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6. 提升题▶如图，抛物线 $ y = x^2 - bx + c $ 交x轴于点A(1,0)，交y轴于点B，对称轴是直线x=2。
(1)求抛物线的表达式。
(2)利用配方法写出该抛物线的顶点坐标。
(3)P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求抛物线的表达式。
(2)利用配方法写出该抛物线的顶点坐标。
(3)P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
解：
(1) 已知抛物线 $y = x^2 - bx + c$ 的对称轴是直线 $x=2$，
由抛物线对称轴公式 $x = \frac{b}{2} = 2$，解得 $b=4$。
将点 $A(1,0)$ 代入 $y = x^2 - 4x + c$，得：
$1 - 4 + c = 0$，解得 $c=3$。
因此抛物线的表达式为 $y = x^2 - 4x + 3$。
(2) 对抛物线表达式配方：
$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$，
因此抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$。
(3) 存在满足条件的点$P$。
由抛物线对称轴为直线 $x=2$，可得点 $A(1,0)$ 关于对称轴 $x=2$ 的对称点为 $C(3,0)$。
令 $x=0$，代入抛物线表达式得 $y=3$，即点 $B$ 的坐标为 $(0,3)$。
$△ PAB$ 的周长为 $PA + PB + AB$，其中 $AB$ 为定值，因此要使 $△ PAB$ 周长最小，只需 $PA + PB$ 的值最小。
由对称性可知 $PA = PC$，因此 $PA + PB = PC + PB$，当 $B$、$P$、$C$ 三点共线时，$PC + PB$ 的值最小。
设直线 $BC$ 的表达式为 $y = kx + m$，将 $B(0,3)$、$C(3,0)$ 代入得：
$\begin{cases} m=3 \\ 3k + m = 0 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=-1 \\ m=3 \end{cases}$，即直线 $BC$ 的表达式为 $y = -x + 3$。
将 $x=2$ 代入 $y = -x + 3$，得 $y = -2 + 3 = 1$。
因此点 $P$ 的坐标为 $(2,1)$。
(1) 已知抛物线 $y = x^2 - bx + c$ 的对称轴是直线 $x=2$，
由抛物线对称轴公式 $x = \frac{b}{2} = 2$，解得 $b=4$。
将点 $A(1,0)$ 代入 $y = x^2 - 4x + c$，得：
$1 - 4 + c = 0$，解得 $c=3$。
因此抛物线的表达式为 $y = x^2 - 4x + 3$。
(2) 对抛物线表达式配方：
$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$，
因此抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$。
(3) 存在满足条件的点$P$。
由抛物线对称轴为直线 $x=2$，可得点 $A(1,0)$ 关于对称轴 $x=2$ 的对称点为 $C(3,0)$。
令 $x=0$，代入抛物线表达式得 $y=3$，即点 $B$ 的坐标为 $(0,3)$。
$△ PAB$ 的周长为 $PA + PB + AB$，其中 $AB$ 为定值，因此要使 $△ PAB$ 周长最小，只需 $PA + PB$ 的值最小。
由对称性可知 $PA = PC$，因此 $PA + PB = PC + PB$，当 $B$、$P$、$C$ 三点共线时，$PC + PB$ 的值最小。
设直线 $BC$ 的表达式为 $y = kx + m$，将 $B(0,3)$、$C(3,0)$ 代入得：
$\begin{cases} m=3 \\ 3k + m = 0 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=-1 \\ m=3 \end{cases}$，即直线 $BC$ 的表达式为 $y = -x + 3$。
将 $x=2$ 代入 $y = -x + 3$，得 $y = -2 + 3 = 1$。
因此点 $P$ 的坐标为 $(2,1)$。
解析
【分析】
(1) 求解抛物线表达式，需先利用对称轴公式求出未知系数b：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中a=1、对称轴为x=2，代入即可求出b；再将已知点A的坐标代入解析式，求出c的值，即可得到抛物线表达式。
(2) 用配方法求顶点坐标，需将一般式凑成完全平方的形式：先对二次项和一次项分组，加上一次项系数一半的平方凑完全平方，再调整常数项，写成顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，顶点坐标即为$(h,k)$。
(3) 判断是否存在点P使△PAB周长最小：△PAB的周长为$PA+PB+AB$，其中AB是固定长度，因此只需满足$PA+PB$最小即可。利用抛物线的对称性，找到点A关于对称轴x=2的对称点C，根据对称性质可得$PA=PC$，因此$PA+PB=PC+PB$，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时$PC+PB$取最小值。求出直线BC的解析式，再求直线BC与对称轴x=2的交点，即为所求点P。
【解析】
(1) 已知抛物线 $y = x^2 - bx + c$ 的对称轴是直线 $x=2$，由抛物线对称轴公式 $x = \frac{b}{2} = 2$，解得 $b=4$。
将点 $A(1,0)$ 代入 $y = x^2 - 4x + c$，得：$1 - 4 + c = 0$，解得 $c=3$。
因此抛物线的表达式为 $y = x^2 - 4x + 3$。
(2) 对抛物线表达式配方：
$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$，
因此抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$。
(3) 存在满足条件的点$P$。
由抛物线对称轴为直线 $x=2$，可得点 $A(1,0)$ 关于对称轴 $x=2$ 的对称点为 $C(3,0)$。
令 $x=0$，代入抛物线表达式得 $y=3$，即点 $B$ 的坐标为 $(0,3)$。
$△ PAB$ 的周长为 $PA + PB + AB$，其中 $AB$ 为定值，因此要使 $△ PAB$ 周长最小，只需 $PA + PB$ 的值最小。
由对称性可知 $PA = PC$，因此 $PA + PB = PC + PB$，当 $B$、$P$、$C$ 三点共线时，$PC + PB$ 的值最小。
设直线 $BC$ 的表达式为 $y = kx + m$，将 $B(0,3)$、$C(3,0)$ 代入得：
$\begin{cases} m=3 \\ 3k + m = 0 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=-1 \\ m=3 \end{cases}$，即直线 $BC$ 的表达式为 $y = -x + 3$。
将 $x=2$ 代入 $y = -x + 3$，得 $y = -2 + 3 = 1$。
因此点 $P$ 的坐标为 $(2,1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y = x^2 - 4x + 3}$
(2) $\boldsymbol{(2, -1)}$
(3) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$
【知识点】
二次函数解析式确定；配方法求顶点；轴对称最短路径
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型基础题型，综合考查二次函数的基础性质与最短路径的转化思路，解题核心是利用对称性将线段和的最小值转化为两点之间线段最短问题，该类方法在二次函数综合题中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
(1) 求解抛物线表达式，需先利用对称轴公式求出未知系数b：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中a=1、对称轴为x=2，代入即可求出b；再将已知点A的坐标代入解析式，求出c的值，即可得到抛物线表达式。
(2) 用配方法求顶点坐标，需将一般式凑成完全平方的形式：先对二次项和一次项分组，加上一次项系数一半的平方凑完全平方，再调整常数项，写成顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，顶点坐标即为$(h,k)$。
(3) 判断是否存在点P使△PAB周长最小：△PAB的周长为$PA+PB+AB$，其中AB是固定长度，因此只需满足$PA+PB$最小即可。利用抛物线的对称性，找到点A关于对称轴x=2的对称点C，根据对称性质可得$PA=PC$，因此$PA+PB=PC+PB$，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时$PC+PB$取最小值。求出直线BC的解析式，再求直线BC与对称轴x=2的交点，即为所求点P。
【解析】
(1) 已知抛物线 $y = x^2 - bx + c$ 的对称轴是直线 $x=2$，由抛物线对称轴公式 $x = \frac{b}{2} = 2$，解得 $b=4$。
将点 $A(1,0)$ 代入 $y = x^2 - 4x + c$，得：$1 - 4 + c = 0$，解得 $c=3$。
因此抛物线的表达式为 $y = x^2 - 4x + 3$。
(2) 对抛物线表达式配方：
$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$，
因此抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$。
(3) 存在满足条件的点$P$。
由抛物线对称轴为直线 $x=2$，可得点 $A(1,0)$ 关于对称轴 $x=2$ 的对称点为 $C(3,0)$。
令 $x=0$，代入抛物线表达式得 $y=3$，即点 $B$ 的坐标为 $(0,3)$。
$△ PAB$ 的周长为 $PA + PB + AB$，其中 $AB$ 为定值，因此要使 $△ PAB$ 周长最小，只需 $PA + PB$ 的值最小。
由对称性可知 $PA = PC$，因此 $PA + PB = PC + PB$，当 $B$、$P$、$C$ 三点共线时，$PC + PB$ 的值最小。
设直线 $BC$ 的表达式为 $y = kx + m$，将 $B(0,3)$、$C(3,0)$ 代入得：
$\begin{cases} m=3 \\ 3k + m = 0 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=-1 \\ m=3 \end{cases}$，即直线 $BC$ 的表达式为 $y = -x + 3$。
将 $x=2$ 代入 $y = -x + 3$，得 $y = -2 + 3 = 1$。
因此点 $P$ 的坐标为 $(2,1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y = x^2 - 4x + 3}$
(2) $\boldsymbol{(2, -1)}$
(3) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$
【知识点】
二次函数解析式确定；配方法求顶点；轴对称最短路径
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型基础题型，综合考查二次函数的基础性质与最短路径的转化思路，解题核心是利用对称性将线段和的最小值转化为两点之间线段最短问题，该类方法在二次函数综合题中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
