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1.如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从H口落出的概率为（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{8}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
B
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题时首先明确小球在每个交叉口向左、向右的可能性相等，我们可以通过列举小球下落的所有路径得到总情况数，再找到从H口落出的情况数，最后利用概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算结果即可。思考时可按小球下落的顺序逐步分析每一步的选择数量，避免漏算或多算路径。
【解析】
小球下落过程中共经过2次交叉口，每次交叉口都有2种等可能的选择：
1. 第一次在A下方的交叉口，可选择向左到C、向右到D，共2种情况；
2. 若到C处交叉口，可选择向左到E、向右到F；若到D处交叉口，可选择向左到G、向右到H。
因此小球下落的所有等可能结果共有$2×2=4$种，分别对应从E、F、G、H口落出，其中从H口落出的情况只有1种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{从H口落出})=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，列举法求概率，等可能事件
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题核心是理清小球的运动路径，准确统计总情况数和符合要求的情况数，也可通过画树状图的方法列举所有情况，降低出错率。
【难度系数】
0.8
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题时首先明确小球在每个交叉口向左、向右的可能性相等，我们可以通过列举小球下落的所有路径得到总情况数，再找到从H口落出的情况数，最后利用概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算结果即可。思考时可按小球下落的顺序逐步分析每一步的选择数量，避免漏算或多算路径。
【解析】
小球下落过程中共经过2次交叉口，每次交叉口都有2种等可能的选择：
1. 第一次在A下方的交叉口，可选择向左到C、向右到D，共2种情况；
2. 若到C处交叉口，可选择向左到E、向右到F；若到D处交叉口，可选择向左到G、向右到H。
因此小球下落的所有等可能结果共有$2×2=4$种，分别对应从E、F、G、H口落出，其中从H口落出的情况只有1种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{从H口落出})=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，列举法求概率，等可能事件
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题核心是理清小球的运动路径，准确统计总情况数和符合要求的情况数，也可通过画树状图的方法列举所有情况，降低出错率。
【难度系数】
0.8
2.现有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中装有分别写着d,t,l的3张声母卡片，乙盒中装有分别写着a,e,i的3张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外都相同）。若小明从甲、乙两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查两步随机事件的概率计算，解题思路如下：第一步，先确定从两个盒子各抽一张卡片的所有等可能结果总数，甲盒有3种抽法，乙盒有3种抽法，属于独立的两步试验，总结果数为两步抽法数的乘积；第二步，结合拼音知识确定能拼成“德”字读音的卡片组合，统计符合条件的结果数；第三步，根据古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
解：通过列表法列出所有等可能的抽取结果：
| 甲盒\乙盒 | a | e | i |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| d | (d,a) | (d,e) | (d,i) |
| t | (t,a) | (t,e) | (t,i) |
| l | (l,a) | (l,e) | (l,i) |
由上表可知，共有9种等可能的抽取结果。
“德”的拼音为dé，即需要从甲盒抽到声母d、从乙盒抽到韵母e，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{9}$
【答案】
A
【知识点】
古典概型计算，两步试验概率，列表法求概率
【点评】
本题是概率基础题，结合拼音知识考查概率的计算，解题的关键是准确枚举所有等可能的结果，同时正确判断符合题意的卡片组合，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查两步随机事件的概率计算，解题思路如下：第一步，先确定从两个盒子各抽一张卡片的所有等可能结果总数，甲盒有3种抽法，乙盒有3种抽法，属于独立的两步试验，总结果数为两步抽法数的乘积；第二步，结合拼音知识确定能拼成“德”字读音的卡片组合，统计符合条件的结果数；第三步，根据古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
解：通过列表法列出所有等可能的抽取结果：
| 甲盒\乙盒 | a | e | i |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| d | (d,a) | (d,e) | (d,i) |
| t | (t,a) | (t,e) | (t,i) |
| l | (l,a) | (l,e) | (l,i) |
由上表可知，共有9种等可能的抽取结果。
“德”的拼音为dé，即需要从甲盒抽到声母d、从乙盒抽到韵母e，仅1种符合条件的结果。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{9}$
【答案】
A
【知识点】
古典概型计算，两步试验概率，列表法求概率
【点评】
本题是概率基础题，结合拼音知识考查概率的计算，解题的关键是准确枚举所有等可能的结果，同时正确判断符合题意的卡片组合，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
3.从分别写有整数－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4的9张相同的卡片中，任意抽取一张，则所抽卡片上的数的绝对值小于2的概率是（）
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
解决这道题需结合绝对值的性质和概率公式两步推导：首先明确概率计算的核心是“符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”，第一步先确定抽取卡片的总等可能结果数，第二步根据绝对值的定义筛选出“绝对值小于2”的数，统计其数量后代入公式计算即可。
【解析】
解：从9张相同卡片中任意抽取1张，共有9种等可能的结果。
根据绝对值的定义，绝对值小于2的数满足$\vert x\vert＜2$，即$-2＜x＜2$，在给出的9个数：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4中，符合条件的数为-1、0、1，共3种结果。
根据简单概率计算公式：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
绝对值的概念；简单概率计算
【点评】
本题是基础类题型，将绝对值的性质与概率计算结合考查，解题的关键是准确筛选出满足绝对值要求的数，牢记概率计算的基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这道题需结合绝对值的性质和概率公式两步推导：首先明确概率计算的核心是“符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”，第一步先确定抽取卡片的总等可能结果数，第二步根据绝对值的定义筛选出“绝对值小于2”的数，统计其数量后代入公式计算即可。
【解析】
解：从9张相同卡片中任意抽取1张，共有9种等可能的结果。
根据绝对值的定义，绝对值小于2的数满足$\vert x\vert＜2$，即$-2＜x＜2$，在给出的9个数：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4中，符合条件的数为-1、0、1，共3种结果。
根据简单概率计算公式：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
绝对值的概念；简单概率计算
【点评】
本题是基础类题型，将绝对值的性质与概率计算结合考查，解题的关键是准确筛选出满足绝对值要求的数，牢记概率计算的基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.在“石头、剪刀、布”游戏中，当你出“石头”时，对手与你打成平局的概率为。
答案
解：
当你出“石头”时，对手所有等可能的出手结果共3种：石头、剪刀、布，
其中与你打成平局的结果仅有1种，即对手出石头，
因此所求概率为$\frac{1}{3}$。
当你出“石头”时，对手所有等可能的出手结果共3种：石头、剪刀、布，
其中与你打成平局的结果仅有1种，即对手出石头，
因此所求概率为$\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
本题考查简单概率的求解，解题思路如下：首先明确题干给定的前提是你已经出“石头”，先统计对手所有等可能的出手结果总数量，再找到能和你打成平局的结果数量，最后根据“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”的公式计算即可得到结果。
【解析】
当你出“石头”时，对手所有等可能的出手结果共3种：石头、剪刀、布，
其中与你打成平局的结果仅有1种，即对手出石头，
因此所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对概率公式的理解和应用，解题时需注意题干已经限定“你出石头”的前提，不要误算总情况数。
【难度系数】
0.9
本题考查简单概率的求解，解题思路如下：首先明确题干给定的前提是你已经出“石头”，先统计对手所有等可能的出手结果总数量，再找到能和你打成平局的结果数量，最后根据“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”的公式计算即可得到结果。
【解析】
当你出“石头”时，对手所有等可能的出手结果共3种：石头、剪刀、布，
其中与你打成平局的结果仅有1种，即对手出石头，
因此所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对概率公式的理解和应用，解题时需注意题干已经限定“你出石头”的前提，不要误算总情况数。
【难度系数】
0.9
5.一个不透明的袋子中装有3个红球和1个蓝球，它们除颜色外都相同。小明从中任意摸出一个球（不放回），小刚再从中任意摸出一个球，则两人摸出的球都为红球的概率为。
答案
解：
分别记3个红球为红₁、红₂、红₃，蓝球为蓝，列表表示所有等可能的结果如下：
| 小明\小刚 | 红₁ | 红₂ | 红₃ | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红₁ | - | (红₁,红₂) | (红₁,红₃) | (红₁,蓝) |
| 红₂ | (红₂,红₁) | - | (红₂,红₃) | (红₂,蓝) |
| 红₃ | (红₃,红₁) | (红₃,红₂) | - | (红₃,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红₁) | (蓝,红₂) | (蓝,红₃) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人摸出的球都为红球的结果有6种。
∴ P(两人摸出的球都为红球) = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
分别记3个红球为红₁、红₂、红₃，蓝球为蓝，列表表示所有等可能的结果如下：
| 小明\小刚 | 红₁ | 红₂ | 红₃ | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红₁ | - | (红₁,红₂) | (红₁,红₃) | (红₁,蓝) |
| 红₂ | (红₂,红₁) | - | (红₂,红₃) | (红₂,蓝) |
| 红₃ | (红₃,红₁) | (红₃,红₂) | - | (红₃,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红₁) | (蓝,红₂) | (蓝,红₃) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人摸出的球都为红球的结果有6种。
∴ P(两人摸出的球都为红球) = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这是一道不放回的两步概率求解问题，解题时首先要明确所有等可能的结果总数，再找出“两人都摸出红球”的符合条件的结果数，最后用概率公式（符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。为了避免重复或漏算结果，我们可以先给不同的红球编号区分，再用列表法列举出所有不放回摸球的结果，再筛选符合条件的情况计算概率。
【解析】
分别记3个红球为红₁、红₂、红₃，蓝球为蓝，列表表示所有等可能的结果如下：
| 小明\小刚 | 红₁ | 红₂ | 红₃ | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红₁ | - | (红₁,红₂) | (红₁,红₃) | (红₁,蓝) |
| 红₂ | (红₂,红₁) | - | (红₂,红₃) | (红₂,蓝) |
| 红₃ | (红₃,红₁) | (红₃,红₂) | - | (红₃,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红₁) | (蓝,红₂) | (蓝,红₃) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人摸出的球都为红球的结果有6种。
∴ P(两人摸出的球都为红球) = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列表法求概率、不放回事件概率、概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是注意“不放回摸球”的限制条件，通过列表或树状图可以清晰直观地列举所有等可能结果，避免出现重复计数或漏计的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道不放回的两步概率求解问题，解题时首先要明确所有等可能的结果总数，再找出“两人都摸出红球”的符合条件的结果数，最后用概率公式（符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。为了避免重复或漏算结果，我们可以先给不同的红球编号区分，再用列表法列举出所有不放回摸球的结果，再筛选符合条件的情况计算概率。
【解析】
分别记3个红球为红₁、红₂、红₃，蓝球为蓝，列表表示所有等可能的结果如下：
| 小明\小刚 | 红₁ | 红₂ | 红₃ | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红₁ | - | (红₁,红₂) | (红₁,红₃) | (红₁,蓝) |
| 红₂ | (红₂,红₁) | - | (红₂,红₃) | (红₂,蓝) |
| 红₃ | (红₃,红₁) | (红₃,红₂) | - | (红₃,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红₁) | (蓝,红₂) | (蓝,红₃) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人摸出的球都为红球的结果有6种。
∴ P(两人摸出的球都为红球) = $\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列表法求概率、不放回事件概率、概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是注意“不放回摸球”的限制条件，通过列表或树状图可以清晰直观地列举所有等可能结果，避免出现重复计数或漏计的错误。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 一个不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同。
（1）将球搅匀后，从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是。
（2）将球搅匀后，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，再从中任意摸出1个球。请用画树状图或列表的方法，求两次都摸到白球的概率。
（1）将球搅匀后，从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是。
（2）将球搅匀后，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，再从中任意摸出1个球。请用画树状图或列表的方法，求两次都摸到白球的概率。
答案
解：
(1) 袋子中共有4个除颜色外完全相同的球，其中红球有1个，因此摸到红球的概率是$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 记红球为红，3个白球分别为白₁、白₂、白₃，列表如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白₁ | 白₂ | 白₃ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白₁) | (红,白₂) | (红,白₃) |
| 白₁ | (白₁,红) | (白₁,白₁) | (白₁,白₂) | (白₁,白₃) |
| 白₂ | (白₂,红) | (白₂,白₁) | (白₂,白₂) | (白₂,白₃) |
| 白₃ | (白₃,红) | (白₃,白₁) | (白₃,白₂) | (白₃,白₃) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有9种。
因此两次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$。
(1) 袋子中共有4个除颜色外完全相同的球，其中红球有1个，因此摸到红球的概率是$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 记红球为红，3个白球分别为白₁、白₂、白₃，列表如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白₁ | 白₂ | 白₃ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白₁) | (红,白₂) | (红,白₃) |
| 白₁ | (白₁,红) | (白₁,白₁) | (白₁,白₂) | (白₁,白₃) |
| 白₂ | (白₂,红) | (白₂,白₁) | (白₂,白₂) | (白₂,白₃) |
| 白₃ | (白₃,红) | (白₃,白₁) | (白₃,白₂) | (白₃,白₃) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有9种。
因此两次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$。
解析
【分析】
（1）第一问可直接利用概率公式求解：先明确袋子中球的总个数为4，红球的个数为1，随机事件的概率等于符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，代入数值即可得到摸到红球的概率。
（2）第二问是放回型两次摸球的概率问题，属于两步试验，适合用列表法梳理所有等可能的结果：首先给3个白球做不同标记避免统计出错，列表呈现第一次和第二次摸球的所有组合，再统计总结果数和两次均摸到白球的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 袋子中共有4个除颜色外完全相同的球，其中红球有1个，所有摸球的等可能结果共4种，摸到红球的结果有1种，因此摸到红球的概率是$\frac{1}{4}$。
(2) 记红球为红，3个白球分别为白₁、白₂、白₃，列表如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白₁ | 白₂ | 白₃ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白₁) | (红,白₂) | (红,白₃) |
| 白₁ | (白₁,红) | (白₁,白₁) | (白₁,白₂) | (白₁,白₃) |
| 白₂ | (白₂,红) | (白₂,白₁) | (白₂,白₂) | (白₂,白₃) |
| 白₃ | (白₃,红) | (白₃,白₁) | (白₃,白₂) | (白₃,白₃) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有9种。
因此两次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{9}{16}}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率
【点评】
本题是概率的典型基础题，第一问考查单步概率的直接计算，难度较低；第二问考查列表法在两步放回试验概率计算中的应用，要求学生能规范列表、准确统计结果，掌握概率的基本计算逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
（1）第一问可直接利用概率公式求解：先明确袋子中球的总个数为4，红球的个数为1，随机事件的概率等于符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，代入数值即可得到摸到红球的概率。
（2）第二问是放回型两次摸球的概率问题，属于两步试验，适合用列表法梳理所有等可能的结果：首先给3个白球做不同标记避免统计出错，列表呈现第一次和第二次摸球的所有组合，再统计总结果数和两次均摸到白球的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 袋子中共有4个除颜色外完全相同的球，其中红球有1个，所有摸球的等可能结果共4种，摸到红球的结果有1种，因此摸到红球的概率是$\frac{1}{4}$。
(2) 记红球为红，3个白球分别为白₁、白₂、白₃，列表如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 白₁ | 白₂ | 白₃ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,白₁) | (红,白₂) | (红,白₃) |
| 白₁ | (白₁,红) | (白₁,白₁) | (白₁,白₂) | (白₁,白₃) |
| 白₂ | (白₂,红) | (白₂,白₁) | (白₂,白₂) | (白₂,白₃) |
| 白₃ | (白₃,红) | (白₃,白₁) | (白₃,白₂) | (白₃,白₃) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有9种。
因此两次都摸到白球的概率为$\frac{9}{16}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{9}{16}}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率
【点评】
本题是概率的典型基础题，第一问考查单步概率的直接计算，难度较低；第二问考查列表法在两步放回试验概率计算中的应用，要求学生能规范列表、准确统计结果，掌握概率的基本计算逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
