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5. 我们知道$\sqrt{2}$是无理数，即无限不循环小数，那么如何表示$\sqrt{2}$的小数部分呢？考虑到$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$\sqrt{2}$的整数部分是1，那么$\sqrt{2}$的小数部分就是$\sqrt{2}-1$。
请根据上述阅读材料，回答下列问题：
(1) $\sqrt{7}$的整数部分为________，小数部分为________；
(2) $5+\sqrt{3}$的整数部分为________，小数部分为________；
(3) $5-\sqrt{3}$的整数部分为________，小数部分为________。
请根据上述阅读材料，回答下列问题：
(1) $\sqrt{7}$的整数部分为________，小数部分为________；
(2) $5+\sqrt{3}$的整数部分为________，小数部分为________；
(3) $5-\sqrt{3}$的整数部分为________，小数部分为________。
答案
(1) 2；$\sqrt{7}-2$. 提示：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$.
(2) 6；$\sqrt{3}-1$. 提示：因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，可得$6＜5+\sqrt{3}＜7$，所以$5+\sqrt{3}$的整数部分为6，小数部分为$\sqrt{3}-1$.
(3) 3；$2-\sqrt{3}$. 提示：因为$1＜\sqrt{3}＜2$，可得$3＜5-\sqrt{3}＜4$，所以$5-\sqrt{3}$的整数部分为3，小数部分为$2-\sqrt{3}$.
(2) 6；$\sqrt{3}-1$. 提示：因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，可得$6＜5+\sqrt{3}＜7$，所以$5+\sqrt{3}$的整数部分为6，小数部分为$\sqrt{3}-1$.
(3) 3；$2-\sqrt{3}$. 提示：因为$1＜\sqrt{3}＜2$，可得$3＜5-\sqrt{3}＜4$，所以$5-\sqrt{3}$的整数部分为3，小数部分为$2-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题核心思路是利用“夹逼法”估算无理数的范围，进而推导含无理数的式子的整数与小数部分：首先找到与无理数被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个连续整数之间；再根据不等式的性质推导目标式子的取值范围，即可得到其整数部分；最后用原式子减去整数部分，就能得到大于0且小于1的小数部分。
【解析】
(1) 估算$\sqrt{7}$的取值范围：
∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
∴ $\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
(2) 先估算$\sqrt{3}$的取值范围：
∵ $\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
对不等式各部分加5，得$5+1＜5+\sqrt{3}＜5+2$，即$6＜5+\sqrt{3}＜7$
∴ $5+\sqrt{3}$的整数部分为6，小数部分为$(5+\sqrt{3})-6=\sqrt{3}-1$。
(3) 结合$\sqrt{3}$的范围$1＜\sqrt{3}＜2$，对不等式各部分乘$-1$（不等号方向改变），得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$
对不等式各部分加5，得$5-2＜5-\sqrt{3}＜5-1$，即$3＜5-\sqrt{3}＜4$
∴ $5-\sqrt{3}$的整数部分为3，小数部分为$(5-\sqrt{3})-3=2-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $2$；$\sqrt{7}-2$
(2) $6$；$\sqrt{3}-1$
(3) $3$；$2-\sqrt{3}$
【知识点】
无理数的估算；实数的整数与小数部分；不等式的性质
【点评】
本题属于材料迁移类基础题，主要考查对估算方法的理解和应用能力，解题的关键是熟练掌握夹逼法估算无理数范围，结合不等式性质推导目标式范围即可，注意小数部分的结果恒为正。
【难度系数】
0.7
解题核心思路是利用“夹逼法”估算无理数的范围，进而推导含无理数的式子的整数与小数部分：首先找到与无理数被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个连续整数之间；再根据不等式的性质推导目标式子的取值范围，即可得到其整数部分；最后用原式子减去整数部分，就能得到大于0且小于1的小数部分。
【解析】
(1) 估算$\sqrt{7}$的取值范围：
∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
∴ $\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
(2) 先估算$\sqrt{3}$的取值范围：
∵ $\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
对不等式各部分加5，得$5+1＜5+\sqrt{3}＜5+2$，即$6＜5+\sqrt{3}＜7$
∴ $5+\sqrt{3}$的整数部分为6，小数部分为$(5+\sqrt{3})-6=\sqrt{3}-1$。
(3) 结合$\sqrt{3}$的范围$1＜\sqrt{3}＜2$，对不等式各部分乘$-1$（不等号方向改变），得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$
对不等式各部分加5，得$5-2＜5-\sqrt{3}＜5-1$，即$3＜5-\sqrt{3}＜4$
∴ $5-\sqrt{3}$的整数部分为3，小数部分为$(5-\sqrt{3})-3=2-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $2$；$\sqrt{7}-2$
(2) $6$；$\sqrt{3}-1$
(3) $3$；$2-\sqrt{3}$
【知识点】
无理数的估算；实数的整数与小数部分；不等式的性质
【点评】
本题属于材料迁移类基础题，主要考查对估算方法的理解和应用能力，解题的关键是熟练掌握夹逼法估算无理数范围，结合不等式性质推导目标式范围即可，注意小数部分的结果恒为正。
【难度系数】
0.7
1. 判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”：
（1）任何实数不是有理数就是无理数；（
（2）任何实数不是正实数就是负实数；（
（3）任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示；（
（4）数轴上任意给定的一个点都对应无理数。（
（1）任何实数不是有理数就是无理数；（
√
）（2）任何实数不是正实数就是负实数；（
×
）（3）任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示；（
√
）（4）数轴上任意给定的一个点都对应无理数。（
×
）答案
1. (1) √. (2) ×. (3) √. (4) ×.
解析
【分析】
本题主要围绕实数的分类、实数与数轴的对应关系两个核心知识点考查，解题时先回忆相关基础概念，再逐个判断每个说法是否符合概念要求：①先明确实数按定义的分类，判断第（1）问；②再回忆实数按正负性的分类，注意0的特殊性，判断第（2）问；③结合“实数与数轴上的点一一对应”这一性质，分别判断第（3）（4）问即可。
【解析】
（1）根据实数的定义，实数是有理数和无理数的统称，因此任何实数不属于有理数就属于无理数，该说法正确。
（2）实数按正负性可分为正实数、0、负实数三类，其中0既不是正实数也不是负实数，该说法遗漏了0，因此错误。
（3）实数与数轴上的点是一一对应的关系，无理数属于实数，因此任何一个无理数都可以用数轴上的一个点表示，该说法正确。
（4）数轴上的任意一个点都对应一个实数，实数既包含无理数也包含有理数，因此数轴上的点也可能对应有理数，并非都对应无理数，该说法错误。
【答案】
(1) √；(2) ×；(3) √；(4) ×
【知识点】
实数的分类；实数与数轴的对应关系；无理数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，易错点在于判断实数正负分类时遗漏0，以及混淆实数和数轴的对应关系，牢记实数的相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题主要围绕实数的分类、实数与数轴的对应关系两个核心知识点考查，解题时先回忆相关基础概念，再逐个判断每个说法是否符合概念要求：①先明确实数按定义的分类，判断第（1）问；②再回忆实数按正负性的分类，注意0的特殊性，判断第（2）问；③结合“实数与数轴上的点一一对应”这一性质，分别判断第（3）（4）问即可。
【解析】
（1）根据实数的定义，实数是有理数和无理数的统称，因此任何实数不属于有理数就属于无理数，该说法正确。
（2）实数按正负性可分为正实数、0、负实数三类，其中0既不是正实数也不是负实数，该说法遗漏了0，因此错误。
（3）实数与数轴上的点是一一对应的关系，无理数属于实数，因此任何一个无理数都可以用数轴上的一个点表示，该说法正确。
（4）数轴上的任意一个点都对应一个实数，实数既包含无理数也包含有理数，因此数轴上的点也可能对应有理数，并非都对应无理数，该说法错误。
【答案】
(1) √；(2) ×；(3) √；(4) ×
【知识点】
实数的分类；实数与数轴的对应关系；无理数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，易错点在于判断实数正负分类时遗漏0，以及混淆实数和数轴的对应关系，牢记实数的相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.141 592 65、$\frac{π}{2}$、$\sqrt{49}$、$-2.020020002$、0、$\sqrt[3]{9}$、$5.\dot{1}\dot{7}$、$-\sqrt{10}$。
3.141 592 65、$\frac{π}{2}$、$\sqrt{49}$、$-2.020020002$、0、$\sqrt[3]{9}$、$5.\dot{1}\dot{7}$、$-\sqrt{10}$。
答案
有理数：3.141 592 65、$\sqrt{49}$、$-2.020 020 002$、0、$5.\dot{1}\dot{7}$.
无理数：$\frac{π}{2}$、$\sqrt[3]{9}$、$-\sqrt{10}$.
无理数：$\frac{π}{2}$、$\sqrt[3]{9}$、$-\sqrt{10}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确有理数和无理数的定义：有理数包括整数和分数，有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的式子、开方开不尽的数的方根等。解题时先对带运算的数（如带根号的数）进行化简，再结合定义逐个判断即可。
【解析】
第一步：明确判断依据
有理数包含整数、有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数。
第二步：逐个分析各数
1. 3.14159265是有限小数，属于有理数；
2. $\frac{π}{2}$：π本身是无限不循环小数（无理数），因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. $\sqrt{49}=7$，7是整数，属于有理数；
4. $-2.020020002$是有限小数，属于有理数；
5. 0是整数，属于有理数；
6. $\sqrt[3]{9}$：9开三次方无法得到整数或分数，是开方开不尽的数，属于无理数；
7. $5.\dot{1}\dot{7}$是无限循环小数，属于有理数；
8. $-\sqrt{10}$：10开平方无法得到整数或分数，是开方开不尽的数，属于无理数。
【答案】
有理数：3.141 592 65、$\sqrt{49}$、$-2.020 020 002$、0、$5.\dot{1}\dot{7}$。
无理数：$\frac{π}{2}$、$\sqrt[3]{9}$、$-\sqrt{10}$。
【知识点】
有理数的概念，无理数的概念，根式化简
【点评】
本题考查有理数与无理数的区分，解题核心是牢记两类数的定义，注意不要仅凭形式判断，带根号的数需要先化简再判断，避免看到根号就误判为无理数。
【难度系数】
0.85
要解决这个问题，首先需要明确有理数和无理数的定义：有理数包括整数和分数，有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的式子、开方开不尽的数的方根等。解题时先对带运算的数（如带根号的数）进行化简，再结合定义逐个判断即可。
【解析】
第一步：明确判断依据
有理数包含整数、有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数。
第二步：逐个分析各数
1. 3.14159265是有限小数，属于有理数；
2. $\frac{π}{2}$：π本身是无限不循环小数（无理数），因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. $\sqrt{49}=7$，7是整数，属于有理数；
4. $-2.020020002$是有限小数，属于有理数；
5. 0是整数，属于有理数；
6. $\sqrt[3]{9}$：9开三次方无法得到整数或分数，是开方开不尽的数，属于无理数；
7. $5.\dot{1}\dot{7}$是无限循环小数，属于有理数；
8. $-\sqrt{10}$：10开平方无法得到整数或分数，是开方开不尽的数，属于无理数。
【答案】
有理数：3.141 592 65、$\sqrt{49}$、$-2.020 020 002$、0、$5.\dot{1}\dot{7}$。
无理数：$\frac{π}{2}$、$\sqrt[3]{9}$、$-\sqrt{10}$。
【知识点】
有理数的概念，无理数的概念，根式化简
【点评】
本题考查有理数与无理数的区分，解题核心是牢记两类数的定义，注意不要仅凭形式判断，带根号的数需要先化简再判断，避免看到根号就误判为无理数。
【难度系数】
0.85
