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一、选择题
1.已知二次函数$y=x^2+x+1$，则下列关于这个函数的图象和性质的说法，错误的是()
A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标是$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4})$
C.图象的对称轴是直线$x=\dfrac{1}{2}$
D.图象与$x$轴无交点
1.已知二次函数$y=x^2+x+1$，则下列关于这个函数的图象和性质的说法，错误的是()
A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标是$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4})$
C.图象的对称轴是直线$x=\dfrac{1}{2}$
D.图象与$x$轴无交点
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题时可根据二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的相关性质，逐一分析每个选项，最终选出错误的选项即可。首先明确二次函数各项系数$a、b、c$的值，再分别根据开口方向判断规则、对称轴与顶点坐标公式、根的判别式判断与x轴交点情况依次验证选项。
【解析】
已知二次函数为$y=x^2+x+1$，其中$a=1$，$b=1$，$c=1$：
1. 判断选项A：因为$a=1＞0$，所以二次函数图象开口向上，A说法正确，不符合题意；
2. 计算对称轴：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，因此C选项“对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$”的说法错误；
3. 判断选项B：将$x=-\frac{1}{2}$代入函数解析式，得$y=(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) +1 = \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{4}$，因此顶点坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$，B说法正确，不符合题意；
4. 判断选项D：计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×1=-3＜0$，因此二次函数图象与x轴无交点，D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴与顶点；根的判别式应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的基础性质，只要熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点的判断方法，就能快速得出答案，是二次函数章节的常见考点。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的图象与性质，解题时可根据二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的相关性质，逐一分析每个选项，最终选出错误的选项即可。首先明确二次函数各项系数$a、b、c$的值，再分别根据开口方向判断规则、对称轴与顶点坐标公式、根的判别式判断与x轴交点情况依次验证选项。
【解析】
已知二次函数为$y=x^2+x+1$，其中$a=1$，$b=1$，$c=1$：
1. 判断选项A：因为$a=1＞0$，所以二次函数图象开口向上，A说法正确，不符合题意；
2. 计算对称轴：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，因此C选项“对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$”的说法错误；
3. 判断选项B：将$x=-\frac{1}{2}$代入函数解析式，得$y=(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) +1 = \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{4}$，因此顶点坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$，B说法正确，不符合题意；
4. 判断选项D：计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×1=-3＜0$，因此二次函数图象与x轴无交点，D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴与顶点；根的判别式应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的基础性质，只要熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点的判断方法，就能快速得出答案，是二次函数章节的常见考点。
【难度系数】
0.9
2.已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$如图所示，下列结论错误的是()
A.$abc＜0$
B.$a+c＜b$
C.$2a+b＞0$
D.$b^2+8a＞4ac$
A.$abc＜0$
B.$a+c＜b$
C.$2a+b＞0$
D.$b^2+8a＞4ac$
答案
C
解析
【分析】
解决本题需先从抛物线图像提取核心信息：①开口方向判断a的符号；②与y轴交点判断c的符号；③对称轴位置结合a的符号判断b的符号。再针对每个选项，分别用特殊点代入、对称轴不等式、顶点纵坐标公式推导判断即可，注意乘以负数时不等号方向要改变。
【解析】
首先从图像获取基础结论：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
2. 抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
3. 对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$b＞0$。
逐个分析选项：
选项A：$a＜0,b＞0,c＞0$，因此$abc＜0$，结论正确，不符合题意；
选项B：当$x=-1$时，代入函数得$y=a-b+c$，由图可知$x=-1$时$y＜0$，即$a-b+c＜0$，移项得$a+c＜b$，结论正确，不符合题意；
选项C：由图可知对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜1$，又$a＜0$，两边乘$2a$（负数）不等号变向，得$-b＞2a$，移项得$2a+b＜0$，与选项中$2a+b＞0$矛盾，结论错误，符合题意；
选项D：将选项变形为$\frac{4ac-b^2}{4a}＞2$，左边是抛物线顶点的纵坐标，由图可知顶点纵坐标大于点$(1,2)$的纵坐标2，因此该不等式成立，即$b^2+8a＞4ac$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数特殊点求值，二次函数顶点性质
【点评】
本题是二次函数图像类的典型考题，需要熟练掌握图像特征与系数的对应关系，其中不等号方向变化、顶点纵坐标公式的应用是易错点，结合图像的直观信息推导可有效降低出错率。
【难度系数】
0.65
解决本题需先从抛物线图像提取核心信息：①开口方向判断a的符号；②与y轴交点判断c的符号；③对称轴位置结合a的符号判断b的符号。再针对每个选项，分别用特殊点代入、对称轴不等式、顶点纵坐标公式推导判断即可，注意乘以负数时不等号方向要改变。
【解析】
首先从图像获取基础结论：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
2. 抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
3. 对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$b＞0$。
逐个分析选项：
选项A：$a＜0,b＞0,c＞0$，因此$abc＜0$，结论正确，不符合题意；
选项B：当$x=-1$时，代入函数得$y=a-b+c$，由图可知$x=-1$时$y＜0$，即$a-b+c＜0$，移项得$a+c＜b$，结论正确，不符合题意；
选项C：由图可知对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜1$，又$a＜0$，两边乘$2a$（负数）不等号变向，得$-b＞2a$，移项得$2a+b＜0$，与选项中$2a+b＞0$矛盾，结论错误，符合题意；
选项D：将选项变形为$\frac{4ac-b^2}{4a}＞2$，左边是抛物线顶点的纵坐标，由图可知顶点纵坐标大于点$(1,2)$的纵坐标2，因此该不等式成立，即$b^2+8a＞4ac$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数特殊点求值，二次函数顶点性质
【点评】
本题是二次函数图像类的典型考题，需要熟练掌握图像特征与系数的对应关系，其中不等号方向变化、顶点纵坐标公式的应用是易错点，结合图像的直观信息推导可有效降低出错率。
【难度系数】
0.65
二、填空题
3.如图，二次函数$y_1=ax^2+bx-3$的图象与一次函数$y_2=-x+m$的图象交于$A(-1,0),B(2,-3)$两点。当$y_2＞y_1$时，自变量$x$的取值范围是。
3.如图，二次函数$y_1=ax^2+bx-3$的图象与一次函数$y_2=-x+m$的图象交于$A(-1,0),B(2,-3)$两点。当$y_2＞y_1$时，自变量$x$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{-1＜x＜2}$
解析
【分析】
要确定$y_2＞y_1$时自变量$x$的取值范围，可结合函数图象的几何意义分析：$y_2＞y_1$对应一次函数$y_2$的图象在二次函数$y_1$图象上方的区域，两个函数的交点是函数值相等的分界点，因此先找到两个交点的横坐标，再观察图象判断上方区域对应的$x$范围即可。
【解析】
已知二次函数$y_1$和一次函数$y_2$的交点为$A(-1,0)$、$B(2,-3)$，即当$x=-1$和$x=2$时，$y_1=y_2$。
观察图象可得：当$-1＜x＜2$时，一次函数$y_2$的图象位于二次函数$y_1$图象的上方，此时满足$y_2＞y_1$。
【答案】
$-1＜x＜2$
【知识点】
函数值与图象位置关系；一次函数的图象；二次函数的图象
【点评】
本题考查利用数形结合思想判断函数值的大小关系，解题核心是明确函数交点的分界作用，直接通过图象位置即可快速判断取值范围，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定$y_2＞y_1$时自变量$x$的取值范围，可结合函数图象的几何意义分析：$y_2＞y_1$对应一次函数$y_2$的图象在二次函数$y_1$图象上方的区域，两个函数的交点是函数值相等的分界点，因此先找到两个交点的横坐标，再观察图象判断上方区域对应的$x$范围即可。
【解析】
已知二次函数$y_1$和一次函数$y_2$的交点为$A(-1,0)$、$B(2,-3)$，即当$x=-1$和$x=2$时，$y_1=y_2$。
观察图象可得：当$-1＜x＜2$时，一次函数$y_2$的图象位于二次函数$y_1$图象的上方，此时满足$y_2＞y_1$。
【答案】
$-1＜x＜2$
【知识点】
函数值与图象位置关系；一次函数的图象；二次函数的图象
【点评】
本题考查利用数形结合思想判断函数值的大小关系，解题核心是明确函数交点的分界作用，直接通过图象位置即可快速判断取值范围，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 提升题 如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏。绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学握绳的手之间的距离AB为6 m，到地面的距离AO与BD均为0.9 m，绳子甩到最高处时，最高点C距地面的垂直距离为1.8 m。身高为1.4 m的小吉站在OD之间，当他的位置距点O的水平距离为 m时，绳子刚好通过他的头顶上方。
答案
$\boldsymbol{1或5}$
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步，结合题目给出的图形特征建立合适的平面直角坐标系，方便确定各点坐标；第二步，已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式设抛物线的解析式，再代入已知点坐标用待定系数法求出解析式；第三步，小吉头顶的高度对应函数的y值为1.4，代入解析式求解x，得到的x值就是距O点的水平距离，注意检验解是否符合实际范围。
【解析】
以O为原点，OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：A(0,0.9)，B(6,0.9)，抛物线最高点C为顶点，坐标为(3,1.8)。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-3)^2+1.8$（$a≠0$）
将A(0,0.9)代入解析式得：
$0.9=a×(0-3)^2+1.8$
$9a=0.9-1.8$
$9a=-0.9$
解得$a=-0.1$
因此抛物线解析式为：$y=-0.1(x-3)^2+1.8$
当绳子刚好通过头顶时，$y=1.4$，代入解析式：
$1.4=-0.1(x-3)^2+1.8$
整理得：$(x-3)^2=4$
解得$x_1=1$，$x_2=5$，两个解均在OD的0~6m范围内，符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{1或5}$
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是合理建立坐标系，利用待定系数法确定函数解析式，再根据函数值求解对应自变量，最后要结合实际情况验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步，结合题目给出的图形特征建立合适的平面直角坐标系，方便确定各点坐标；第二步，已知抛物线的顶点坐标，选择顶点式设抛物线的解析式，再代入已知点坐标用待定系数法求出解析式；第三步，小吉头顶的高度对应函数的y值为1.4，代入解析式求解x，得到的x值就是距O点的水平距离，注意检验解是否符合实际范围。
【解析】
以O为原点，OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：A(0,0.9)，B(6,0.9)，抛物线最高点C为顶点，坐标为(3,1.8)。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-3)^2+1.8$（$a≠0$）
将A(0,0.9)代入解析式得：
$0.9=a×(0-3)^2+1.8$
$9a=0.9-1.8$
$9a=-0.9$
解得$a=-0.1$
因此抛物线解析式为：$y=-0.1(x-3)^2+1.8$
当绳子刚好通过头顶时，$y=1.4$，代入解析式：
$1.4=-0.1(x-3)^2+1.8$
整理得：$(x-3)^2=4$
解得$x_1=1$，$x_2=5$，两个解均在OD的0~6m范围内，符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{1或5}$
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是合理建立坐标系，利用待定系数法确定函数解析式，再根据函数值求解对应自变量，最后要结合实际情况验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
三、解答题
5.已知网球比赛场地长AB为24 m(其中A,B为边界点),球场中心的球网OC的高度为1 m,建立如图所示的平面直角坐标系。运动员从点$P(-9,1.5)$处击球,网球飞行路线呈抛物线形状,网球飞行过程中在点$D(-3,2)$处达到最高。
(1)求抛物线的表达式。
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内(含边界),并说明理由。
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处,通过击球改变网球的飞行路线,对应的抛物线为$y = mx^2 + 2mx + n(m≠0)$,网球在距球网右侧水平距离2 m时,离地面的高度不低于4 m,且网球落在对方区域内(含边界),求m的最大值。
5.已知网球比赛场地长AB为24 m(其中A,B为边界点),球场中心的球网OC的高度为1 m,建立如图所示的平面直角坐标系。运动员从点$P(-9,1.5)$处击球,网球飞行路线呈抛物线形状,网球飞行过程中在点$D(-3,2)$处达到最高。
(1)求抛物线的表达式。
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内(含边界),并说明理由。
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处,通过击球改变网球的飞行路线,对应的抛物线为$y = mx^2 + 2mx + n(m≠0)$,网球在距球网右侧水平距离2 m时,离地面的高度不低于4 m,且网球落在对方区域内(含边界),求m的最大值。
答案
解：
(1) 由题意可知抛物线的顶点为$D(-3,2)$，设抛物线的表达式为$y=a(x+3)^2+2$。
将点$P(-9,1.5)$代入表达式，得：
$1.5=a(-9+3)^2+2$
解得$a=-\frac{1}{72}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$，即$y=-\frac{1}{72}x^2-\frac{1}{12}x+\frac{15}{8}$。
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内，理由如下：
当$x=0$时，代入抛物线表达式得$y=-\frac{1}{72}×(0+3)^2+2=\frac{15}{8}=1.875$。
因为$1.875＞1$，所以网球越过球网。
令$y=0$，则$-\frac{1}{72}(x+3)^2+2=0$，整理得$(x+3)^2=144$，
解得$x_1=9$，$x_2=-15$（舍去）。
由场地长$AB=24\ \mathrm{m}$，可知点$B$坐标为$(12,0)$，满足$0＜9＜12$，因此网球落在对方区域内。
综上，此次击球越过球网并落在对方区域内。
(3) 将点$P(-9,1.5)$代入抛物线$y=mx^2+2mx+n$，得：
$1.5=81m-18m+n$
化简得$n=\frac{3}{2}-63m$，因此抛物线表达式为$y=mx^2+2mx+\frac{3}{2}-63m$。
由题意，距球网右侧水平距离2m对应$x=2$，此时$y\ge4$，代入得：
$4m+4m+\frac{3}{2}-63m\ge4$
整理得$-55m\ge\frac{5}{2}$，解得$m\le-\frac{1}{22}$。
网球落在对方区域内（含边界），即落地时$0＜x\le12$，将$x=12$代入抛物线，得$y\le0$：
$144m+24m+\frac{3}{2}-63m\le0$
整理得$105m\le-\frac{3}{2}$，解得$m\le-\frac{1}{70}$。
因为$-\frac{1}{22}＜-\frac{1}{70}$，所以两个条件的公共解集为$m\le-\frac{1}{22}$，即$m$的最大值为$-\frac{1}{22}$。
答：$m$的最大值为$-\frac{1}{22}$。
(1) 由题意可知抛物线的顶点为$D(-3,2)$，设抛物线的表达式为$y=a(x+3)^2+2$。
将点$P(-9,1.5)$代入表达式，得：
$1.5=a(-9+3)^2+2$
解得$a=-\frac{1}{72}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$，即$y=-\frac{1}{72}x^2-\frac{1}{12}x+\frac{15}{8}$。
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内，理由如下：
当$x=0$时，代入抛物线表达式得$y=-\frac{1}{72}×(0+3)^2+2=\frac{15}{8}=1.875$。
因为$1.875＞1$，所以网球越过球网。
令$y=0$，则$-\frac{1}{72}(x+3)^2+2=0$，整理得$(x+3)^2=144$，
解得$x_1=9$，$x_2=-15$（舍去）。
由场地长$AB=24\ \mathrm{m}$，可知点$B$坐标为$(12,0)$，满足$0＜9＜12$，因此网球落在对方区域内。
综上，此次击球越过球网并落在对方区域内。
(3) 将点$P(-9,1.5)$代入抛物线$y=mx^2+2mx+n$，得：
$1.5=81m-18m+n$
化简得$n=\frac{3}{2}-63m$，因此抛物线表达式为$y=mx^2+2mx+\frac{3}{2}-63m$。
由题意，距球网右侧水平距离2m对应$x=2$，此时$y\ge4$，代入得：
$4m+4m+\frac{3}{2}-63m\ge4$
整理得$-55m\ge\frac{5}{2}$，解得$m\le-\frac{1}{22}$。
网球落在对方区域内（含边界），即落地时$0＜x\le12$，将$x=12$代入抛物线，得$y\le0$：
$144m+24m+\frac{3}{2}-63m\le0$
整理得$105m\le-\frac{3}{2}$，解得$m\le-\frac{1}{70}$。
因为$-\frac{1}{22}＜-\frac{1}{70}$，所以两个条件的公共解集为$m\le-\frac{1}{22}$，即$m$的最大值为$-\frac{1}{22}$。
答：$m$的最大值为$-\frac{1}{22}$。
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，解题思路清晰可按以下三步推进：
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先设顶点式解析式，再代入已知点P的坐标求解未知系数，即可得到抛物线表达式；
(2) 验证两个条件：①判断是否过球网：球网对应x=0的位置，代入x=0求函数值，与球网高度1m比较即可；②判断是否落在对方区域：令y=0求抛物线与x轴正半轴的交点横坐标，与B点横坐标12比较，若0＜横坐标≤12则符合要求；
(3) 先将点P代入新抛物线表达式，得到n和m的关系，再根据两个约束条件列不等式：①距球网右侧水平距离2m对应x=2，此时y≥4；②网球落在对方区域，即落地时横坐标≤12，因此x=12时y≤0，解两个不等式取公共解集，即可得到m的最大值。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点为$D(-3,2)$，设抛物线的表达式为$y=a(x+3)^2+2$。
将点$P(-9,1.5)$代入表达式，得：
$1.5=a(-9+3)^2+2$
解得$a=-\frac{1}{72}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$，即$y=-\frac{1}{72}x^2-\frac{1}{12}x+\frac{15}{8}$。
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内，理由如下：
当$x=0$时，代入抛物线表达式得$y=-\frac{1}{72}×(0+3)^2+2=\frac{15}{8}=1.875$。
因为$1.875＞1$，所以网球越过球网。
令$y=0$，则$-\frac{1}{72}(x+3)^2+2=0$，整理得$(x+3)^2=144$，
解得$x_1=9$，$x_2=-15$（舍去）。
由场地长$AB=24\ \mathrm{m}$，可知点$B$坐标为$(12,0)$，满足$0＜9＜12$，因此网球落在对方区域内。
综上，此次击球越过球网并落在对方区域内。
(3) 将点$P(-9,1.5)$代入抛物线$y=mx^2+2mx+n$，得：
$1.5=81m-18m+n$
化简得$n=\frac{3}{2}-63m$，因此抛物线表达式为$y=mx^2+2mx+\frac{3}{2}-63m$。
由题意，距球网右侧水平距离2m对应$x=2$，此时$y\ge4$，代入得：
$4m+4m+\frac{3}{2}-63m\ge4$
整理得$-55m\ge\frac{5}{2}$，解得$m\le-\frac{1}{22}$。
网球落在对方区域内（含边界），即落地时$0＜x\le12$，将$x=12$代入抛物线，得$y\le0$：
$144m+24m+\frac{3}{2}-63m\le0$
整理得$105m\le-\frac{3}{2}$，解得$m\le-\frac{1}{70}$。
因为$-\frac{1}{22}＜-\frac{1}{70}$，所以两个条件的公共解集为$m\le-\frac{1}{22}$，即$m$的最大值为$-\frac{1}{22}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{72}x^2-\frac{1}{12}x+\frac{15}{8}$（或$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$）
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内；
(3) $m$的最大值为$-\frac{1}{22}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题结合网球运动的实际场景，将函数、不等式知识与几何问题融合，既考查了二次函数基础求解能力，也考查了实际问题转化为数学问题的应用能力，解题时需注意坐标与实际距离的对应关系，计算时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数在实际场景中的应用，解题思路清晰可按以下三步推进：
(1) 已知抛物线顶点坐标，优先设顶点式解析式，再代入已知点P的坐标求解未知系数，即可得到抛物线表达式；
(2) 验证两个条件：①判断是否过球网：球网对应x=0的位置，代入x=0求函数值，与球网高度1m比较即可；②判断是否落在对方区域：令y=0求抛物线与x轴正半轴的交点横坐标，与B点横坐标12比较，若0＜横坐标≤12则符合要求；
(3) 先将点P代入新抛物线表达式，得到n和m的关系，再根据两个约束条件列不等式：①距球网右侧水平距离2m对应x=2，此时y≥4；②网球落在对方区域，即落地时横坐标≤12，因此x=12时y≤0，解两个不等式取公共解集，即可得到m的最大值。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点为$D(-3,2)$，设抛物线的表达式为$y=a(x+3)^2+2$。
将点$P(-9,1.5)$代入表达式，得：
$1.5=a(-9+3)^2+2$
解得$a=-\frac{1}{72}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$，即$y=-\frac{1}{72}x^2-\frac{1}{12}x+\frac{15}{8}$。
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内，理由如下：
当$x=0$时，代入抛物线表达式得$y=-\frac{1}{72}×(0+3)^2+2=\frac{15}{8}=1.875$。
因为$1.875＞1$，所以网球越过球网。
令$y=0$，则$-\frac{1}{72}(x+3)^2+2=0$，整理得$(x+3)^2=144$，
解得$x_1=9$，$x_2=-15$（舍去）。
由场地长$AB=24\ \mathrm{m}$，可知点$B$坐标为$(12,0)$，满足$0＜9＜12$，因此网球落在对方区域内。
综上，此次击球越过球网并落在对方区域内。
(3) 将点$P(-9,1.5)$代入抛物线$y=mx^2+2mx+n$，得：
$1.5=81m-18m+n$
化简得$n=\frac{3}{2}-63m$，因此抛物线表达式为$y=mx^2+2mx+\frac{3}{2}-63m$。
由题意，距球网右侧水平距离2m对应$x=2$，此时$y\ge4$，代入得：
$4m+4m+\frac{3}{2}-63m\ge4$
整理得$-55m\ge\frac{5}{2}$，解得$m\le-\frac{1}{22}$。
网球落在对方区域内（含边界），即落地时$0＜x\le12$，将$x=12$代入抛物线，得$y\le0$：
$144m+24m+\frac{3}{2}-63m\le0$
整理得$105m\le-\frac{3}{2}$，解得$m\le-\frac{1}{70}$。
因为$-\frac{1}{22}＜-\frac{1}{70}$，所以两个条件的公共解集为$m\le-\frac{1}{22}$，即$m$的最大值为$-\frac{1}{22}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{72}x^2-\frac{1}{12}x+\frac{15}{8}$（或$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$）
(2) 此次击球越过球网并落在对方区域内；
(3) $m$的最大值为$-\frac{1}{22}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题结合网球运动的实际场景，将函数、不等式知识与几何问题融合，既考查了二次函数基础求解能力，也考查了实际问题转化为数学问题的应用能力，解题时需注意坐标与实际距离的对应关系，计算时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.6
