上不属于等可能事件，即小明赢（正面朝上）的概率与小明输（背面朝上）的概率不相等，因此该游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
1. 游戏公平性判定 2. 等可能事件
【点评】
本题考查概率在游戏公平性判断中的实际应用，解题的关键是牢记公平游戏的核心是各方获胜概率相等，不要默认所有存在两种结果的事件都是等可能事件，要结合实际情况判断事件发生的可能性是否相等。
【难度系数】
0.6

3.某体育训练营开设了以下培训项目：
长跑、立定跳远、一分钟跳绳、足球绕杆。若小林随机选择两个项目进行培训，则恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的概率是。

$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$

【分析】
这是一道古典概型的概率计算题目，解题思路分为三步：第一步先明确所有随机选择两个项目的等可能情况总数，第二步找出恰好选中立定跳远和一分钟跳绳的符合要求的情况数，第三步用符合要求的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。我们可以用列举法罗列出所有选法，避免重复或遗漏。
【解析】
我们将四个项目分别记为：A=长跑，B=立定跳远，C=一分钟跳绳，D=足球绕杆。
随机选择两个项目的所有等可能结果有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中恰好选中立定跳远（B）和一分钟跳绳（C）的结果只有1种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 概率公式
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的选择情况，再结合概率公式计算即可，掌握列举法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8

4.在某十字路口,汽车可能直行、左转或右转,且这三种情况发生的可能性相同。两辆汽车经过该路口,都向右转的概率为。

解：
用列表法列举两辆汽车行驶方向的所有等可能结果：
| 第一辆车\第二辆车 | 直 | 左 | 右 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 直 | (直,直) | (直,左) | (直,右) |
| 左 | (左,直) | (左,左) | (左,右) |
| 右 | (右,直) | (右,左) | (右,右) |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两辆汽车都向右转的结果仅有1种。
因此两辆汽车都向右转的概率为$\frac{1}{9}$。

【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确每辆汽车经过路口时有直行、左转、右转3种等可能的情况，两辆汽车的行驶方向互不影响，我们可以通过列表法列举出两辆汽车行驶方向的所有等可能结果，再从中找出“两辆车都向右转”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
用列表法列举两辆汽车行驶方向的所有等可能结果：
| 第一辆车\第二辆车 | 直 | 左 | 右 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 直 | (直,直) | (直,左) | (直,右) |
| 左 | (左,直) | (左,左) | (左,右) |
| 右 | (右,直) | (右,左) | (右,右) |
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两辆汽车都向右转的结果仅有1种。
根据概率公式可得，两辆汽车都向右转的概率为$\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等可能事件概率计算；列表法求概率
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题的核心是通过列表法或树状图法不重不漏地列出所有等可能的结果，再代入概率公式求解，掌握列举法求概率的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

5.小兰和小青两人做掷骰子游戏，若小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢；若小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢。两人中获胜的概率大，概率是。

小兰；$\frac{1}{2}$

【分析】
解决本题首先要明确掷骰子的所有等可能结果：骰子点数为1、2、3、4、5、6，共6种情况。我们需要分别计算小兰、小青两人的获胜概率再比较大小。第一步先找出小兰获胜（点数为偶数）的情况数，计算对应概率；第二步找出小青获胜（点数为3的倍数）的情况数，计算对应概率；最后对比两个概率的大小就能得出结论。
【解析】
掷1枚骰子，出现的点数为1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果。
1. 计算小兰获胜的概率：点数为偶数的结果有2、4、6，共3种，根据等可能事件概率公式可得
$P(\mathrm{小兰赢})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
2. 计算小青获胜的概率：点数为3的倍数的结果有3、6，共2种，因此
$P(\mathrm{小青赢})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
对比可得$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，所以小兰获胜的概率更大。
【答案】
小兰；$\frac{1}{2}$
【知识点】
等可能事件概率计算，偶数判定，倍数判定
【点评】
本题是概率板块的基础题型，解题核心是掌握等可能事件的概率计算方法，即概率等于所求情况数与总情况数的比值，同时要准确识别偶数、3的倍数的特征，属于概率部分的常规基础考题。
【难度系数】
0.8

6. 提升题 现有A,B两个不透明的袋子,A袋的4个小球分别标有数字1,2,3,4;B袋的3个小球分别标有数字1,2,3。每个袋中的小球除数字外都相同。
(1)从A,B两个袋中各随机摸出一个小球,则两个小球上的数字相同的概率是。
(2)甲、乙两人玩摸球游戏,游戏规则:甲从A袋中随机摸出一个小球,乙从B袋中随机摸出一个小球,若两人摸出的小球上的数字之和为奇数,则甲胜;否则乙胜。请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平。

(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$

【分析】
（1）求解两个小球数字相同的概率，首先需计算从A、B两袋各随机摸1个球的所有等可能结果总数，再筛选出数字相同的结果数，最后代入古典概型概率公式“P=符合条件的结果数/总等可能结果数”计算即可。
（2）判断游戏规则是否公平，本质是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等。可通过列表法列举出两人摸出的小球数字之和的所有等可能结果，分别统计和为奇数（甲胜）、和为偶数（乙胜）的结果数，计算对应概率后比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）从A袋中随机摸1个小球有4种等可能结果，从B袋中随机摸1个小球有3种等可能结果，因此总共有$4×3=12$种等可能的摸球结果。
其中两个小球上数字相同的情况有：(1,1)、(2,2)、(3,3)，共3种。
因此两个小球上数字相同的概率为$P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
（2）列表梳理所有可能的数字之和如下：
| 甲摸出的数字\乙摸出的数字 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 2（偶数） | 3（奇数） | 4（偶数） |
| 2 | 3（奇数） | 4（偶数） | 5（奇数） |
| 3 | 4（偶数） | 5（奇数） | 6（偶数） |
| 4 | 5（奇数） | 6（偶数） | 7（奇数） |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中数字之和为奇数的结果有6种，数字之和为偶数的结果有6种。
因此$P(\mathrm{甲胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{乙胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
因为$P(\mathrm{甲胜})=P(\mathrm{乙胜})$，所以这个规则对甲、乙两人公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) 这个规则对甲、乙两人公平。
【知识点】
古典概型概率计算、列表法求概率、游戏公平性判断
【点评】
本题结合摸球场景考查概率的基础应用，解题的核心是准确列举出所有等可能的事件结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，判断游戏公平性的本质是验证双方获胜概率是否相等，整体难度适中，能够有效巩固概率相关的解题方法。
【难度系数】
0.7