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6. 提升题▶如图，抛物线$y=x^2+bx+c$经过点$A(-1,0),B(2,-3)$，与$y$轴交于点$C$，抛物线的顶点为$D$。
(1)求抛物线的函数表达式。
(2)抛物线上是否存在点$P$，使$△ PBC$的面积是$△ BCD$面积的3倍？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求抛物线的函数表达式。
(2)抛物线上是否存在点$P$，使$△ PBC$的面积是$△ BCD$面积的3倍？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
解：(1) 将点$A(-1,0)$，$B(2,-3)$代入$y=x^2+bx+c$，得
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\4 + 2b + c = -3\end{cases}$
解得：$\begin{cases}b=-2 \\ c=-3\end{cases}$
因此抛物线的函数表达式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 存在满足条件的点$P$，求解过程如下：
在$y=x^2-2x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$。
将抛物线解析式配方得$y=(x-1)^2-4$，因此顶点$D(1,-4)$。
由$C(0,-3)$，$B(2,-3)$可知，直线$BC$的解析式为$y=-3$，$BC=2$，点$D$到直线$BC$的距离为$|-3 - (-4)|=1$，
因此$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
若$S_{△ PBC}=3S_{△ BCD}=3$，设点$P$到直线$BC$的距离为$h$，则
$\frac{1}{2} × BC × h = 3$，即$\frac{1}{2} × 2 × h = 3$，得$h=3$。
设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$|y_P - (-3)|=3$，即$y_P=0$或$y_P=-6$。
① 当$y_P=0$时，代入$y=x^2-2x-3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$；
② 当$y_P=-6$时，代入$y=x^2-2x-3=-6$，得$x^2-2x+3=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，此方程无实数根。
综上，存在满足条件的点$P$，坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\4 + 2b + c = -3\end{cases}$
解得：$\begin{cases}b=-2 \\ c=-3\end{cases}$
因此抛物线的函数表达式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 存在满足条件的点$P$，求解过程如下：
在$y=x^2-2x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$。
将抛物线解析式配方得$y=(x-1)^2-4$，因此顶点$D(1,-4)$。
由$C(0,-3)$，$B(2,-3)$可知，直线$BC$的解析式为$y=-3$，$BC=2$，点$D$到直线$BC$的距离为$|-3 - (-4)|=1$，
因此$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
若$S_{△ PBC}=3S_{△ BCD}=3$，设点$P$到直线$BC$的距离为$h$，则
$\frac{1}{2} × BC × h = 3$，即$\frac{1}{2} × 2 × h = 3$，得$h=3$。
设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$|y_P - (-3)|=3$，即$y_P=0$或$y_P=-6$。
① 当$y_P=0$时，代入$y=x^2-2x-3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$；
② 当$y_P=-6$时，代入$y=x^2-2x-3=-6$，得$x^2-2x+3=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，此方程无实数根。
综上，存在满足条件的点$P$，坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式可采用待定系数法：已知抛物线经过A、B两个点，将两点坐标代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 探究是否存在点P满足面积条件：首先先求出点C、顶点D的坐标，观察发现B、C纵坐标相同，故BC是平行于x轴的直线，△PBC和△BCD共底BC，面积比等于高的比，先求出△BCD的面积，再根据面积倍数关系求出点P到BC的距离，得到P的纵坐标，代入抛物线解析式求解横坐标即可，同时要注意判断一元二次方程是否有实根，排除不存在的情况。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$，$B(2,-3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\4 + 2b + c = -3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去c，得$3+3b=-3$，解得$b=-2$，将$b=-2$代入$1 - b + c = 0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
(2) 存在满足条件的点P，求解过程如下：
在$y=x^2-2x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
将抛物线解析式配方得$y=(x-1)^2-4$，因此顶点$D(1,-4)$；
由$C(0,-3)$，$B(2,-3)$可知，直线$BC$的解析式为$y=-3$，$BC=2-0=2$，点$D$到直线$BC$的距离为$|-3 - (-4)|=1$，因此$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$；
若$S_{△ PBC}=3S_{△ BCD}=3$，设点$P$到直线$BC$的距离为$h$，则$\frac{1}{2} × BC × h = 3$，即$\frac{1}{2} × 2 × h = 3$，得$h=3$；
设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$|y_P - (-3)|=3$，即$y_P=0$或$y_P=-6$；
① 当$y_P=0$时，代入$y=x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$；
② 当$y_P=-6$时，代入$y=x^2-2x-3=-6$，得$x^2-2x+3=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，此方程无实数根。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$；
(2) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$和$\boldsymbol{(3,0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数综合应用类题目，第一问为基础题型，考察待定系数法的基础应用；第二问的核心是通过观察BC的特征将面积关系转化为点到直线的距离关系，简化计算过程，同时考察了分类讨论思想和一元二次方程实根判断的方法，有助于提升数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式可采用待定系数法：已知抛物线经过A、B两个点，将两点坐标代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 探究是否存在点P满足面积条件：首先先求出点C、顶点D的坐标，观察发现B、C纵坐标相同，故BC是平行于x轴的直线，△PBC和△BCD共底BC，面积比等于高的比，先求出△BCD的面积，再根据面积倍数关系求出点P到BC的距离，得到P的纵坐标，代入抛物线解析式求解横坐标即可，同时要注意判断一元二次方程是否有实根，排除不存在的情况。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$，$B(2,-3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\4 + 2b + c = -3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去c，得$3+3b=-3$，解得$b=-2$，将$b=-2$代入$1 - b + c = 0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
(2) 存在满足条件的点P，求解过程如下：
在$y=x^2-2x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
将抛物线解析式配方得$y=(x-1)^2-4$，因此顶点$D(1,-4)$；
由$C(0,-3)$，$B(2,-3)$可知，直线$BC$的解析式为$y=-3$，$BC=2-0=2$，点$D$到直线$BC$的距离为$|-3 - (-4)|=1$，因此$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$；
若$S_{△ PBC}=3S_{△ BCD}=3$，设点$P$到直线$BC$的距离为$h$，则$\frac{1}{2} × BC × h = 3$，即$\frac{1}{2} × 2 × h = 3$，得$h=3$；
设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$|y_P - (-3)|=3$，即$y_P=0$或$y_P=-6$；
① 当$y_P=0$时，代入$y=x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$；
② 当$y_P=-6$时，代入$y=x^2-2x-3=-6$，得$x^2-2x+3=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，此方程无实数根。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$；
(2) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$和$\boldsymbol{(3,0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数综合应用类题目，第一问为基础题型，考察待定系数法的基础应用；第二问的核心是通过观察BC的特征将面积关系转化为点到直线的距离关系，简化计算过程，同时考察了分类讨论思想和一元二次方程实根判断的方法，有助于提升数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
